A integral indefinida.

Um dos ramos fundamentais da análise matemática é o cálculo integral.Ele cobre o amplo campo de objetos, onde o primeiro - é uma integral indefinida.Posicioná-lo como a chave é que no colegial revela um número crescente de perspectivas e oportunidades, que descreve as matemática superior.

aparência de

À primeira vista, parece totalmente integral ao moderno, tópica, mas na prática verifica-se que ele tinha aparecido em 1800 aC.Homeland é considerado oficialmente o Egito como não ter sobrevivido a provas anteriores de sua existência.É devido à falta de informações, o tempo todo posicionado simplesmente como um fenômeno.Ele confirma mais uma vez o nível de desenvolvimento científico dos povos daqueles tempos.Finalmente, verificou-se escritos dos antigos matemáticos gregos, que data do século 4 aC.Eles descrevem o método utilizado onde o integral indefinido, a essência do que foi para encontrar (respectivamente plano tridimensional e bidimensional,) o volume da zona de forma curva.O princípio do cálculo baseado na divisão dos componentes infinitesimais figura original, desde que o volume (área) a do já conhecido.Ao longo do tempo, o método tem crescido, Arquimedes é usado para encontrar a área da parábola.Cálculos similares ao mesmo tempo e realizar exercícios na China antiga, onde estavam completamente independente da ciência colega grego.

Desenvolvimento

próximo grande avanço no século XI aC tornou-se o trabalho do cientista árabe "wagon" Abu Ali al-Basri, que empurrou os limites do já conhecido, são derivados da fórmula integral para calcular as somas dos valores e graus do primeiro aoEm quarto lugar, utilizando para isso nós sabemos o método de indução matemática.Mentes
de hoje admirar como os antigos egípcios criaram os monumentos surpreendentes sem ferramentas especiais, com a possível exceção de suas mãos, mas não o poder da mente os cientistas da época não menos um milagre?Em comparação com o momento atual da vida parece quase primitivo, mas a decisão de integrais indefinidas deduzidas em toda parte e utilizados na prática para o desenvolvimento.

próximo passo ocorreu no século XVI, quando matemático italiano trouxe método dos indivisíveis Cavalieri, que pegou Pierre de Fermat.Estes dois personalidade lançou as bases para o cálculo integral moderna, que é conhecido no momento.Eles amarraram os conceitos de diferenciação e integração, que antes eram percebidas como unidades autônomas.Em geral, a matemática de que o tempo tem sido abalada, as conclusões das partículas existem por si mesmos, com alcance limitado.Caminho da associação e da busca de um terreno comum foi a única verdade no momento, graças a ele, a análise matemática moderna teve a oportunidade de crescer e se desenvolver.

Com o passar do tempo muda tudo, ea notação da integral também.De um modo geral, os cientistas designaram-lo em sua própria maneira, por exemplo, Newton usou um ícone quadrado, o que colocou uma função integrável, ou simplesmente colocar juntos.Esta disparidade durou até o século XVII, quando um marco para toda a teoria da matemática cientista Gottfried Leibniz análise introduzido como um símbolo familiar para nós.A alongado "S" é realmente baseado em que letra do alfabeto, como representa a soma das primitivas.O nome da integral foi devido a Jacob Bernoulli, após 15 anos.

definição formal de integral indefinida depende da definição do primitivo, portanto, considerá-lo em primeiro lugar.

A primitiva - é a função inversa do derivado, na prática, é chamado primitivo.Por outras palavras: função primitiva de d - é uma função de D, o derivado é igual a v & lt; = & gt;V '= v.Pesquisar o primitivo é, o cálculo da integral indefinida, eo processo é chamado de integração.

Exemplo:

s (y) = y3, e suas S primitivos (y) = (y4 / 4).

conjunto de todas as primitivas da função - esta é uma integral indefinida, é indicado o seguinte: ∫v (x) dx.

Porque o V (x) - Estas são algumas da função primitiva original, temos uma expressão: ∫v (x) dx = V (x) + C, onde C - constante.Sob a constante arbitrária, qualquer constante, uma vez que o seu derivado é zero.Propriedades Propriedades

que têm uma integral indefinida, com base nas definições e propriedades dos derivados.
Considere pontos-chave:

• derivado integrante da primitiva é em si primitivo, além de uma constante arbitrária C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivado do integral da função é a função original & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);Constante
• é removido a partir do sinal de integração & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, onde k - é arbitrária;
• integrante, que é tomada a partir da soma de identicamente igual à soma dos integrais de & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

As duas últimas propriedades pode-se concluir que o integral indefinida é linear.Devido a isso, temos: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Para consolidar considerar exemplos de soluções integrais indefinidas.

necessário encontrar o ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.

A partir do exemplo, podemos concluir que você não sabe como lidar com integrais indefinidos?Basta encontrar todos os primitivos!Mas a busca pelos princípios discutidos abaixo.Métodos

e exemplos

a fim de resolver a integral, você pode recorrer aos seguintes métodos: mesa

• pronto para usar;
• integrar por partes;
• integrado substituindo a variável;Liquidação
• sob o signo do diferencial.Mesas

mais fácil e agradável.No momento, a análise matemática pode gabar-se tabelas muito extensas, que estabeleceu as fórmulas básicas de integrais indefinidas.Em outras palavras, existem padrões derivados para você e você só pode tirar proveito deles.Aqui está uma lista de posições de tabela base, que pode mostrar quase todos os casos, ter uma solução:

• ∫0dy = C, onde C - constante;
• ∫dy = y + C, onde C - constante;
• ∫yndy = (in + 1) / (N + 1) + C, em que C - um constante, e n - é diferente do número de unidades;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, onde C - constante;
• ∫eydy = ey + C, onde C - constante;
• ∫kydy = (KY / ln k) + C, onde C - constante;
• ∫cosydy = siny + C, onde C - constante;
• ∫sinydy = -cosy + C, onde C - constante;
• ∫dy / cos2y = tgy + C, onde C - constante;
• ∫dy / sin2y = -ctgy + C, onde C - constante;
• ∫dy / (1 + y2) + = arctgy C, onde C - constante;
• ∫chydy = tímido + C, onde C - constante;
• ∫shydy = Chy + C, onde C - constante.

Se você quiser fazer um par de passos levam integrando para uma exibição tabular e desfrutar da vitória.Exemplo: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sen (5x - 2) + C.

De acordo com a decisão é claro que para a mesaExemplo integrando carece multiplicador 5. Nós adicioná-lo em paralelo com este multiplicar por 1/5 a expressão geral não se alterou.

integração por partes

Considere duas funções - Z (y) e x (y).Eles devem ser continuamente diferenciável em seu domínio.Como uma das propriedades de diferenciação tem: d (XZ) + = XDZ ZDX.Integrando ambos os lados, temos: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Reescrevendo a equação resultante, temos uma fórmula que descreve o método de integração por partes: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Por que é necessário?O fato de que alguns exemplos podem simplificar, relativamente falando, para reduzir ∫xdz ∫zdx, se este último está perto de uma forma tabular.Além disso, essa fórmula pode ser usado mais de uma vez, para os melhores resultados.

Como resolver integrais indefinidos desta forma:

• necessário calcular ∫ (s + 1) e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((S + 1) E2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((S + 1) E2s) / 2-E2s / 4 + C;

• deve calcular ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, ds = dy} = SLNs - ∫s x ds / S = SLNs - ∫ds = SLNs -s+ C = S (lns-1) + variável Substituição C.

Esta decisão princípio de integrais indefinidas na demanda não menos do que os dois anteriores, embora complicada.O método é como se segue: Seja V (x) - o integral de alguma função v (x).No caso em que, em si, integrante no exemplo capturas slozhnosochinenny, é provável que se confundem e ir para as soluções erradas.Para evitar este praticado transição da variável x para z, em que uma expressão geral visualmente simplificados mantendo z dependendo x.

Em linguagem matemática é como se segue: ∫v (x) dx = ∫v (y (Z)) y »(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), onde x =y (Z) - substituição.E, evidentemente, o inverso da função y = z-1 (x) descreve totalmente o relacionamento e a relação entre as variáveis.Importante - diferencial dx necessariamente substituído pelo novo dz diferencial, uma vez que a mudança de variável no integral indefinida envolve substituí-lo em todos os lugares, não apenas no integrando.

Exemplo:

• precisa encontrar ∫ (s + 1) / (S2 + 2s - 5) ds

aplicar a substituição Z = (s + 1) / (S2 + 2s-5).Então 2sds = dz = 2 + 2 (S + 1) ds & lt; = & gt;(S + 1) dz = DS / 2.Como resultado, a seguinte expressão, o que é muito fácil de calcular:

∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| S2 + 2s-5 | + C;

• precisa encontrar ∫2sesdx integrante

Para abordar reescrever a expressão da seguinte forma:

∫2sesds = ∫ (2e) sds.

denotar a = 2e (substituindo o argumento de este passo não é, ele ainda é s), dar o nosso aparentemente complexo, parte integrante de forma tabular básica:

∫ (2e) sds = ∫asds = como / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.

envoltório sob o signo do diferencial

De um modo geral, este métodointegrais indefinidos - irmão gêmeo do princípio da mudança de variável, mas existem diferenças no processo de registro.Considere detalhe.

Se ∫v (x) dx = V (x) + C e y = z (x), então ∫v (y) dy = V (y) + C.

Devemos se esqueça as transformações integrais triviais, entreonde:

• dx d = (x + a), e em que - cada uma constante;
• dx = (1 / a), d (ax + b), onde A - constante de novo, mas não zero;
• xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sen).

Se considerarmos o caso geral quando calculamos a integral indefinida, exemplos pode ser trazido sob a fórmula geral w '(x) dx = dw (x).

Exemplos:

• precisa encontrar ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s3 +) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

online ajuda

Em alguns casos, a falha que pode ser ou preguiça, ou uma necessidade urgente, você pode usardicas on-line, ou melhor, para usar uma calculadora integrais indefinidas.Apesar da aparente complexidade e natureza controversa das integrais, a sua decisão está sujeita a um determinado algoritmo, que é construído sobre o princípio de "não se você fizer ... então ...".

curso, exemplos muito intricados desta calculadora não vai dominar, pois há casos em que uma decisão tem de encontrar um artificialmente "forçada" através da introdução de certos elementos do processo, porque o resultado não é maneiras óbvias para alcançar.Apesar da natureza controversa desta declaração, é verdade, como a matemática, em princípio, uma ciência abstrata, eo seu objectivo primordial considera a necessidade de ampliar os limites das possibilidades.Na verdade, para um bom run-nas teorias é muito difícil mover-se e evoluir, portanto, não assumem que os exemplos de solução de integrais indefinidas, que nos deu - esta é a altura de opções.Mas de volta para o lado técnico das coisas.Pelo menos para verificar os cálculos, você pode usar o serviço em que foi escrito para nós.Se existe uma necessidade para o cálculo automático da expressões complexas, em seguida, eles não têm que recorrer a um software mais grave.É necessário prestar atenção principalmente no ambiente MatLab.Decisão

Aplicação

integrais indefinidas à primeira vista parece completamente divorciada da realidade, porque é difícil ver a óbvia utilização do avião.Com efeito, a sua utilização em qualquer lugar directamente impossível, no entanto, eles são considerados elemento intermédio necessário no processo de retirada de soluções utilizadas na prática.Então, de volta para a integração de diferenciação, participando assim ativamente no processo de resolução de equações.
Por sua vez, essas equações têm um impacto direto sobre a decisão de um problema mecânico, o cálculo de trajetórias e condutividade térmica - em suma, tudo o que constitui o presente e moldar o futuro.Os exemplos integral indefinida, dos quais temos considerado acima, meramente trivial à primeira vista, como uma base para realizar mais e mais novas descobertas.