postępie geometrycznym jest ważne w matematyce jako nauki, i stosowane znaczenia, ponieważ ma bardzo szeroki zakres, nawet w wyższej matematyki, powiedzmy, teorii serii.Pierwsze informacje na temat postępów przyszedł do nas ze starożytnego Egiptu, w szczególności w postaci znanego problemu papirusu Rhinda siedem osób z siedmiu kotów.Odmiany tego problemu powtarzane wielokrotnie w różnych okresach od innych narodów.Nawet wielki Leonardo z Pizy, lepiej znany jako Fibonacci (XIII w.), Mówił do niej w swojej "Księdze liczydła."
Więc postępie geometrycznym ma starożytną historię.Jest to sekwencja numeryczna z niezerową pierwszej kadencji i każdy kolejny Począwszy od drugiego, ustala się mnożąc poprzednią formułę cyklu dla stałego, niezerowej liczby, które nazywa się postęp mianownikiem (zwykle jest oznaczona za pomocą q się).
Oczywiście, można znaleźć, dzieląc każde późniejsze określenie sekwencji do poprzedniej, to znaczy z dwoma: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....W związku z tym zadaniem progresji (Zn) wystarczy, aby poznać wartość to pierwszy członek y 1 i q mianownikiem.Przykładem
, niech z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), to mamy następujące postępie geometrycznym 7 - 28, 112 - 448, ....Jak widać, powstała sekwencja nie jest monotonna.
Przypomnijmy, że dowolna sekwencja monotonna (zwiększenie / zmniejszenie) przy każdym z jego przyszłych członków mniej / niż poprzedni.Na przykład, sekwencja 2, 5, 9, ... a -10, -100, -1000 ... - monotonna, drugi z nich - maleje wykładniczo.
W przypadku gdy q = 1, wszystkie elementy składowe w progresji uzyskuje się równe i nazywany jest stała.
Do sekwencji była progresja tego typu, musi ona spełniać następujące warunek konieczny i wystarczający, a mianowicie: począwszy od drugiego, każdy z jej członków powinna być średnią geometryczną z sąsiadującymi państwami członkowskimi.
Ta właściwość pozwala w pewnych dwa sąsiadujące rozpoznawczej arbitralne określenie progresji.
n-ty termin postępie geometrycznym jest łatwo znaleźć formułę: zn = z ^ 1 * q (n-1), wiedząc, pierwszej kadencji § 1 i q mianownik.
Ponieważ sekwencja numeryczna jest warte, kilka prostych obliczeń dać nam na wyliczenie sumy pierwszych warunków rozwoju, a mianowicie:
S n = - (Zn * P - z 1) / (1 - q).
Wymiana wartości wzorem Zn jego ekspresji z = 1 * q ^ (n-1), uzyskując drugą ilość progresji o wzorze: S n = - z1 * (Q ^ N - 1) / (1 - q).
godne uwagi następujące interesujący fakt: tablet gliny znaleźć w wykopalisk starożytnego Babilonu, który odnosi się do VI.BC niezwykle zawiera sumę 1 + 2 + 22 ... + 29 równa 2 w dziesiątej potęgi minus 1. Wyjaśnienie tego zjawiska nie został znaleziony.
Zauważmy, jedną z właściwości postępie geometrycznym - o pracy ciągłej z członków, rozmieszczone w równych odstępach od końców sekwencji.
szczególnie ważne z naukowego punktu widzenia, takiego jak nieskończonej postępu geometrycznego i obliczania jej wysokości.Zakładając, że (in) - postępie geometrycznym o q mianownik, spełniające warunek | Q | & lt;1, zostanie on nazwany limit sumy poszukiwanych przez znany nam już sumę pierwszych członków, z nieograniczonym wzrostem n, więc w miarę zbliżania się do nieskończoności.
tę kwotę w wyniku zastosowania wzoru:
S y n = 1 / (1-Q).
I, jak pokazują doświadczenia, pozorna prostota tego postępu jest ukryty ogromny potencjał aplikacji.Na przykład, jeśli skonstruowania sekwencji kwadratów z następującym algorytmem, łączącej punkty środkowe z poprzednim, po czym tworzą się kwadratowe nieskończoną postęp geometryczny posiadający mianownik 1/2.Te same tworzą trójkąty i kwadraty progression otrzymany w każdym etapie budowy, a jego suma jest równa powierzchni pierwotnej kwadratu.
