No plano espaço pode ser definida de maneiras diferentes (por um ponto e de um vector e o vector de dois pontos, de três pontos, etc.).É nesta equação do plano pode ter vários tipos.Também, sob certas condições, o avião pode ser paralela, perpendicular, que intersecta, etc.Nesta e falar neste artigo.Vamos aprender a fazer a equação geral do avião e não só.
normal equação
Suponha que há um espaço R3, que tem uma coordenada retangular sistema XYZ.Nós definimos as α vector, que irão ser libertados a partir do ponto inicial A. Através do final dos α vector desenhar o plano P, que é perpendicular a ele.
Let P em um ponto arbitrário Q = (x, y, z).O vetor raio do ponto Q assinar a carta p.O comprimento do vector α é igual a p = IαI e ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
É um vector de unidade, o qual é dirigido para o lado, bem como vector α.α, β, e γ - é o ângulo formado entre o vector e instruções ʋ positivos dos eixos do espaço X, Y, Z, respectivamente.A projecção de um ponto no vector ʋ QεP é uma constante, que é igual a P (P, ʋ) = p (r≥0).
A equação acima faz sentido, quando p = 0.O único plano P, neste caso, se cruzam ponto D (α = 0), que está na origem, e a unidade de vetor ʋ, libertado a partir do ponto O será perpendicular ao P, apesar da sua direcção, o que significa que o vector de ʋ determinada-se a assinar.Equação anterior é o nosso plano II, expressa na forma vetorial.Mas as coordenadas de seu tipo a ser assim:
P é maior ou igual a 0. Nós encontramos a equação do plano no espaço de uma forma normal.
equação geral
Se a equação nas coordenadas multiplicar qualquer número que não é igual a zero, obtém-se a equação equivalente a isto que define o plano muito.Ela terá uma visão:
Aqui A, B, C - é o número ao mesmo tempo diferente de zero.Esta equação é referido como o plano da equação de forma geral.Equação
do avião.Equação em particular
casos de uma forma geral pode ser modificado com condições adicionais.Considere alguns deles.
assumir que o coeficiente a é igual a 0. Isto significa que o plano é paralelo a um determinado eixo Ox.Nesse caso, alterar a forma da equação: Vu + Cz + D = 0.
forma semelhante da equação mudará e sob as seguintes condições:
- Em primeiro lugar, quando B = 0, então as mudanças equação para Ax + Cz + D = 0 que indicariam paralelo ao eixo y.
- Em segundo lugar, se a relação C = 0, a equação se transforma em Ax + By + D = 0, haverá Discussão sobre paralela ao eixo predeterminado Oz.
- terceiro lugar, quando D = 0, a equação ficaria assim Ax + By + Cz = 0, o que significaria que o plano intercepta O (a origem).
- quarto lugar, se A = B = 0, então as mudanças equação para Cz + D = 0, o que irá provar paralela à Oxy.
- Em quinto lugar, se B = C = 0, a equação torna-se Ax + D = 0, o que significa que o plano é paralelo ao Oyz.
- Em sexto lugar, se A = C = 0, a equação toma a forma Vu + D = 0, então não haverá paralelo ao relatório Oxz.Equações tipo
em secções de
no caso em que o número de A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser como se segue:
X / A + y / b + Z / A= 1,
em que a = D / A, b = D / B, c = D / C.
Obtenha uma equação resultado do avião em pedaços.Deve notar-se que este plano vai intersectar o eixo Ox nas coordenadas (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) e Oz - (0,0, s).
Em vista da equação x / y A + / b + Z / C = 1, que é fácil de visualizar o posicionamento do avião em relação a um determinado sistema de coordenadas.
coordenadas do vector
vetor normal n normal ao plano P tem coordenadas, que são os coeficientes da equação geral do plano, isto é, N (A, B, C).
A fim de determinar as coordenadas do n normais, é suficiente para saber a equação geral de um plano dado.
Quando utilizando equações em segmentos, que tem a forma x / a + y / b + Z / C = 1, como quando se utiliza a equação geral pode ser coordenadas de qualquer vector normal de um plano dado escrito: (1 / a + 1 / b +1 / s).
interessante notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas.Os mais comuns são os problemas, é uma prova de planos perpendiculares ou paralelas, a tarefa de encontrar os ângulos entre os planos e ângulos entre aviões e linhas.
equação vista em planta de acordo com as coordenadas do ponto e o vector
diferente de zero vector normal N, perpendicular a um plano dado, chamado normal (normal) para um dado plano.
assumir que o espaço (um sistema de coordenadas retangulares) OXYZ perguntou coordenar: ponto
- Mₒ com coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ);
- vetor zero n = A * i + j + B C * * k.
necessário para fazer a equação do plano que passa através do ponto perpendicular ao Mₒ N normal.No espaço
escolher qualquer ponto arbitrário e deixá-la M (x y, z).Deixe o raio vetor de qualquer ponto M (x, y, z) é r = x * i + y * j + z * k, eo raio vetor do Mₒ ponto (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* J + zₒ * k.O ponto H pertence a um dado avião, se o vector é perpendicular ao vector MₒM n.Nós escrevemos a condição de ortogonalidade por meio do produto escalar:
[MₒM, n] = 0.
Desde MₒM = r-rₒ, equação vector do plano será parecido com este:
[r - rₒ, n] = 0.
Esta equação pode ter uma forma diferente.Para este fim, as propriedades do produto escalar, e transformado no lado esquerdo da equação.[r - rₒ, n] = [R, N] - [rₒ, n].Se [rₒ, n] denotado como s, obtemos a seguinte equação: [I, n] - C = 0 ou [r, n] = S, que expressa a consistência das projecções sobre o vector normal do raio de vectores de pontos dados que pertencem ao plano.
Agora você pode obter o tipo de gravação coordenar a nossa equação vetorial avião [r - rₒ, n] = 0. Desde r-rₒ = (-hₒ x) * i + (y-uₒ) * (z-zₒ) j + * ke n = A * i + j + B C * * k, temos:
despeja, é formado em nossa equação do plano que passa pelo ponto perpendicular à normal, n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
tipo de equação plano de acordo com as coordenadas de dois pontos e um plano vector colinear
Definir dois pontos M '(x', y ', z') e M '(X ", Y", Z "), bem como vector de uma(A ', A "e ‴).
Agora podemos equacionar um determinado plano, que terá lugar através do pontos existentes M 'e M ", bem como qualquer ponto com coordenadas M (x, y, z) paralelamente a um dado vetor.
Este vectores M'M {x, x ', y, y'; zz '} e H "H = {X" X', Y 'Y'; Z "-z '} deve ser coplanaresvector a = (A ', A ", um ‴), e que os meios (M'M, H' H, a) = 0.
Então nossa equação de um plano no espaço ficaria assim:
avião tipo de equação de interseção dos três pontos
Suponha que temos três pontos (x ', y', z '), (x', y", Z"), (x ‴ possui ‴, Z ‴), que não pertencem à mesma linha.É necessário escrever a equação de o plano que passa através dos três pontos especificados.A teoria da geometria argumenta que esse tipo de plano não existe, é apenas um e só.Uma vez que este plano intercepta o ponto (x ', y', z '), a sua forma de equação é a seguinte:
Aqui A, B, e C são diferentes de zero, ao mesmo tempo.Também deu plano intercepta os dois pontos (x ', y', z ') e (x ‴ Tenha ‴, z ‴).A este respeito deve ser realizado este tipo de condições:
Agora podemos criar um sistema uniforme de equações (linear) com incógnitas u, v, w:
Em nosso caso, x, y ou z aparece ponto arbitrário que satisfazA equação (1).Considerando a equação (1) e um sistema de equações (2) e (3), um sistema de equações mostrado na figura acima, o vector satisfaz N (A, B, C) o qual é não trivial.Isso porque o determinante do sistema é zero.
Equação (1), o que nós temos, esta é a equação do plano.Depois de 3 ponto ela realmente se passa, e é fácil de verificar.Para fazer isso, decompor o determinante dos elementos localizados na primeira linha.Das propriedades existentes do determinante que implica que o nosso plano, ao mesmo tempo três cruzes inicialmente assumido pontos (x ', y', z '), (x', y ', z'), (X ‴ possui ‴, Z ‴).Então decidimos colocar diante de nós.
ângulo diedro entre os planos
ângulo diedro é uma forma geométrica espacial formada por dois semi-planos que vêm da mesma linha.Em outras palavras, esta parte do espaço, que é limitado para o semi-plano.
Suponha que temos dois planos com as seguintes equações:
Sabemos que os vetores N = (A, B, C) e N¹ = (¹, H', S¹) de acordo com o conjunto perpendicular aviões.A este respeito, o ângulo entre os vectores φ N e N¹ igual ângulo (diedro), que está localizado entre estes planos.O produto escalar é dada por:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
precisamente porque
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (¹) ² + (H') ² + (S¹) ²)).
é suficiente para considerar que 0≤φ≤π.
na verdade, dois aviões que se cruzam para formar dois ângulos (diedro): φ1 e φ2.O montante é igual ao seu π (φ1 + φ2 = π).Tal como para os seus co-senos, os seus valores absolutos forem iguais, mas que são diferentes sinais, isto é, de cos φ1 = -cos φ2.Se na equação (0) é substituído por A, B e C de -A, -B e -C, respectivamente, a equação, obtém-se, irá determinar o mesmo plano, apenas o ângulo φ na equação cos φ NN1 = / | N|| N1 | será substituído por π-φ.Equação
perpendicular ao plano perpendicular ao
chamado plano, entre as quais o ângulo é de 90 graus.Usando o material apresentado acima, pode-se encontrar a equação de um plano perpendicular à outra.Suponha que temos dois planos: Ax + By + Cz + D = 0 e XH + + S¹z V¹u + D = 0.Podemos dizer que eles são perpendiculares se cosφ = 0.Isto significa que AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
equação plano paralelo
paralelo chamado dois planos que não contêm pontos comuns.
condição de planos paralelos (as equações são as mesmas como no parágrafo anterior) que é N e os vectores N¹, que perpendicular a elas, colineares.Isto significa que as seguintes condições de proporcionalidade:
A / V = ¹ / H'= C / S¹.
Se as condições de proporcionalidade são estendidos - A / V = ¹ / H'= C / S¹ = DD¹,
isto indica que o plano de dados do mesmo.Isto significa que a equação Ax + By + Cz + D = 0 e + XH V¹u S¹z + + D¹ = 0 descrever um único plano.
distância ao plano do ponto
Suponhamos que temos um plano P, que é dada pela Equação (0).É necessário encontrar a sua distância do ponto com coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Para fazer isso, você precisa para levar a equação do plano P na forma normal:
(ρ, v) = p (r≥0).
Neste caso, ρ (x, y, z) é o vector raio do nosso ponto Q, localizado em N, P - é a distância perpendicular P que foi descarregado a partir do ponto zero, V - é o vector de unidade, o qual está localizado na direcção de uma.
diferença ρ-ρº vector de raio de um ponto Q = (x, y, z), de propriedade de P e o vector de raio de um determinado ponto Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) é um vector deste tipo, o valor absolutocujas projeções por v é igual à distância d, que é necessário encontrar Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) para P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, mas
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Acontece,
d = | (ρ0, v) p |.
agora visto para calcular a distância d de Q0 ao plano P, você deve usar a forma normal do plano equação, a mudança para a esquerda do rio, e do último lugar de x, y, substituto z (hₒ, uₒ, zₒ).
Assim, encontramos o valor absoluto da expressão resultante que é procurado d.
Usando as configurações de idioma, obtemos o óbvio:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Se um determinado Q0 ponto está no outro lado do plano P, tal como a origem, entre o vector ρ-ρ0 e v é um ângulo obtuso, assim:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
No caso quando o Q0 ponto em conjunto com a origem localizada no mesmo lado do U, o ângulo gerado é aguda, que é:
d = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
O resultado é que no primeiro caso (ρ0, v) & gt; P, o segundo (ρ0, v) & lt; p.
plano tangente e a sua equação
Quanto ao plano em relação à superfície no ponto de contacto Mº - um plano que contém todos os possíveis tangente à curva traçada através desse ponto sobre a superfície.
Neste tipo de equação da F superfície (x, y, z) = 0 equação do plano tangente no Mº ponto de tangência (hº, uº, zº) ficaria assim:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Se especifique explicitamente a superfície z = f (x, y), o plano tangente é descrito pela equação:
Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
intersecção de dois planos
no espaço tridimensional é um sistema de coordenadas (rectangular) OXYZ, dados dois planos P 'e P ", que se sobrepõem e não são o mesmo.Uma vez que qualquer plano, que se encontra em um sistema de coordenadas rectangulares é definida pela equação geral, assume-se que n 'e n "são dadas pelas equações A'x + + V'u S'z + d' = 0 e A" B + x "y +Com "D + z" = 0.Neste caso, temos normal N '(A', B ', C') do plano P 'e a normal N' (A ', B', C ') do plano P ".Como nosso avião não são paralelas e não coincidem, esses vetores não são collinear.Usando a linguagem da matemática, nós temos essa condição pode ser escrita como: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * No ", λ * C"), λεR.Deixe que a linha recta que se encontra na intersecção P 'e P ", será representado pela letra A, neste caso a = N' ∩ P".
um - este é um direto, que consiste em um conjunto de pontos (geral) aviões P 'e P ".Isto significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha e, simultaneamente, tem de satisfazer a equação A'x + + V'u S'z + D '= 0 e A "B + x" y + C "Z + D" = 0.Em seguida, as coordenadas do ponto será uma solução particular das seguintes equações:
O resultado é que a decisão (geral), do sistema de equações irá determinar as coordenadas de cada ponto da linha, que será o ponto de intersecção P 'e P ", e para determinar a directa eem um sistema de coordenadas OXYZ (retangular) espaço.
