estudou matemática avançada deve ser conhecido que a soma de uma série de potência no intervalo de convergência de um número de nós, é um número contínuo e ilimitado de vezes função diferenciados.Surge a pergunta: é possível argumentar que, dada uma função arbitrária f (x) - é a soma de uma série de potência?Isto é, em que condições o f f-Ia (x) pode ser representada por uma série de potência?A importância deste problema é que é possível substituir cerca de Q-uw f (x) é a soma dos primeiros termos de uma série de potência, que é polinomial.Tal função é expressão substituição muito simples - polinomial -. É conveniente e na resolução de certos problemas na análise matemática, nomeadamente na solução integrais no cálculo equações diferenciais, e assim por diante D.
provaram que, para alguns f-II F (x)que pode calcular os derivados da (n + 1) th ordem, incluindo o mais recente, nas imediações do (α - R; x0 + R) de um ponto x = α é uma fórmula justa:
Esta fórmula é nomeado após o famoso cientista Brooke Taylor.A série, que é derivada da anterior, chamado de uma série de Maclaurin: regra
que faz com que seja possível produzir uma expansão em série de Maclaurin:
- Determinar os derivados da primeira, segunda, terceira ordem de ....
- calculado, que são derivados em x = 0.Série
- ficha Maclaurin para esta função, e, em seguida, para determinar o intervalo de convergência.
- determinar o intervalo (-R; R), onde o restante da fórmula Maclaurin
Rn (X) - & gt;0 para n - & gt;infinito.Se ela existir, é função f (x) deve ser igual à soma da série Maclaurin.
Considere agora a série Maclaurin para as funções individuais.
1. Assim, o primeiro é f (x) = ex.Claro que, pelas suas características, tais F-Ia tem derivadas de uma variedade de ordens, e f (K) (X) = ex, em que k é igual a todos os números naturais.A substituição de x = 0.Obtemos f (K) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Com base no que precede, um número de ex vai ser como se segue: 2.
série Maclaurin para a função f (x) = seno x.Imediatamente especificar que F-Ia para todos os desconhecidos terá além derivados f (x) = cos x = sen (x + N / 2), f '' (x) = x -sin = sen (x+ 2 * N / 2) ..., f (K) (X) = sen (x + k * n / 2), em que k é igual a um número inteiro positivo.Ou seja, através da realização de cálculos simples, podemos concluir que a série para f (x) = sin x é deste tipo:
3. Agora vamos considerar a Faculdade Teológica de f (x) = cos x.É de todo o desconhecido tem derivadas de ordem arbitrária, e | f (K) (X) | = | cos (x + K * N / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ..., mais uma vez, produzindocertos cálculos, descobrimos que a série para f (x) = cos x ficaria assim:
Assim, listamos as características mais importantes que podem ser expandidas em uma série Maclaurin, mas eles complementam a série de Taylor para algumas funções.Agora vamos enumerá-los também.Deve também ser notado que Taylor e Maclaurin série são uma parte importante da série oficina em soluções de matemática superior.Então, série de Taylor.
1. A primeira é a série de F-II F (x) = ln (1 + x).Como nos exemplos anteriores, para isso, f (x) = ln (1 + x) pode ser dobrado em uma linha, utilizando o formulário geral da série Maclaurin.No entanto, esta função pode ser obtida Maclaurin muito mais fácil.Integrando uma série geométrica, temos a série para f (x) = ln (1 + i) da amostra:
2. E a segunda, que será a final neste artigo, é a série de f (x) = arctg de.Para x pertencente ao intervalo [-1, 1] é a expansão da feira:
Isso é tudo.Neste artigo, foram consideradas a série Maclaurin e Taylor mais utilizado na matemática superior, em particular nos colégios económicas e técnicas.
