método iteração simples, também chamado de método de aproximações sucessivas - um algoritmo matemático para encontrar os valores das quantidades desconhecidas pela gradualmente esclarecê-lo.A essência deste método é que, como o nome indica, estão gradualmente a expressar uma aproximação inicial de os subsequentes, estão tornando-se resultados mais refinados.Este método é usado para encontrar o valor de uma variável, em função de uma dada, e resolver sistemas de equações, lineares e não-lineares.
Considere como este método é implementado na solução de sistemas lineares.Método de iteração simples algoritmo é a seguinte:
1. Verifique a condição de convergência na matriz original.O teorema de convergência se o sistema de matriz inicial tem um domínio diagonal (isto é, cada fila dos elementos da diagonal principal deve ser maior em magnitude do que a soma dos elementos da diagonal da parte lateral do módulo), o método de iteração simples - convergente.
2. A matriz do sistema original nem sempre é a dominância diagonal.Em tais casos, o sistema pode converter.As equações que satisfazem a condição de convergência é deixada intacta, mas com insatisfatório fazer combinações lineares, ou seja,multiplicar, subtrair, adicionar-se as equações em conjunto para obter o resultado desejado.
Se o sistema resultante nas principais coeficientes diagonais são desconfortáveis, em seguida, para ambos os lados desta equação é adicionado termos da forma ci * xi, sinais que devem coincidir com os sinais dos elementos da diagonal.
3. Converta o sistema resultante ao modo normal:
x- = β- + α * x-
Isso pode ser feito de várias maneiras, por exemplo: com a primeira equação Express x1 através de outro desconhecido do x2 vtorogo- detretego- x3 etc.Ao mesmo tempo, usamos a fórmula:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
deve voltar a garantir que o sistema de tipo normal corresponde à condição de convergência:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,enquanto i = 1,2, ... n
4. Iniciar a utilizar, de facto, o método das aproximações sucessivas.
x (0) - aproximação inicial, expressamos através x (1), seguido de x (1) expressas x (2).A fórmula geral de uma forma matricial se parece com isso:
x (n) = β- + α * x (n-1)
calcular até chegarmos a precisão desejada:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Então, vamos olhar para a prática do método de iteração simples.Exemplo:
resolver sistemas lineares:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 com precisão ε = 10-3
Vamos ver, se dominada pelos elementos da diagonal da módulo.
Vemos que a condição de convergência satisfaz apenas a terceira equação.A primeira ea segunda converter para a primeira equação somarmos o segundo:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
subtrair o primeiro a partir da terceira:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Nós transformou o originalsistema equivalente:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
agora dar o sistema de forma normal:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Verifique a convergência do processo de iteração:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, ou seja,a condição for atendida.
0,3947
aproximação inicial x (0) = 0,4762 0,8511
Substitua esses valores na equação de forma normal, obtemos os seguintes valores:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
substituir novos valores, temos:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
continuar a calcular até o momento ainda não chegou perto dos valores que atendam a condições especificadas.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
verificar a exatidão dos resultados:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 resultados
obtida substituindo os valores encontrados na equação original, satisfazer plenamente a equação.
Como podemos ver, o método de iteração simples dá um resultado bastante precisos, mas para a solução dessa equação que teve que gastar um monte de tempo e fazer cálculos complicados.
