studiował zaawansowanych matematyki powinny być znane, że suma szeregu potęgowego w przedziale zbieżności wielu z nas, jest ciągła i nieograniczoną liczbę razy funkcję zróżnicowane.Powstaje pytanie: Czy jest możliwe, aby twierdzić, że dany dowolną funkcję f (x) - jest sumą szeregu potęgowego?To jest, na jakich warunkach f f-la (x) może być reprezentowany przez szereg zasilania?Znaczenie tego problemu jest to, że jest możliwe zastąpienie około Q-uw f (x) jest sumą pierwszych względem cyklu zasilania, który jest wielomianem.Taka funkcja wymiany jest prosta expression - wielomianem - jest wygodny i rozwiązywania pewnych problemów analizy matematycznej, a mianowicie w rozwiązaniu całki do obliczania równań różniczkowych i TD
okazało się, że do pewnego f ii f (x)które mogą obliczyć pochodne (n + 1) tego rzędu, w tym ostatni, w pobliżu (alfa - R X0 + R) w punkcie x = a jest uzasadniona, formuła:
Wzór ten został nazwany na cześć słynnego naukowca Brooke Taylor,Seria, która wywodzi się od poprzedniego, zwany szereg Maclaurina:
zasada, która pozwala produkować ekspansję Maclaurin serii:
- Wyznaczyć pochodne w pierwszym, drugim, trzecim ... porządku.
- obliczono które są pochodnymi z x = 0.Zapis serii
- Maclaurin dla tej funkcji, a następnie, aby określić przedział zbieżności.
- określić interwał (R, R), przy czym pozostała część wzoru Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 dla n - & gt;nieskończoności.Jeśli istnieje, to funkcja f (x) musi być równa sumie serii Maclaurin.
Rozważmy teraz szereg Maclaurina dla poszczególnych funkcji.
1. W ten sposób, pierwszy jest f (x) = ex.Oczywiście, według ich cech takich f-la ma pochodne różnych zleceń i F (k) (x) = ex, gdzie k jest równe dla wszystkich liczb naturalnych.Podstawiając x = 0.Otrzymujemy f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... W oparciu o powyższe, liczba ex będzie następujący:
2. szereg Maclaurina dla funkcji f (x) = sin x.Natychmiast określić, że F-IA dla wszystkich niewiadomych będzie miał pochodne oprócz f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2), ..., K (K), (x) = sin (x + k * n / 2), gdzie k jest równa dowolnej liczby całkowitej.Oznacza to, że poprzez wykonywanie prostych obliczeń, możemy stwierdzić, że seria dla f (x) = sin x jest tego typu:
3. Rozważmy teraz Wydziale Teologicznym f (x) = cos x.To jest dla wszystkich nieznanym ma pochodne dowolnej kolejności, a | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... jeszcze raz, produkcjipewne obliczenia, okazuje się, że seria dla f (x) = cos x będzie wyglądać następująco:
Mamy więc wymieniono najważniejsze cechy, które mogą być rozszerzone w serii Maclaurin, ale uzupełnia szereg Taylora dla niektórych funkcji.Teraz będziemy notować je dobrze.Należy również zauważyć, że szereg Maclaurina Taylor i są ważną częścią serii warsztatów w roztworach matematyki wyższej.Tak, szereg Taylora.
1. Pierwszy jest seria F-ii f (x) = ln (1 + x).Podobnie jak w poprzednich przykładach, przez to, że F (x) = ln (1 + x) może być złożony z rzędu, stosując ogólną postać szeregu Maclaurin.Jednak funkcja Maclaurin można uzyskać o wiele łatwiejsze.Integracja geometryczne serii, mamy serię dla f (x) = ln (1 + i) próbki:
2. a druga, która będzie ostateczna w tym artykule, jest seria dla f (x) = arctg jest.Dla x należącego do przedziału [-1, 1] jest rozbudowa targów:
To wszystko.W tym artykule zostały uznane za najbardziej używane szereg Maclaurina i Taylor w wyższej matematyki, w szczególności w uczelniach ekonomicznych i technicznych.
