Cramer - este una dintre metodele exacte ale sistemelor de ecuatii algebrice liniare (Slough) rezolvarea.Exactitatea lor ca urmare a utilizării de determinanți de matrice, precum și o parte din restricțiile impuse în demonstrația teoremei.Sistemul
de ecuatii algebrice liniare cu coeficienți care aparțin, de exemplu, o multitudine de R - numere reale, de la x1 necunoscut, x2, ..., xn se numeste setul de expresii de forma
AI2 x1 + AI2 x2 + ... Ain xn = BI pentru i =1, 2, ..., m, (1) în cazul în care
AIJ, bi - sunt numere reale.Fiecare dintre aceste expresii se numește ecuație liniară, AIJ - coeficienții de necunoscute, bi - coeficienții libere ale ecuațiilor.Soluție
de (1) se numește vectorul n-dimensional x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), care, atunci când substituit în pentru x1 necunoscute, x2, ..., xn fiecare dintre rânduri în sistemul devineadevărată egalitate.Sistemul
se numește consistent dacă are cel puțin o soluție, și inconsistentă, dacă este setat de solutii coincide cu setul de gol.
Trebuie amintit că, în scopul de a găsi soluția de sisteme de ecuatii algebrice liniare utilizând regula lui Cramer, matrici, sisteme trebuie să fie pătrat, ceea ce înseamnă, practic, același număr de necunoscute și ecuații din sistem.
Deci, de a utiliza metoda de Cramer, ar trebui cel puțin știe ce Matrix este un sistem de ecuații algebrice liniare și modul în care aceasta este emisă.În al doilea rând, pentru a înțelege ceea ce se numește determinantul matricei, și stăpânească abilitățile de calcul.
presupune că această cunoaștere le posedă.Minunat!Apoi, va trebui să memoreze doar formule de stabilire a metodei de Cramer.Pentru a simplifica memorarea utiliza următoarea notație:
-
Det - principalul factor determinant al sistemului;
-
deti - este determinantul matricei obținute din matricea principală a sistemului prin înlocuirea coloanei-al i-lea al matricei la un vector coloană ale cărui elemente sunt laturile drepte ale sistemelor de ecuații liniare;
-
n - numărul de necunoscute și ecuații din sistem.
Atunci regula lui Cramer calcula componenta xi i-lea (i = 1, .. n) n-dimensional vector X poate fi scris ca
xi = Deti / Det, (2).
Astfel Det strict nenul.
soluție unică atunci când este acordat în comun de către condiția de determinant principal nenul al sistemului.În caz contrar, în cazul în care suma (xi), pătrat, este strict pozitiv, atunci SLAE o matrice pătrat este inconsecventă.Acest lucru poate apărea în special atunci când cel puțin unul dintre nenul deti.
Exemplul 1 .Pentru a rezolva sistemul tridimensional de Lau, folosind formula lui Cramer.
x1 + x2 + 2 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.Decizie
.Scriem matricea de rând în cazul în care Ai - este rândul i-lea al matricei.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).Coloana
coeficienți gratuite B = (31 29 octombrie).
determinant principal sistem Det este
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + A31 + A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 12 la 12 2-10 = -27.
Pentru a calcula det1 utilizare substituție a11 = b1, b2 = A21, A31 = b3.Apoi
det1 = b1 A22 A33 A12 A23 + b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 A12 b2 = ... = -81.
Similar, pentru a calcula o permutare folosind det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = a32 și, respectiv, să se calculeze det3 - a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
Apoi, puteți verifica dacă det2 = -108, și det3 = - 135.
conform regulii lui Cramer găsim x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Răspuns: X ° = (3,4,5).
baza condițiile de aplicabilitate a acestei reguli, regula Cramer pentru sisteme de ecuatii liniare rezolvare pot fi folosite în mod indirect, de exemplu, pentru a investiga sistemul de numărul posibil de solutii in functie de valoarea unui parametru k.
Exemplul 2. determine pentru ce valori ale parametrului k inegalitatea | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 are exact o singură soluție.Decizie
.
Această disparitate în definiția funcției modul poate fi efectuată numai dacă ambele expresii sunt zero simultan.Prin urmare, această problemă se reduce la găsirea soluției unui sistem liniar de ecuații algebrice
kx - y = 4,
x + ky = -4.Soluție
a acestui sistem numai dacă este principalul factor determinant al
Det = k ^ {2} + 1 este nenul.În mod evident, această condiție este valabilă pentru toate valorile valide ale parametrilor k.
Raspuns: pentru toate valorile reale ale parametrului k.
Obiectivele de acest tip pot fi, de asemenea, redusă, multe probleme practice ale matematicii, fizicii sau chimiei.
