progresie geometrică este important în matematică ca știință, și semnificație aplicat, deoarece are un domeniu de aplicare foarte larg, chiar și în matematici superioare, spun, teoria seriilor.Primele informații cu privire la progresele venit la noi din Egiptul antic, în special sub forma unei probleme bine-cunoscut de papirus Rhind șapte persoane cu șapte pisici.Variații ale acestei probleme repetat de mai multe ori la momente diferite de alte națiuni.Chiar și marele Leonardo din Pisa, mai bine cunoscut ca Fibonacci (XIII c.), Vorbit cu ea în lucrarea sa "Cartea abacul."
Deci, progresie geometrică are o istorie veche.Este o secvență numerică cu primul termen diferită de zero și fiecare pornire ulterioară de la al doilea, se determină prin înmulțirea formula de recurență precedent pentru permanent, non-zero, numărul, care este numit progresia numitor (de obicei este notat cu ajutorul litera Q).
Evident, aceasta poate fi găsită prin împărțirea fiecare termen ulterioară a secvenței cu cele anterioare, adică de două z: z 1 = ... = zn: zn-1 = ....Prin urmare, sarcina de a progresiei (Zn) este suficient să cunoască valoarea a fost primul membru al y 1 și numitor q.Exemplu
, să z 1 = 7, q = - 4 (Q & lt; 0), atunci avem următoarea progresie geometrică 7-28, 112-448, ....După cum puteți vedea, secvența rezultată nu este monoton.
Reamintim că o secvență arbitrară de monoton (creștere / scădere) în care fiecare dintre viitorii săi membri ai mai mult / mai puțin decât cel precedent.De exemplu, secvența 2, 5, 9, ... și -10, -100, -1000, ... - monoton, al doilea dintre ele - descrește exponențial.
În cazul în care q = 1, toți membrii din progresia sunt obținute egale și se numește constantă.
la secvența a fost progresie de acest tip, trebuie să îndeplinească următoarele condiții necesară și suficientă, și anume: incepand de la al doilea, fiecare dintre membrii săi ar trebui să fie media geometrică a statelor membre vecine.
Această proprietate permite în anumite două constatări adiacente progresie pe termen arbitrar.
termen N-lea de o progresie geometrică este ușor de a găsi formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), știind primul termen z 1 și numitor q.
Deoarece ordinea de numerotare este în valoare de, câteva calcule simple, să ne dea o formulă pentru a calcula suma primelor termeni de progresie, și anume:
S n = - (Zn * q - Z 1) / (1 - q).
Înlocuirea în valoarea formula zn expresia z = 1 * q ^ (n-1) pentru a se obține o a doua cantitate de progresia cu formula: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
demn de atenție următorul fapt interesant: tableta de lut găsit în săpături de Babilonul antic, care se referă la VI.BC conține remarcabil suma 1 + 2 + 22 ... + 29 egal cu 2 în minus putere zecea 1. Explicația acestui fenomen nu este găsit.
Menționăm una dintre proprietățile de progresie geometrică - o lucrare constantă a membrilor săi, distanțate la distanță egală de la capetele secvenței.
deosebit de important din punct de vedere științific, un astfel de lucru ca o progresie geometrică infinită și calcularea cuantumului acesteia.Presupunând că (in) - o progresie geometrică cu un numitor q, satisface condiția | Q | & lt;1, acesta va fi numit la limita sumei solicitate de deja cunoscute pentru a ne suma primele membri, cu o creștere fără limite de n, astfel încât se apropie infinit.
găsi această sumă, ca urmare a folosind formula:
S n = y 1 / (1-q).
Și, așa cum experiența a demonstrat, simplitatea aparenta a acestei progresie este ascuns un potențial imens de aplicare.De exemplu, dacă vom construi o secvență de pătrate de pe următorul algoritm, conectarea din mijloc ale celui anterior, atunci ele formează o progresie geometrică infinită pătrat având un numitor 1/2.Aceleași triunghiuri formează progresie și în piețe obținute în fiecare etapă de construcție, iar suma sa este egală cu aria pătratului inițial.
