Suma unghiurilor unui triunghi.

Triunghiul este un poligon cu trei laturi (trei unghiuri).Cea mai comună Partea reprezintă litere mici, majuscula corespunzătoare care desemnează nodurile opuse.In acest articol vom arunca o privire la aceste tipuri de forme geometrice, teorema care determină care este egal cu suma unghiurilor unui triunghi.Tipuri

mari unghiuri

următoarele tipuri de poligon cu trei vârfuri:

• acute-unghi în care toate unghiurile ascuțite;
• dreptunghiulare având un unghi drept cu partea a imaginii sale, numite picioare, iar partea care este amplasat vizavi de unghiul drept este numit ipotenuza;
• obtuz atunci când unul unghi este obtuz;Isoscel
• , care cele două părți egale, și sunt numite lateral, iar al treilea - baza triunghiului;
• echilateral cu trei laturi egale.

Proprietăți

Există proprietăți de bază, care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:

• pe partea opusă mare are întotdeauna un unghi mare, și invers;
• părți opuse ale magnitudine egal sunt unghiuri egale, și invers;
• au nici triunghi are două unghiuri acute;Unghi exterior
• este mai mare decât orice unghi intern nu este legată de el;Sumă
• oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mic de 180 de grade;
• unghi exterior este egal cu suma celorlalte două colțuri care nu sunt i mezhuyut.

teorema pe suma unghiurilor unui triunghi teoremă

afirmă că dacă aduni toate colturile figura geometrică, care se află în planul euclidian, suma lor va fi de 180 de grade.Să încercăm să dovedească această teoremă.

Să avem un triunghi oarecare cu noduri KMN.Prin partea de sus M trage o linie paralelă cu linia KN (chiar această linie se numeste linia de Euclid).Trebuie remarcat punctul A în așa fel încât punctul K și A au fost amplasate pe părți diferite MN drepte.Ne-am același unghi și AMS MUF, care, la fel ca minciuna interior transversal, pentru a forma intersectează MN în colaborare cu CN și MA linii care sunt paralele.Din aceasta rezultă că suma unghiurilor unui triunghi situat la nodurile de M și N este egal cu mărimea unghiului de CMA.Toate cele trei unghiuri formate de o sumă egală cu suma unghiurilor CMA și MCS.Deoarece aceste unghiuri sunt interne cu privire la linii paralele unilaterale NC și MA de la KM de tăiere, suma lor este de 180 de grade.QED.

Din peste această teoremă implică următoarele corolar: fiecare triunghi are două unghiuri acute.Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că această figură geometrică are un singur unghi dificil.De asemenea, se poate presupune că un unghi nu este acută.În acest caz, acesta trebuie să fie de cel puțin două unghiuri, dintre care amploarea este egal cu sau mai mare de 90 de grade.Dar atunci suma unghiurilor este mai mare de 180 de grade.Iar acest lucru nu poate fi, deoarece prin suma Teorema unghiurilor unui triunghi este de 180 ° - nici mai mult nici mai puțin.Asta e ceea ce trebuia să fie dovedită.

proprietate colturile exterioare

Care este suma unghiurilor unui triunghi, care sunt exterioare?Răspunsul la această întrebare poate fi obținut prin utilizarea unuia dintre cele două metode.Primul este necesitatea de a găsi suma unghiurilor, care sunt luate unul la fiecare nod, care este, de trei unghiuri.Al doilea implică faptul că aveți nevoie pentru a găsi suma șase unghiurilor la nodurile.Pentru a începe cu afacere let cu prima.Astfel, triunghiul are șase unghiuri exterioare - la fiecare vârf al doi.Fiecare pereche are unghiuri egale între ele, pentru că ele sunt vertical:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

plus, se cunoaște că unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma doi interioare, nu sunt mezhuyutsya cu ea.Prin urmare,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Se pare că suma unghiurilor exterioare sunt luate unul câte unul în partea de sus a fiecărei, va fi egală cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Având în vedere faptul că suma unghiurilor este egal cu 180 de grade, se poate argumenta că ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Acest lucru înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Dacă se utilizează a doua opțiune, apoi suma șase unghiurile vor fi corespunzător mai mare dublat.Aceasta este suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triunghi dreptunghic

Care este egal cu suma unghiurilor unui triunghi dreptunghic este insula?Răspunsul, din nou, de la Teorema, care prevede că unghiurile unui triunghi adăuga până la 180 de grade.Și sunete noastre afirmare (proprietate), după cum urmează: în triunghi dreptunghic unghi acute adăuga până la 90 de grade.Vom demonstra veridicitatea acesteia.Să fi dat un triunghi KMN, care ∟N = 90 °.Noi trebuie să dovedească faptul că ∟K ∟M + = 90 °.

Astfel, în conformitate cu teorema privind suma unghiurilor ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.În această stare se spune că ∟N = 90 °.Se pare ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Aceasta este ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Asta este ceea ce ar trebui să avem de a dovedi.

În plus față de proprietățile de mai sus ale unui triunghi dreptunghic, puteți adăuga aceste:

• unghiuri care se află în picioare sunt ascuțite;
• ipotenuza triunghiulare este mai mare decât oricare dintre picioare;
• picioarele mai mult decât suma ipotenuza;
• catetă a triunghiului, care se află vizavi de colț 30 grade, o jumătate de ipotenuza, adică este egal jumătate.

Ca o altă proprietate a formei geometrice pot fi identificate teorema lui Pitagora.Aceasta susține că într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiulare) este egală cu suma pătratelor nivelul picioarelor pentru pătratul ipotenuzei.Sumă

unghiurilor unui triunghi isoscel

Mai devreme am spus că un triunghi isoscel este numit un poligon cu trei vârfuri care conțin două părți egale.Această proprietate este cunoscută figură geometrică: unghiurile de la baza sa de egalitate.Să ne demonstra acest lucru.

Ia triunghi KMN, care este isoscel, SC - baza acesteia.Ni se cere să demonstreze că ∟K = ∟N.Deci, să presupunem că MA - bisector nostru este triunghi KMN.Triangle MCA cu primul semn unui triunghi este egală AMN.Și anume condiția având în vedere că CM = HM, MA este o parte comună, ∟1 = ∟2, deoarece AI - o bisectoare.Folosind egalitatea dintre cele două triunghiuri, s-ar putea argumenta că ∟K = ∟N.Prin urmare, teorema este demonstrată.

Dar suntem interesati, ceea ce este suma unghiurilor unui triunghi (isoscel).Deoarece în această privință nu are caracteristicile sale, vom porni de la teorema discutat mai sus.Asta este, putem spune că ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, sau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (ca ∟K = ∟N).Această proprietate nu se va dovedi ca ea teoremei suma unghiurilor unui triunghi a fost dovedit mai devreme.

asemenea luând în considerare proprietățile colțurile triunghiului, există, de asemenea, astfel de afirmații importante:

• cadrul unui înălțime triunghi echilateral, care a fost redus la baza, este de asemenea mediana, bisectoare a unghiului care se află între părți egale, precum axa de simetrie a fondare;
• median (înălțime bisector), care sunt deținute la laturile o figură geometrică sunt egale.

triunghi echilateral

De asemenea, este numit drept, este triunghiul, care sunt egale cu toate părțile.Și, prin urmare, de asemenea, unghiuri egale.Fiecare dintre ele este de 60 de grade.Vom demonstra această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi KMN.Știm că KM = NM = CL.Acest lucru înseamnă că, în conformitate cu colțuri de proprietate, situat la baza intr-un triunghi echilateral, ∟K = = ∟M ∟N.Deoarece conform suma unghiurilor unui triunghi teoremă ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° sau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Astfel, dokazano.Kak declarația vazut de sus, pe baza de demonstrația teoremei, suma unghiurilor unui triunghi echilateral ca suma unghiurilor de orice alt triunghi este 180 de grade.Dovedind din nou această teoremă nu este necesară.

Există încă unele proprietăți caracteristice ale unui triunghi echilateral:

• median, bisectoare, înălțime, astfel figura geometrica sunt aceleași, iar lungimea lor este calculat ca (a × √3): 2;
• dacă descrie un poligon in jurul acestui cerc, atunci raza sa este egală cu (A x √3): 3;
• dacă un triunghi echilateral înscris într-un cerc, atunci raza va fi (si x √3): 6;Zona
• acestei figură geometrică se calculează după cum urmează: (a2 x √3): 4.

triunghi obtuz

Prin definiție, triunghi obtuz-unghi, unul dintre colțurile sale este intre 90-180 de grade.Totuși, având în vedere că unghiul dintre celelalte două forme geometrice sunt ascuțite, se poate concluziona că acestea nu depășesc 90 de grade.Prin urmare, teorema pe suma unghiurilor unui triunghi de lucru în calcularea suma unghiurilor într-un triunghi obtuz.Deci, putem spune cu siguranță, pe baza teorema de mai sus că suma unghiurilor triunghiului obtuz este de 180 de grade.Din nou, această teoremă nu are nevoie de a re-proof.