Números reais e suas propriedades

Pitágoras alegou que o número é a fundação do mundo em condições de igualdade com os elementos básicos.Platão acreditava que o número de ligações do fenômeno e númeno, ajudando a saber, a ser pesado e tirar conclusões.Aritmética vem da palavra "arifmos" - o número, o ponto de partida em matemática.É possível descrever qualquer objeto - do básico ao espaços abstratos maçã.

precisa como um fator de

Nos estágios iniciais da sociedade precisa de pessoas limitadas pela necessidade de manter a pontuação -. Um saco de grãos, dois sacos de grãos, e assim por diante D. Para isso, foi números naturais, o conjunto de que é uma sequência infinita de inteiros positivosN.

Mais tarde, com o desenvolvimento da matemática como uma ciência, que era necessário separar o campo de inteiros Z - que inclui os valores negativos e zero.Sua aparição ao nível das famílias foi desencadeada pelo fato de que a contabilização inicial tinha de alguma forma corrigir as dívidas e perdas.No nível científico, os números negativos tornaram possível para resolver equações lineares simples.Entre outras coisas, é agora possível para a imagem trivial sistema de coordenadas, ou seja. A. Apareceu benchmark.

O passo seguinte foi a necessidade de digitar números fracionários, porque a ciência não pára, mais e mais novas descobertas exigiu um quadro teórico para um novo impulso de crescimento.Portanto, não havia um campo de números racionais Q.

finalmente deixaram de atender às demandas da racionalidade, porque todas as novas descobertas exigem justificação.Há campo de números reais R, as obras de incomensurabilidade de Euclides algumas variáveis por causa de sua irracionalidade.Isto é, o número de matemática grega posicionado não só como uma constante, mas como um valor de resumo que é caracterizado por a proporção de magnitudes incomensuráveis.Devido ao fato de que existem números reais ", viu a luz" quantidades tais como "pi" e "e", sem o qual a matemática moderna não teria tido lugar.

A inovação final foi um número complexo C. Ele respondeu a uma série de questões e negadas postulados inseridos anteriormente.Devido ao rápido desenvolvimento da álgebra resultado era previsível - com números reais, a decisão de muitos problemas não foi possível.Por exemplo, com números complexos destacou-se a teoria das cordas e do caos expandiu as equações da hidrodinâmica.Teoria

Set.Cantor

conceito de infinito sempre causou polêmica desde que foi impossível provar ou refutar.No contexto da matemática, que é operado postulados rigorosamente verificados, ela se manifesta mais claramente, especialmente como aspectos teológicos ainda pesava na ciência.

No entanto, através do trabalho do matemático Georg Cantor todos os tempos caiu no lugar.Ele provou que existe um conjunto infinito de conjunto infinito, e que o campo R é maior do que o campo N, deixe ambos e não ter fim.No meio do século XIX, suas idéias em voz alta chamado um disparate e um crime contra a cânones clássicos imutáveis, mas o tempo vai colocar tudo em seu lugar.

propriedades básicas do campo números reais R

não só têm as mesmas propriedades que o podmozhestva, que incluem, mas são complementadas por outro efeito masshabnosti seus elementos:

zero existe e pertence ao campo de R. c + 0 =c para qualquer c de R.
Zero existe e pertence ao campo R. c x 0 = 0 para qualquer c da relação R.
de c: d Se D ≠ 0 existe e é válida para qualquer c, d de R.
Golf R é ordenada, isto é, se c ≤ d, d ≤ c, em seguida, c = d para todo c, d de R.
Adição de R é conmutativo, isto é, c + d = d + c, em qualquer C,d de multiplicação
R. em que R é conmutativo, que é c X d = d X C durante qualquer c, d de R.
Adição em que R é um associativa, que é, (c + d) f = C ++ (d + f) para qualquer c, d, f, R.
multiplicação em que R é associativo isto é, (c X d) x = f x c (d x f) para qualquer c, d, f, R.
Para cada número do campo R, existe o seu oposto, de tal modo que c + (c) = 0, em que c, -c de R.
Para cada número do campo R lá oposto a ele, de modo que c x c-1 = 1 onde c, c-1 de R.
existe e pertence a R, de modo que o C 1 = C x, c para cada um de R.
lei distributiva válido, de modo que c x (d + f) = c + d x c x f, para qualquer c, d, f, R.
em R não é igual a zero para a unidade.
campo R é transitiva: se d ≤ c, d ≤ f, então f ≤ c para qualquer c, d, f de R.
campo R e a ordem de adição de inter-relacionados: se d ≤ c, então c + f ≤d + f para todos c, d, f de R.
O procedimento R multiplicação campo e ligados: se 0 ≤ c, d ≤ 0, então 0 ≤ x c d para qualquer c, d de R.
Como negativae números reais positivos são contínuas, isto é, para qualquer c, d de R existe f em R, tal que c ≤ f ≤ d.Módulo

nos números R

reais incluir tal coisa como um módulo.Isso denota tanto | f | f para todos na R. | f | = f, se 0 ≤ f e | f | = -f, se 0 & gt;f.Se considerarmos o módulo como um valor geométrico, que representa a distância percorrida - se "passado" você como zero na negativo para o positivo ou para a frente.

Os números complexos e reais.Quais são as semelhanças e diferenças?

por e grandes, complexos e reais números - é o mesmo, exceto que o primeiro juntou-se a unidade imaginária i, cujo quadrado é -1.Elementos campos R e C podem ser representados pela seguinte fórmula:

c = d + f x i, em que d, f pertencem ao campo R, e i - unidade imaginária.

Para obter c de R, no caso de f simplesmente assumido como sendo zero, então existe apenas a parte real do número.Porque o campo complexo tem a mesma característica definida como o campo real, f i x = 0 se f = 0.

diz respeito às diferenças de ordem prática, por exemplo em I equação quadrática não pode ser resolvido se o negativo discriminanteConsiderando que o campo C não impõe tal limitação devido à introdução da unidade imaginária i.

Resultados

"tijolos" de axiomas e postulados em que a matemática não mudam.Em alguns deles, devido ao aumento da informação e da introdução de novas teorias colocadas as seguintes "tijolos" que poderia ser a base para a próxima etapa.Por exemplo, os números naturais, apesar do facto de que eles são um subconjunto do campo real, R, não perca a sua relevância.É com base em todas elas aritmética elementar, que começa o conhecimento de um homem de paz.

De um ponto de vista prático, os números reais olhar como uma linha reta.É possível escolher a direção, para designar a origem eo campo.Directo consiste de um número infinito de pontos, cada um dos quais corresponde a um único número real, independentemente de haver ou não é eficiente.A partir da descrição é claro que nós estamos falando sobre o conceito, que é baseado em matemática em geral e análise matemática em particular.