dat o funcție simplă în trigonometrie = Sin (x) este derivabila ın fiecare punct al întregului domeniu.Este necesar să se dovedească faptul că derivatul de sinusul niciun argument este cosinusul același unghi, adică, '= Cos (x).
dovada se bazează pe definiția derivat
Definiți x (arbitrar) într-un mic cartier de un anumit punct de △ x x0.Ne arată valoarea unei funcții în el, iar la punctul de x pentru a găsi sporul funcției specificate.Dacă △ X - creștere a argumentului, apoi un nou argument - este x0 + Δx = x, valoarea acestei funcții, la o valoare dată a argumentului y (x) este Sin (x0 + Δx), valoarea unei funcții într-un anumit punct de la (x0) este, de asemenea cunoscut.
Acum avem DU = Sin (x0 + △ x) -Sin (x0) - a primit funcția de creștere.
Conform formulei din suma sinus de două unghiuri inegale va converti diferența DU.
DU = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Δx) minus Sin (X0) = (cos (Δx) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
pompare de termeni grupate primul la al treilea Sin (x0), realizat un factor comun - sine - parantezele.Trebuie să-și exprime diferența Cos (△ x) -1.Te schimbarea semnul suportul și în paranteze.Știind ce este de 1-cos (△ x), vom face schimbarea și de a obține o expresie simplificată DU, care este apoi împărțită △ x.
DU / △ x este de forma: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · Sin2 (0,5 · △ x) · Sin (X0) / △ X.Aceasta este raportul dintre funcția de creștere a argument ipoteze creștere.
rămâne să găsească limita raporturile obținute de noi în timpul lim △ x tinde la zero.
cunoscut faptul că limita Sin (△ x) / Δx este egal cu 1, pentru o anumită condiție.Și expresia 2 · Sin2 (0,5 · △ x) / △ X în rezultat particular transformări sumă pentru a lucra, care conține un factor primul limita remarcabil: numărător și znemenatel împărțit în 2 fracțiuni, sine pătrat înlocui produsul.Deci:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).Limita
acestei expresii cum △ x tinde la zero, numărul este egal cu zero (1 înmulțit cu 0).Se pare că limita raportului Dy / △ x este egal cu Cos (X0) · 1-0, aceasta este Cos (x0), o expresie care nu depinde de △ x, tinzând să 0. De aici concluzia: derivatul de sinusul orice unghi x este cosinusul lui xvom scrie așa: "= Cos (x).
Această formulă este listat în tabelul de derivați cunoscute, în cazul în care toate funcțiile elementare
la rezolvarea problemelor, unde intalneste derivata sinus, le puteți folosi regulile de diferențiere și formulele de-a gata de la masă.De exemplu: Găsiți un simplu derivat al funcției y = 3 · Sin (x) -15.Noi folosim regulile de bază de diferențiere, eliminarea factorului numeric pentru semnul calcul numărul constant derivat și derivatul (este zero).Aplică valoarea tabulară a derivatului de sinusul unghiului x Cos egal (x).Ne-am răspuns: y '= 3 · Cos (x) -O.Acest derivat, la rândul său, este, de asemenea, o funcție elementară y = G · Cos (x).
derivat sinusul pătrat de orice argument
La calcularea expresia (Sin2 (x)), aveți nevoie să vă amintiți cum să diferențieze o funcție complexă.Deci, = Sin2 (x) - este o funcție exponențială ca sine pătrat.Argumentul este, de asemenea o funcție trigonometrică, un argument complex.Rezultatul în acest caz este produs de primul factor este derivata pătratul un argument complex, iar două - un derivat al sinusului.Aici este regula pentru diferențierea în funcție de o funcție de: (u (v (x))) "se (u (v (x)))" · (v (x)) ".Expresie v (x) - un argument complex (funcția internă).Dacă funcția dată este "y este sinus patrat x", atunci derivata unei funcții compozit este y = 2 · Sin (x) · Cos (x).Produsul a primului factor este dublat - cunoscut derivat al unei funcții de putere, și Cos (x) - derivat din sinusul argumentul funcție pătratică complexe.Rezultatul final poate fi convertit folosind formula sinusul trigonometric a dublei unghiului.A: Derivatul este Sin (2 · x).Această formulă este ușor de reținut, este adesea folosit ca un tabel.
