Metoda prosta iteracji, zwana także metodą kolejnych przybliżeń - matematyczny algorytm do znalezienia wartości nieznanych ilościach stopniowo wyjaśnić go.Istotą tej metody jest to, że, jak sama nazwa wskazuje, są stopniowo wyrażenia wstępnego zbliżenia kolejnych punktów, stają się coraz bardziej wyrafinowane efekty.Metoda ta jest stosowana w celu znalezienia wartości zmiennej w danej funkcji i rozwiązywania układów równań zarówno liniowych i nieliniowych.
Rozważmy jak to sposób jest realizowany w roztworze układów liniowych.Metoda prostego algorytmu iteracji jest następujący:
1. Sprawdź stan konwergencji w oryginalnej matrycy.Twierdzenie zbieżności jeśli początkowy układ matrycowy ma przekątną dominacji (to znaczy, każdy rząd z głównych elementów diagonalnych musi być większe pod względem wielkości niż suma elementów diagonalnych boku modułu), sposób prosty iteracji - zbieżne.
2. Matryca oryginalnego systemu nie zawsze jest przekątną dominacja.W takich przypadkach system może konwertować.Równania, które spełniają warunek konwergencji pozostaje nienaruszony, ale z niesatysfakcjonujące tworzyć kombinacje liniowe, czylimnożenie, odejmowanie, należy dodać do równania, aby otrzymać pożądany efekt.
Jeśli otrzymany układ w głównych współczynników przekątnej są niewygodne, a następnie do obu stron tego równania jest dodawany warunki forma CI * xi, znaki, które musi pokrywać się z objawami ukośnych elementów.
3. Konwersja tworzonego systemu do normalnego widoku:
x- = β- + alfa * x-
Można to zrobić na wiele sposobów, na przykład: z pierwszego równania Express x1 przez inne znane z vtorogo- x2 odtretego- x3 itd.Jednocześnie stosujemy wzór:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
powinien ponownie zapewnić, że system typu normalnego odpowiada stanu konwergencji:
Ď (j = 1) | αij | ≤ 1,zaś i = 1,2, ... n
4. Pierwsze zastosowanie w istocie metoda kolejnych przybliżeń.
x (0) - wstępne przybliżenie, wyrażamy przez x (1), a następnie przez x (1) express x (2).Ogólny wzór formularza macierzy wygląda tak:
x (n) = β- + α * x (n-1)
obliczyć aż do osiągnięcia pożądanej dokładności:
max | xi (k) -Xi (k + 1) ≤ ε
Więc spójrzmy na praktyce metody prostego iteracji.Przykład:
rozwiązywania układów liniowych:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 z dokładnością e = 10-3
Zobaczmy, czy dominują ukośnych elementów modułu.
widzimy, że spełnia warunek zbieżności tylko trzecie równanie.Pierwszy i drugi konwersji do pierwszego równania dodamy drugi:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
odjąć pierwszy od III:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
przekształciliśmy oryginałrównoważny system:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
teraz daje system do normalnej postaci:
x1 = x2 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
+ 0.6429x1-0.2857x3
0,4762 x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Sprawdzić zbieżność procesu iteracji:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, to znaczy,warunek jest spełniony.
0,3947
początkowe przybliżenie x (0) = 0,4762
0,8511
zastąpić te wartości do równania postaci normalnej, otrzymujemy następujące wartości:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
zastąpić nowe wartości, otrzymujemy:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
nadal obliczyć dopóki moment jeszcze nie nadszedł zbliżone do wartości, które spełniają określone warunki.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
sprawdzenia poprawności wyników:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 Wyniki
uzyskać poprzez zastąpienie wartości znajdujące się w oryginalnym wzorem, w pełni spełniają równanie.
Jak widać, metoda iteracji prostej daje dość dokładne wyniki, ale do rozwiązania tego równania musieliśmy spędzić dużo czasu i zrobić uciążliwych obliczeń.
