W płaszczyźnie przestrzeni może być określona na różne sposoby (jeden punkt i wektor i wektor dwóch punktach, trzy punkty, itp).To właśnie w tym równaniu samolotu może mieć różnego rodzaju.Ponadto, w pewnych warunkach samolot może być równoległe, prostopadłe, przecinające się, itd.Dyskusja na ten temat, a w tym artykule.Dowiemy się, aby ogólną równania płaszczyzny i nie tylko.
Normalny równanie
Załóżmy, że istnieje przestrzeń R3, która ma prostokątny układ współrzędnych XYZ.Definiujemy α wektorowe, które zostaną uwolnione z początkowego punktu A. Przez koniec alfa wektora narysować samolot P, która jest prostopadła do niej.
Niech P na dowolny punkt Q = (x, y, z).Promień wektor punktu Q podpisać się p.Długość wektora alfa wynosi p = IαI i ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
to jest wektorem jednostkowym, który jest skierowany w bok, jak również wektor α.α, β i γ - jest kątem utworzonym pomiędzy ʋ wektora i pozytywnych kierunków osi odpowiednio przestrzeni X, Y, Z.Projekcja punktu na wektorze ʋ QεP jest na stałym poziomie, co jest równe p (p, ʋ) = p (r≥0).
Powyższe równanie ma sens, gdy p = 0.Tylko płaszczyzny P, w tym przypadku punktu przecięcia D (α = 0), który jest źródłem oraz wektor jednostkowy ʋ wydany z punktu O będą prostopadłe do P, pomimo jego kierunku, co oznacza, że ʋ wektor określanydo podpisania.Poprzedni równanie jest nasz samolot II, wyrażona w postaci wektorowej.Jednak we współrzędnych tego rodzaju jest tak:
P jest większa niż lub równa 0. Stwierdziliśmy równanie płaszczyzny w przestrzeni w sposób normalny.Ogólne równanie
Jeśli równanie współrzędnych pomnożyć dowolną ilość, która nie jest równa zeru, to uzyskać odpowiednik równanie to, że wyznacza się bardzo samolotu.Będzie miał widok:
Tutaj A, B, C - jest liczbą jednocześnie różny od zera.Równanie to jest określane jako równanie płaszczyzny ogólnej formie.
równanie płaszczyzny.Równanie
przypadki, zwłaszcza w formie ogólnej można modyfikować z dodatkowymi warunkami.Rozważmy niektóre z nich.
przyjąć, że współczynnik A jest równa 0, oznacza to, że płaszczyzna jest równoległa do danej osi Ox.W tym przypadku należy zmienić postać równania: Vu + Cz + D = 0.
podobna postać równania zmieni i na następujących warunkach:
- pierwszy, gdy B = 0, to równanie zmienia się Ax + Cz + D = 0, które wskazywałyby równolegle do osi y.
- drugie, jeśli C = 0, to równanie jest przekształcany ax + by + D = 0, nie będzie talk o równolegle do określonej osi OZ.
- trzecie, gdy D = 0, to równanie będzie wyglądać Ax + By + Cz = 0, co oznaczałoby, że samolot przecina O (pochodzenie).
- czwarte, jeżeli A = B = 0, to równanie zmienia Cz + D = 0, które okażą się równolegle do Oxy.
- piąte, jeśli B = C = 0, równanie staje Ax + D = 0, co oznacza, że płaszczyzna jest równoległa do Oyz.
- szóste, jeśli A = C = 0, równanie przyjmuje postać Vu + D = 0, to nie będzie równoległa do raportu Oxz.Równania typu
w sekcji
W przypadku, gdy liczba A, B, C, D są różne od zera, postać równania (0), mogą być następujące:
x / a + y / b + z / a= 1,
którym a = D / A, b = D / B, c = D / C.
Uzyskaj wynik równania płaszczyzny w kawałkach.Należy zauważyć, że ta płaszczyzna przecina osi OX w układzie współrzędnych (a, 0,0), dy - (0, b, 0) i Oz - (0,0, s).
W związku z równania / a x + y + z / b / c = 1, jest to łatwe do uwidocznienia rozmieszczenia płaszczyźnie w stosunku do danego układu współrzędnych.
współrzędne normalnej wektora
wektora normalnego n do płaszczyzny P ma współrzędne, które są współczynniki równania ogólnej płaszczyźnie, czyli n (A, B, C).
W celu określenia współrzędnych normalnego N, wystarczy znać ogólne równanie danej powierzchni.
Przy użyciu równania z segmentów, które mają postać x / a + y / b + z / c = 1, gdy stosuje się ogólne równanie można zapisać współrzędne dowolnego wektora normalnego danej płaszczyzny (1 / a + 1 / b +1 / s).
Warto zauważyć, że wektor normalny pomaga rozwiązywać różne problemy.Najbardziej powszechne są problemy, jest dowodem prostopadłych lub równoległych płaszczyznach, zadanie znalezienia kątów między płaszczyznami lub kątów między płaszczyznami i liniami.
równanie rzutem według współrzędnych punktu i wektora normalnego wektora
niezerowe n, prostopadłej do danej płaszczyźnie, zwanego normalnego (normalny) dla danego samolotu.
przyjąć, że przestrzeń (prostokątny układ współrzędnych) Oxyz zadawane współrzędnych: punkt
- Mₒ o współrzędnych (hₒ, uₒ, zₒ);
- zera wektor n = A * i + j + B C * * k.
konieczne, aby równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt prostopadle do normalnej Mₒ n.W przestrzeni
wybrać dowolny dowolny punkt i niech M (x y, z).Niech promień wektor według dowolnego punktu M (x, y, z) r = x * i + y * j + z * k, a promień wektora punktu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Punkt M należy do danej powierzchni, jeśli wektor jest prostopadła do wektora MₒM n.Piszemy warunku ortogonalności za pomocą produktu skalarnego:
[MₒM, n] = 0.
Rejestracja MₒM = r-rₒ, równanie wektorowe samolotu będzie wyglądać następująco:
[R - rₒ, n] = 0.
Równanie to może mieć inny kształt.W tym celu właściwości produktu skalarnego i przekształcił się po lewej stronie równania.[R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Jeśli [rₒ, n] oznaczone jako s, otrzymujemy następujące równanie: [r, n] - C = 0 lub [r, n] = S, który wyraża spójności w występy wektora normalnego promienia-wektorów danych punktów, które należą do płaszczyzny.
Teraz możesz dostać rodzaj zapisu współrzędnych nasz samolot wektor równania [R - rₒ, n] = 0. Ponieważ R-rₒ = (x-hₒ) * I + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * ki n = A * i + j + B C * k mamy:
okazuje się, tworzy się wykres z płaszczyzną przechodzącą przez punkt prostopadle do normalnej n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Rodzaj równania płaszczyzny według współrzędnych dwóch punktów i płaszczyzny wektor współliniowe
zdefiniować dwa punkty M '(x', y ', z') i M '(x ", y", z "), jak również wektor(A ', A "i ‴).
Teraz możemy utożsamiać dany samolot, który odbędzie się w ramach istniejących punktów M 'i M ", a także dowolny punkt M o współrzędnych (x, y, z), równolegle do danego wektora.
to M'M wektory {x, X ', Y, Y'; zz '} i M "M = {x" -x', y 'y'; Z "-Z"} powinny być współpłaszczyznowewektor a = (a ", a", ‴), a to oznacza (M'M, M 'M, a) = 0.
Tak więc nasze równanie płaszczyzny w przestrzeni będzie wyglądać tak:
typu równania płaszczyzny przecinające się trzy punkty
Załóżmy, że mamy trzy punkty (x ', y', z '), (x', y"Z"), (x ‴ Posiadane ‴, z ‴), które nie należą do tej samej linii.Jest to konieczne, aby zapisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez określone trzy punkty.Teoria geometrii twierdzi, że tego typu samolotu nie istnieje, to tylko jeden jedyny.Ponieważ ta płaszczyzna przecina punkt (x ', y' z '), forma jego równanie jest następujące:
Tutaj A, B, i C są różne od zera, w tym samym czasie.Również biorąc pod uwagę samolot przecina dwa punkty (x ', y', z ') i (x ‴ Have ‴, z ‴).W związku z tym należy przeprowadzić tego rodzaju warunków:
Teraz możemy stworzyć jednolity układ równań (liniowych) z niewiadomych u, v, w:
w naszym przypadku, X, Y lub Z pojawia dowolny punkt, który spełniaRównanie (1).Biorąc pod uwagę, równanie (1) i układ równań (2) i (3), układ równań przedstawiony na rysunku powyżej, spełnia wektora N (A, B, C), który jest nietrywialna.To dlatego, że wyznacznikiem układu wynosi zero.
Równanie (1), co mamy, to jest równanie płaszczyzny.Po 3 punktu ona naprawdę idzie, i jest to łatwe do sprawdzenia.Aby to zrobić, rozkładają wyznacznik elementów znajdujących się w pierwszym rzędzie.Istniejących właściwości wyznacznika oznacza to, że nasz samolot w tym samym czasie trzy krzyże początkowo podane punkty (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴).Więc zdecydowaliśmy się umieścić przed nami.
kąt dwuścienny między płaszczyznami
kąt dwuścienny jest geometryczny kształt przestrzennego składa się z dwóch połówek samolotów, które pochodzą z tej samej linii.Innymi słowy, ta część powierzchni, która jest ograniczona do połowy powierzchni.
Załóżmy, że posiada dwie płaszczyzny z następującymi równaniami:
Wiemy, że wektory N = (A, B, C) i N¹ = (A¹, H¹, S¹) zgodnie z zestawem prostopadłych płaszczyznach.W związku z tym kąt φ pomiędzy wektorami N i N¹ równoramienne (wzniosu), która znajduje się między tymi płaszczyznami.Produkt skalarne jest dana przez:
NN¹ = | N || N¹ | cos cp,
właśnie dlatego
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + V²² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
wystarczy, aby uznać, że 0≤φ≤π.
właściwie dwa samoloty, które przecinają się, tworząc dwa kąty (dwuścienny): φ1 i φ2.Kwota ta jest równa ich Õ (φ1 + φ2 = Õ).Co do ich cosinusów, ich wartości bezwzględne są równe, ale są różne znaki, czyli cos φ1 = -cos φ2.Jeśli w równaniu (0) jest zastąpiona przez A, B i C -A, -B i -C odpowiednio równania otrzymujemy określi, w tej samej płaszczyźnie, tylko kąt φ w COS równanie N = NN1 / | N|| N1 | zostaną zastąpione przez Õ-cp.
równanie prostopadle do płaszczyzny prostopadłej do
zwany płaszczyzny, pomiędzy którymi jest kąt 90 °.Z materiału przedstawionego powyżej, można znaleźć równanie płaszczyźnie prostopadłej do drugiej.Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0 i A¹h + S¹z V¹u + D = 0.Można powiedzieć, że są prostopadłe jeśli cosφ = 0.Oznacza to, że AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
równanie równoległe płaszczyzny
dwie płaszczyzny równoległe zwany które nie zawierają punkty wspólne.Stan
równoległych płaszczyznach (ich wzory są takie same, jak w poprzednim ustępie), że n wektorów i N¹, które się do nich prostopadłe prostej.Oznacza to, że następujące warunki proporcjonalności:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Jeżeli warunki proporcjonalności są rozszerzone - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
oznacza to, że na płaszczyźnie danych tego samego.Oznacza to, że to równanie Ax + o + Cz + D = 0 i + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 opisu jednej płaszczyźnie.
odległość powierzchni od punktu
Załóżmy, że mamy do płaszczyzny P, która jest podana przez równanie (0).Jest to konieczne, aby znaleźć jej odległość od punktu o współrzędnych (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Aby to zrobić, trzeba wnieść równanie płaszczyzny P w postaci normalnej:
(ρ, v) = P (r≥0).
W tym przypadku ρ (x, y, z) jest promieniem vector naszego punkcie P, który znajduje się na N, P - jest prostopadła odległość P, który został zwolniony od punktu zerowego, v - jest wektorem jednostkowym, który znajduje się w kierunku,
różnica ρ-ρº Promień wektorowych z punktu P = (x, y, z), którego właścicielem jest P i promień wodzący danego punktu Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) jest wartość bezwzględna taki wektorktórych prognozy przez v równa odległość d, co jest niezbędne do znalezienia z Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, ale
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Okazuje się,
d = | (ρ0, v) p |.
obecnie postrzegane obliczyć odległość d od Q0 do płaszczyzny P, należy użyć normalnej formy płaszczyźnie równania, przesunięcie na lewo od rzeki, a ostatnie miejsce x, y, z substytut (hₒ, uₒ, zₒ).
Tak więc, możemy znaleźć wartość bezwzględną wynikającą wypowiedzi, że jest poszukiwana d.
pomocą ustawień językowych, otrzymujemy oczywiste:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).
Jeżeli dany punkt Q0 znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny P, jak pochodzenie, pomiędzy wektora p-ρ0 a v oznacza kąt rozwarty, a więc:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) p & gt; 0.
W przypadku, gdy punkt Q0 wraz z początkiem znajduje się po tej samej stronie w kształcie litery U, generowana kąt jest ostre, to jest:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0 V) & gt;0.
Wynikiem jest to, że w pierwszym przypadku (ρ0 V) & gt; p, drugie (ρ0 V) Mieszaninę p.
płaszczyzny stycznej, a jego równanie
Jak na samolot do powierzchni w punkcie kontaktowym Mº - płaszczyzną zawierającą wszystkie możliwe stycznej do krzywej w danym punkcie wyciągnąć na powierzchnię.
W tego typu równania powierzchni F (x, y, z) = 0 równanie płaszczyzny stycznej w punkcie styczna Mº (hº, uº, zº) będzie wyglądać następująco:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Jeśli podasz wyraźnie powierzchni z = f (x, y), płaszczyzna styczna jest opisany równaniem:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
przecięcia dwóch płaszczyzn
w przestrzeni trójwymiarowej jest układ współrzędnych (prostokątne) Oxyz, biorąc pod uwagę dwie płaszczyzn P 'i P ", które zachodzą na siebie i nie są takie same.Od dowolnej płaszczyźnie, która jest w prostokątnym układzie współrzędnych definiuje się według ogólnego wzoru, zakłada się, że n 'i n "są podane równania A'x + + V'u S'z + D' = 0, a" x + B "y +"D + z" = 0.W tym przypadku mamy normalną n '(A', B ', C') na płaszczyźnie P "i normalnej n '(A', B ', C') na płaszczyźnie P".Ponieważ nasz samolot nie są równoległe i nie pokrywają się, wektory te nie są współliniowe.Posługując się językiem matematyki, mamy ten warunek można zapisać jako: n ≠ n "↔ (A ', B', C ') ≠ (λ * A", λ * W ", λ * C"), λεR.Niech linię prostą, która leży na skrzyżowaniu P 'i P ", będą oznaczone literą A, w tym przypadku = n' ∩ P".
a - jest to bezpośredni, składający się z szeregu punktów (ogólnie) płaszczyzn P 'i P ".Oznacza to, że współrzędne dowolnym momencie należącym do linii i musi równocześnie spełniać równanie A'x + + V'u S'z + D '= 0, a "x", y + B + C + D "Z" = 0.Następnie, współrzędne punktu będzie szczególności rozwiązanie następujących równań:
Powoduje to, że decyzja (ogólne) układu równań będzie określić współrzędne każdego punktu na linii, która będzie punktem przecięcia P 'i P ", a określenie bezpośredniego iw układzie współrzędnych (prostokątnego) Oxyz przestrzeni.
