Liczby rzeczywiste i ich właściwości

Pitagoras twierdził, że liczba jest fundamentem świata na równych zasadach z podstawowych elementów.Platon uważał, że liczba łączy zjawiska i Noumenon pomaga wiedzieć, aby być ważone i wyciągnąć wnioski.Arytmetyka pochodzi od słowa "arifmos" - numer, punkt wyjścia w matematyce.Jest to możliwe do opisania każdego obiektu - od podstawowego do Apple abstrakcyjnych przestrzeniach.

potrzebuje jako czynnik

W początkowych etapach społeczeństwo potrzebuje ludzi ograniczone przez konieczność utrzymania wynik -. Jednego worka zboża, dwa worki zboża, i tak dalej D. Aby to zrobić, było liczby naturalne, zestaw, który jest nieskończony ciąg liczb całkowitych dodatnichN.

Później, wraz z rozwojem matematyki jako nauki, trzeba było oddzielić pole liczb całkowitych Z - obejmuje ona wartości ujemne i zero.Jego pojawienie się na poziomie gospodarstw domowych została wywołana przez fakt, że początkowe rozliczenie musiał jakoś naprawić długów i strat.Na poziomie naukowym, liczby ujemne pozwoliło na rozwiązywanie prostych równań liniowych.Między innymi, jest obecnie możliwe, aby obraz trywialne układu współrzędnych, tj. A. Pojawił benchmarku.

Kolejnym krokiem była konieczność wprowadzania cyfr ułamkowych, ponieważ nauka nie stoi w miejscu, coraz więcej nowych odkryć zażądał teoretyczne ramy dla nowej wzrostu Push.Więc nie było pole liczb wymiernych Q.

końcu przestały spełniać wymagania racjonalności, ponieważ wszystkie nowe odkrycia wymagają uzasadnienia.Istnieje pole liczb rzeczywistych R, prace niewspółmierności Euklidesa niektóre zmienne ze względu na ich irracjonalności.Oznacza to, że liczba greckiego matematyka umieszczone nie tylko w postaci stałej, ale abstrakcyjnej wartości, która charakteryzuje się stosunkiem niewspółmierne wielkości.Ze względu na fakt, że istnieją liczby rzeczywiste, "ujrzał światło" ilości takie jak "Pi" i "e", bez których nowoczesne matematyka nie odbyłaby się.

Ostateczna innowacją było liczbą zespoloną C. odpowiedział na szereg problemów i odmówiono wcześniej wprowadzonych postulatów.Ze względu na szybki rozwój wyniku algebry było do przewidzenia - z liczb rzeczywistych, decyzja z wielu problemów, nie było to możliwe.Na przykład, z liczb zespolonych wyróżniał się teoria strun i chaos rozszerzona równania hydrodynamiki.Teoria

Ustaw.Cantor

pojęcie nieskończoności zawsze wywołała kontrowersje, ponieważ nie można było udowodnić lub obalić.W związku z matematyki, której operatorem jest ściśle weryfikowane postulaty, przejawia się najwyraźniej, zwłaszcza aspekty teologiczne wciąż waży się w nauce.

Jednak dzięki pracy matematyk Georg Cantor cały czas spadł na miejsce.Udowodnił, że jest nieskończony zbiór nieskończony zbiór, a pole R jest większa niż pola N, niech nimi a nie mieć końca.W połowie XIX wieku, jego pomysły głośno nazwał nonsensem i zbrodnią przeciwko klasycznych niezmiennych kanonów, ale czas będzie umieścić wszystko na swoim miejscu.

podstawowe właściwości pola numery Rzeczywiste R

mają nie tylko takie same właściwości jak podmozhestva że oni należą, ale są uzupełniane przez inny efekt masshabnosti jego elementy:

Zero istnieje i należy do R. pola C + 0 =c dla każdego c R.
Zero istnieje i należy do R. pola c x 0 = 0 dla dowolnego c współczynnika R.
c: d d ≠ 0, jeśli istnieje i jest ważny dla każdej c, d R.
pole R zarządza, to znaczy, jeżeli c ≤ d, d ≤ c, a następnie c = d dla wszystkich c, d R.
Dodawanie w R jest przemienne, to znaczy, c + d = d + c za c,d R.
namnażania w R jest przemienne, to c x d = d X c za c, d R.
Dodawanie w R jest asocjacyjnej, czyli (c + d) + f = c+ (d + f) w odniesieniu do c, d, f, R.
namnażania w R jest łączne tzn (c x d) = f x x c (d x f) w odniesieniu do c, d, f R.
dla każdej liczby polem R, istnieje jego odwrotnie tak, że c + (-C) = 0, w którym c, -C od R.
dla każdego numeru pole R jest naprzeciw niego, tak, że c x c-1 = 1, gdzie c, c-1 R.
Jednostka istnieje i należy do R, tak że C 1 = C x, c dla każdego z R.
obowiązującym prawem rozdzielczej, tak, że C x (d + f) = C D x + c x f, dla dowolnego c, d, f R.
w R nie równa zera do jedności.
pola R jest przechodnia: jeśli d ≤ c, d ≤ f, to f ≤ c dla każdego C, D, F R.
pola R i kolejność dodawania powiązanych ze sobą: jeśli d ≤ c, to c + f ≤d + f dla wszystkich c, d, f procedury mnożenia pola R.
R i powiązane: jeśli 0 ≤ c, d ≤ 0, 0 ≤ c x d dla każdego C, D R.
jako negatywnei dodatnimi liczbami rzeczywistymi są ciągłe, to znaczy dla każdego c, d R istnieje F w taki sposób, że R, c ≤ f ≤ d.Moduł

w liczb rzeczywistych R

to coś takiego jak moduł.Oznacza on zarówno | f | dla wszystkich F w R. | f | = F, jeśli 0 ≤ f i | f | = -f jeśli 0 °f.Jeśli weźmiemy pod uwagę moduł jako wartość geometrycznego, stanowi odległość przebytą - czy "przeszedł" was jako zero negatywnej do dodatniego lub do przodu.Złożone i prawdziwe numery

.Jakie są podobieństwa i różnice?

Przez i duże, skomplikowane i prawdziwe numery - to samo, z tym że pierwszy dołączyła jednostka urojona, której kwadrat jest -1.Elementy pola R i C można przedstawić za pomocą następującego wzoru:

c = d + f x i, gdzie d, f do dziedziny badań, a ja - jednostka urojona.

Aby uzyskać c R w przypadku f Zakłada się, że po prostu zero, to jest tylko część rzeczywista liczby.Ponieważ pole kompleks ma taką samą rolę, co rzeczywistego pola, f x i = 0, jeśli f = 0

chodzi o praktyczne różnice, na przykład R kwadratowego równania nie można rozwiązać, jeżeli discriminant ujemnynatomiast w polu C nie przewiduje takiego ograniczenia ze względu na wprowadzenie jednostka urojona.

Wyniki

"cegły" aksjomatów i postulatów, na których matematyka nie zmieniają.W niektórych z nich ze względu na wzrost informacji i wprowadzeniem nowych teorii umieszczone następujące "cegły", które potencjalnie mogą być podstawą do następnego etapu.Na przykład, liczbami naturalnymi, mimo że są podzbiorem Rzeczywiste pole R, nie tracą na znaczeniu.To jest na podstawie wszystkich z nich elementarnej arytmetyki, który rozpoczyna się znajomość człowiek pokoju.

Z praktycznego punktu widzenia, liczbami wyglądać w linii prostej.Możliwe jest, aby wybrać kierunek, do określenia pochodzenia i boiska.Bezpośredni składa się z nieskończonej liczby punktów, z których każda odpowiada jednej liczby rzeczywistej, niezależnie od tego, czy jest to skuteczne.Z opisu jasno wynika, że mówimy o koncepcji, która opiera się na matematyce w ogóle, i analizy matematycznej w szczególności.