Cramera - jest jednym z dokładnymi metodami systemów liniowych równań algebraicznych (Slough) rozwiązywania.Jego dokładność dzięki zastosowaniu wyznaczników macierzy, a także niektóre z ograniczeń nałożonych w dowodzie twierdzenia.System
liniowych równań algebraicznych o współczynnikach należących do, na przykład, wiele badań - liczb rzeczywistych, z nieznanego x1, x2, ..., xn nazywa zbiór wyrażeń formularza
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi dla i =1, 2, ..., m, (1)
gdzie aij, bi - są liczbami rzeczywistymi.Każde z tych określeń jest nazywane równaniem liniowym, aij - współczynniki niewiadomych, bi - darmowe współczynniki równań.
Roztwór związku (1), jest nazywany N-wymiarowy wektor x ° = (x1 ° x2 °, ..., x n °), który gdy jest podstawiona w dla X1 niewiadomymi, x2, ..., xn każdego z rzędów układu stajeprawdziwa równość.System
nazywany jest zgodna, jeśli ma co najmniej jednego roztworu i niezgodne, gdy jego zbiór rozwiązań pokrywa się z pustego zestawu.
Należy pamiętać, że w celu znalezienia rozwiązania systemów liniowych równań algebraicznych z zastosowaniem Wzory Cramera, matryce, systemy muszą być kwadratowy, co w zasadzie oznacza taką samą liczbę niewiadomych i równań w systemie.
Tak więc, aby stosowanie metody Cramera, powinien przynajmniej wiedzieć, czym jest Matrix system liniowych równań algebraicznych i jak jest ono wydawane.A po drugie, aby zrozumieć, co nazywa się wyznacznik macierzy, i opanować umiejętności swoich obliczeń.
przyjąć, że ta wiedza, którą posiadasz.Wspaniały!Następnie trzeba po prostu zapamiętać formuły określające metody Cramera.Aby ułatwić zapamiętanie użyć następującego zapisu:
-
Det - główny wyznacznik systemu;
-
deti - jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z głównej matrycy systemu poprzez zastąpienie i-tą kolumną macierzy na wektor kolumny, której elementy są prawe strony tych układów równań liniowych;
-
n - liczba niewiadomych i równań w systemie.
Następnie Wzory Cramera obliczyć składnika i-tego xi (i = 1, .. n) n-wymiarowy wektor x można zapisać jako
xi = deti / Det, (2).
Zatem Det ściśle niezerowe.
unikalne rozwiązanie, gdy obie dostarczone przez warunek niezerowy główną determinantę systemu.W przeciwnym razie, jeśli suma (xi), kwadratu, jest ściśle dodatnią, to macierz kwadratowa Slae jest niespójne.Może to wystąpić, w szczególności, gdy co najmniej jeden z DETI niezerowe.
Przykład 1 .Aby rozwiązać system trójwymiarowego z Lau, według wzoru Cramera.
x1 + x2 + 2 = 4 x3 31
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.Decyzja
.Piszemy macierz rzędu, gdzie Ai - jest i-ty wiersz macierzy.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2) A3 = (-1 3 1).Kolumna
darmowe współczynniki b = (31: 29 październik).
głównym wyznacznikiem System Det jest
Det = a11 a22 a33 a12 a23 a31 + a31 a21 a32 + - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.
Aby obliczyć det1 użytkowania podstawienie a11 = b1, b2 = a21, a31 = B3.Następnie
det1 = b1 a22 a33 a12 a23 + b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 = ... b2 = -81.
Podobnie obliczyć permutacji za pomocą det2 = b1 a12, a22 = B2, B3 = a32 i odpowiednio obliczyć det3 - a13 = b1, b2 = a23, a33 = B3.
Następnie można sprawdzić, że det2 = -108 i det3 = - 135.
Według Wzory Cramera znaleźć x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Odpowiedź: x ° = (3,4,5).
podstawie warunków zastosowania tej zasady Cramera dla systemów równań liniowych mogą być wykorzystywane w sposób pośredni, na przykład do badania systemu na liczbie rozwiązań, w zależności od wartości parametru k.
Przykład 2. Określ dla jakich wartości parametru k nierówność | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.Decyzja
.
Ta rozbieżność w definicji funkcji modułu może być wykonane tylko wtedy, gdy oba określenia są zerowe jednocześnie.Dlatego też, problem sprowadza się do znalezienia rozwiązania układu równań liniowych algebraicznych
kx - y = 4,
x + ky = -4.
rozwiązanie tego systemu tylko wtedy, gdy jest to główny wyznacznik
Det = k ^ {2} + 1 jest niezerowe.Oczywiście, ten warunek jest spełniony dla wszystkich ważnych wartości parametru k.
Odpowiedź: dla wszystkich rzeczywistych wartości parametru k.
Cele tego typu mogą być również zmniejszona, wiele praktycznych problemów z matematyki, fizyki lub chemii.
