Suma kątów trójkąta.

Trójkąt jest wielokątem o trzech stron (trzech kątów).Najczęstszym boczne stanowią małe litery, odpowiednią literą, która określa przeciwległe wierzchołki.W tym artykule przyjrzymy się w tego typu kształtów geometrycznych, twierdzenie, która określa, która jest równa sumie kątów trójkąta.Rodzaje

największe kąty

następujące rodzaje wielokąta z trzema wierzchołkami:

ostrokątny, w którym wszystkie ostrych kątów;
prostokątny mający jeden pod kątem prostym do boku obrazu, zwanych nogi i boku, który jest umieszczony naprzeciwko kąta nazywa się przeciwprostokątną;
rozwarty, gdy jeden kąt jest rozwarty;Równoramienny
, którego dwa boki równe i są one nazywane boczne, a trzecie - podstawa trójkąta;
równoboczny ma trzy równe boki.

Właściwości

Są to podstawowe właściwości, które są charakterystyczne dla każdego rodzaju trójkąta:

naprzeciwko dłuższy bok ma zawsze duży kąt, i odwrotnie;
przeciwległe boki o równej wielkości są równe kąty, i odwrotnie;
mają jakiekolwiek trójkąt ma dwa ostre kąty;

zewnętrzny kąt jest większy niż wewnętrzny kąt nie jest powiązany z nim;
suma dwóch dowolnych kątów jest zawsze mniejszy niż 180 stopni;
kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch pozostałych narożnikach, że nie są mu mezhuyut.

twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Twierdzenie mówi, że jeśli dodać do wszystkich zakątków figury geometrycznej, która znajduje się w płaszczyźnie euklidesowej, ich suma będzie o 180 stopni.Spróbujmy udowodnić to twierdzenie.

Niech mamy dowolny trójkąt o wierzchołkach KMN.Przez góry M narysować linię równoległą do linii KN (nawet ta linia nazywa linia Euklidesa).Należy zauważyć, punkt A w taki sposób, że punkt K i znajdowały się na różnych stronach prostej MN.Możemy uzyskać ten sam kąt i AMS muf, które, podobnie jak kłamstwo wewnętrznej przecinających poprzecznie do utworzenia we współpracy z MN i CN linie, które są MA równoległe.Z tego wynika, że suma kątów trójkąta znajduje się na wierzchołkach M i N jest równa wielkości kąta CMA.Wszystkie trzy kąty składają się na sumę równą sumie kątów CMA i MCS.Ponieważ te kąty są w odniesieniu do wewnętrznej jednostronne Parallel Lines CN i MA na cięcia KM, ich suma wynosi 180 stopni.QED.

dochodzenie

Z góry tego twierdzenia wynika następujące następstwo: każdy trójkąt ma dwa ostre kąty.Aby to udowodnić, załóżmy, że ta figura geometryczna ma tylko jeden kąt ostry.Ponadto, można przyjąć, że nie ma kąt nie jest ostry.W tym przypadku, musi być co najmniej dwa kąty, których wielkość jest równa lub wyższa niż 90 ° C.Ale suma kątów jest większa niż 180 stopni.I to nie może być, ponieważ twierdzenia o sumie kątów w trójkącie wynosi 180 ° - nie więcej i nie mniej.To, co było do udowodnienia.

własności poza rogi

Co to jest suma kątów trójkąta, które są zewnętrzne?Odpowiedź na to pytanie można uzyskać za pomocą jednej z dwóch metod.Pierwszym z nich jest konieczność znalezienia suma kątów, które są pobierane pojedynczo każdego wierzchołka, to znaczy trzech kątów.Drugi zakłada, że trzeba znaleźć sumę sześciu kątów w wierzchołkach.Na początek czynienia z pierwszym Miejmy.Tak więc, trójkąt ma sześć zewnętrzne kąty - przy każdym wierzchołku dwa.Każda para ma równe kąty do siebie, ponieważ są one w pionie:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ponadto, wiadomo jest, że zewnętrzny kąt trójkąta jest równa sumie dwa wewnętrzne nie są mezhuyutsya z nim.Dlatego

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Okazuje się, że suma kątów zewnętrznych podejmowane są jeden po drugim, w górnej części każdego, będzie równa:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Biorąc pod uwagę fakt, że suma kątów wynosi 180 stopni, można stwierdzić, że ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Oznacza to, że ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 = 360 ° °.Jeżeli druga opcja jest używana, to suma kątów sześciu będzie odpowiednio większa dwukrotnie.To suma kątów zewnętrznych trójkąta wynosi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 ∟2 +) = 720 ° C.

trójkąt prostokątny

Co równa się sumie kątów trójkąta prostokątnego jest wyspa?Odpowiedź znowu z twierdzenia, który stanowi, że kąty trójkąta sumują się do 180 stopni.A nasze dźwięki Twierdzenie (własności) w następujący sposób: w trójkącie prostokątnym kąty ostre dodać do 90 stopni.Mamy udowodnić swoją prawdomówność.Niech mieć trójkąt KMN, które ∟N = 90 °.Musimy udowodnić, że ∟K ∟M + = 90 °.

Tak więc, zgodnie z twierdzeniem o sumie kątów ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.W takiej sytuacji, że ∟N = 90 °.Okazuje się, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.To ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 ° C.To jest to, co powinniśmy mieć do udowodnienia.

Oprócz powyższych własności trójkąta prostokątnego, można dodać te kąty

nogi są ostre;
trójkątne przeciwprostokątna jest większy niż którykolwiek z nóg;
nogi więcej niż suma przeciwprostokątnej;
przyprostokątnej trójkąta, który leży naprzeciw narożnych 30 stopni, połowę przeciwprostokątnej, to znaczy, że wynosi połowę.

W innej nieruchomości kształtu geometrycznego można zidentyfikować Pitagorasa.Twierdzi się, że trójkąt z kątem 90 stopni (prostokątne) jest równa sumie kwadratów nóg do kwadratu przeciwprostokątnej.

suma kątów trójkąta równoramiennego

Wcześniej powiedział, że trójkąt równoramienny nazywa trzech wierzchołków wielokąta z dwoma jednakowymi stronami zawierającymi.Ta nieruchomość jest znany figurę geometryczną: kąty przy podstawie równi.Pozwól nam to udowodnić.

Weź trójkąta KMN, który jest równoramienny, SC - jego podstawy.Jesteśmy zobowiązani do udowodnienia, że ∟K = ∟N.Więc załóżmy, że MA - dwusieczna jest nasz trójkąt KMN.Trójkąt MCA z pierwszym znakiem trójkąta jest równa MNA.Mianowicie warunek ponieważ CM = HM, MA jest strona wspólna, ∟1 = ∟2, ponieważ AI - dwusiecznej.Korzystanie równość dwóch trójkątów, można argumentować, że ∟K = ∟N.Stąd twierdzenie jest udowodnione.

Ale nas interesuje, co jest suma kątów trójkąta równoramiennego) (.Ponieważ w związku z tym nie ma jego możliwości, zaczniemy z twierdzenia omówionego powyżej.Oznacza to, że można powiedzieć, że ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, lub 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (w ∟K = ∟N).Ten obiekt nie będzie udowodnić, jak ona tw sumę kątów trójkąta został sprawdzonych wcześniej.

Również biorąc pod uwagę właściwości rogach trójkąta, są też takie ważne deklaracje:

ciągu równobocznego wysokość trójkąta, który został obniżony do bazy, jest mediana, dwusieczną kąta, który jest między równymi stronami, a także osi symetrii jej powstania;
Mediana (wysokość dwusieczna), które są utrzymywane na boki geometrycznego rysunku są równe.

trójkąt równoboczny

Nazywa się też rację, jest trójkąt, które są jednakowe dla wszystkich stron.A więc także równe kąty.Każdy z nich jest 60 stopni.Udowodnimy nieruchomość.

Załóżmy, że mamy trójkąt KMN.Wiemy, że KM = NM = CL.Oznacza to, że zgodnie z rogach nieruchomości, znajduje się w bazie w trójkąt równoboczny, ∟K = = ∟M ∟N.Ponieważ zgodnie z sumą kątów twierdzenia trójkąta ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° lub ∟K = 60 ° ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Tak więc, dokazano.Kak zestawienie w widoku z góry w oparciu o dowody z twierdzeniem suma kątów trójkąta równobocznego jako suma kątów dowolnego innego trójkąta wynosi 180 stopni.Ponownie udowadniając, to twierdzenie nie jest konieczne.

Istnieje nadal pewne właściwości charakterystyczne równobocznego trójkąta:

mediana, dwusieczną, wysokość w takiej geometrycznej rysunku są takie same, a ich długość jest obliczana jako (a krotne √3) 2;
jeśli opisać wielokąt wokół tego okręgu, to jego promień jest równy (A x √3): 3;
jeśli trójkąt równoboczny wpisany okrąg, a promień będzie (ix √3): 6;
Powierzchnia tego figura geometryczna jest obliczana w następujący sposób: (a2): X √3 4.

trójkąt rozwarty

definicji rozwartego trójkąta, jeden z narożników wynosi od 90 do 180 ° C.Jednak biorąc pod uwagę, że kąt dwóch pozostałych kształtów geometrycznych są ostre, można stwierdzić, że nie będą one przekraczać 90 stopni.W związku z tym, twierdzenie suma kątów trójkąta pracy przy obliczaniu sumy kątów rozwartym trójkąta.Tak więc, można powiedzieć, że bezpiecznie na podstawie wyżej twierdzenia, że suma kątów rozwartych trójkąt 180 stopni.Ponownie, to twierdzenie nie musi ponownie udowodnić.