Fourier - o reprezentare a unei funcții alese arbitrar pentru o anumită perioadă într-un rând.În termeni generali, decizia menționată la elementul de expansiune a bazei ortogonale.Extinderea funcțiilor în serie Fourier este un instrument destul de puternic în rezolvarea diverselor probleme din cauza proprietățile transformării în integrarea, diferențierea, și trecerea expresiile argument și convoluția.Persoană
care nu este familiarizat cu matematici superioare, precum și cu activitatea savantului francez Fourier probabil nu va intelege ceea ce "rândurile" și ceea ce fac.Totuși, această transformare este destul de bine venit în viețile noastre.Acesta este utilizat nu numai matematică, dar și fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologii, oceanografii și altele.Să luăm, de asemenea, o privire mai atentă cu lucrările marelui om de știință francez care au făcut descoperirea, înaintea timpului său.
Omul și transformata Fourier
serie Fourier sunt una dintre metodele (împreună cu analiza și altele) ale transformatei Fourier.Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude un sunet.Urechile noastre convertește automat val de sunet.Mișcarea vibrațională a particulelor elementare într-un mediu elastic sunt dispuse în serie (în spectrul) valorile succesive ale nivelul volumului sonor al sunetelor de diferite terenuri.Apoi, creierul transformă datele în sunete familiare pentru noi.Toate acestea vine în plus față de voința noastră sau constiinta in sine, ci pentru a înțelege aceste procese vor dura mai mulți ani pentru a studia matematica mai mari.
Mai multe despre transformata Fourier
Fourier transforma pot fi efectuate analitic, cifre și alte metode.Seria Fourier sunt procedeu numeric pentru descompunerea orice procese oscilatorii - mareelor ocean si valuri de lumina pentru a ciclurilor solare (si alte obiecte astronomice) activitate.Folosind aceste tehnici matematice pot dezasambla funcții reprezintă orice procese oscilatorii într-o serie de componente sinusoidale care merg la minim la maxim și înapoi.Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoide care corespund unui anumit frecvență.Acest proces poate fi utilizat pentru a aborda ecuațiile foarte complexe care descriu procesele dinamice care au loc sub acțiunea căldurii, luminii sau a energiei electrice.De asemenea, seria Fourier vă permit să evidențieze componentele constante în forme de undă complexe, ceea ce face posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale in medicina, chimie și astronomie.
fundal
tatăl fondator al acestei teorii este matematicianul francez Joseph Fourier.Numele lui a fost ulterior numit această transformare.Initial, cercetatorii au folosit o tehnica pentru a studia și să explice mecanismele de conducție căldură - propagarea căldură în solide.Fourier presupune că distribuția inițială de val de căldură neregulat poate fi descompusă în sinusoidă simplu, fiecare dintre care va avea o minimă și temperatură maximă, precum și faza sa.Astfel, fiecare astfel de componente care urmează să fie măsurată de la minim la maxim și vice-versa.Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, și faza fiecărei armonici, numit transformata Fourier a exprimării distribuția temperaturii.Autorul teoriei funcției redus distribuție totală, care este dificil de descriere matematice, într-o foarte ușor de manipulat o serie de funcții periodice de sinus și cosinus, oferind un total de distribuția inițială.Principiu
de conversie și punctele de vedere ale contemporanilor
contemporanilor om de știință - matematicieni de frunte începutul secolului al XIX-lea - nu au acceptat această teorie.Principala obiecție a fost de aprobare a Fourier că funcția de rupere descrie o linie dreaptă sau curbă este rupt, acesta poate fi reprezentat ca o sumă de expresii sinusoidale, care sunt continuu.Ca un exemplu, să ia în considerare "pas" Heaviside: valoarea sa este zero în partea stângă a diferenței și unitatea dreapta.Această funcție descrie dependența curentului electric de la variabila temporară pentru închiderea circuitului.Teoria contemporanii la acea vreme, nu a întâlnit o astfel de situație, atunci când o expresie discontinuu descrie o combinație de funcții continue, normale, cum ar fi exponențială, sine, gradină liniar.
care confundă matematicienii francezi în teoria Fourier?
urma urmei, dacă un matematician a fost corect în afirmațiile sale, apoi, printr-o serie Fourier însumarea trigonometrice infinit, puteți obține o reprezentare exactă a etapei de exprimare, chiar dacă acesta are mai multe măsuri similare.În secolul al XIX-lea, această declarație pare absurdă.Dar, în ciuda tuturor îndoielile, multe matematicieni au extins domeniul de aplicare al studiului a acestui fenomen, deplasându-l dincolo de cercetarea conductivitate termică.Cu toate acestea, majoritatea oamenilor de stiinta au continuat să sufere întrebarea: "? Poate suma de serie sine converge la valoarea exactă a funcției discontinue"
Convergența serie Fourier: exemplul problema
de convergență a ridicat însumarea ori de câte ori este necesar de serii infinite de numere.Pentru a înțelege acest fenomen, ia în considerare exemplu clasic.Ai putea să ajungă pe perete, atunci când fiecare pas va fi jumătate din anterioare?Să presupunem că sunteți doi metri de poarta, primul pas mai aproape de aproximativ jumătate drum, în următorii - la nivelul de trei sferturi, iar după a cincea sa depasiti aproape 97 la suta din drum.Cu toate acestea, indiferent de câți pași faci, ținta dorită ajungeți în sens matematic strict.Folosind calculele numerice, putem dovedi că în cele din urmă pot fi abordate pe o distanță de arbitrar mici dat.Aceasta este echivalentă cu o dovadă care să demonstreze că valoarea totală a uneia jumătate, un sfert, și așa mai departe. E. va tinde spre unitate.
chestiune de convergență: a doua venire, sau dispozitiv Lord Kelvin
din nou a apărut problema în secolul al XIX-lea, atunci când Fourier încercat să folosească pentru a prezice intensitatea fluxuri și.La acea vreme, Lordul Kelvin a fost inventat dispozitivul este un dispozitiv analogic de calcul care permite marinari militare și din marina comercială pentru a urmări acest fenomen natural.Acest mecanism defineste un set de faze si amplitudini ale înălțimea tabel de mareele și momentele de timp corespunzătoare, măsurate cu grijă în port în cursul anului.Fiecare parametru este un val componentă sinusoidală de exprimare este unul din componentele obișnuite.Rezultatele măsurătorilor sunt introduse în dispozitivul de calcul Lord Kelvin, sintetizarea curbă, care prezice înălțimea apei ca funcție de timp pentru anul viitor.Foarte curând aceste curbe au fost făcute pentru toate porturile lumii.
Și dacă procesul va fi spart funcție discontinuă?
La momentul părea evident că dispozitivul estimarea un val, cu o mulțime de conturi elemente pot calcula un număr mare de faze si amplitudini, și așa a oferi o predicție mai precisă.Cu toate acestea, sa dovedit că acest model nu este observat în cazurile în care expresia de maree, care vor fi sintetizate, conținea un salt bruscă, adică este discontinuu.În acest caz, în cazul în care datele sunt introduse în dispozitiv dintr-un tabel de momente de timp, se calculează câțiva coeficienți Fourier.Funcția originală este restaurată datorită componentei sinusoidale (în conformitate cu coeficienții găsite).Discrepanța între original și expresia reconstruit poate fi măsurată în orice punct.Pe parcursul Calcularea și compararea repetate arată că valoarea cea mai mare eroare este redusă.Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de rupere, precum și orice alte puncte tinde la zero.În 1899, acest rezultat a fost confirmat, teoretic, Iosua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.
Convergența serii Fourier și dezvoltarea matematicii în general analiza
Fourier nu se aplică expresii care conțin un număr infinit de explozii la un anumit interval.În serie Fourier general, în cazul în care funcția originală a prezentarea rezultatelor măsurătorii fizică reală converg întotdeauna.Întrebările de convergență a procesului pentru anumite clase de functii au condus la noi ramuri ale matematicii, cum ar fi teoria funcțiilor generalizate.Acesta este asociat cu nume, cum ar fi L. Schwartz, J .. Mikusiński și J. Temple.În cadrul acestei teorii a fost stabilită bază teoretică clară și precisă pentru expresii ca funcția delta Dirac (care descrie zona regiunii unificat, concentrat într-un cartier infinitezimal a punctului) și "pas" Heaviside.Prin această lucrare serie Fourier a devenit util pentru rezolvarea ecuațiilor și probleme în care cifra este intuitiv: un punct de încărcare, de masă punct, dipole magnetice, și sarcina concentrat pe grinda.Metoda
Fourier serie
Fourier, în conformitate cu principiile de interferență, începe cu descompunerea forme complexe în mai simplu.De exemplu, o modificare a fluxului termic datorat trecerii sale prin diferitele obstacole de material de formă neregulată, sau o schimbare în suprafața pământului de izolare - un cutremur, o schimbare în orbita unui corp ceresc - influența planetelor.De obicei, aceste ecuatii care descriu sisteme clasice simpla este elementar rezolvată pentru fiecare val.Fourier a aratat ca soluții simple pot fi rezumate după cum pentru mai multe sarcini complexe.În limbajul matematicii, seria Fourier - o metodologie de prezentare a cantitatea de exprimare armonici - cosinus și unde sinusoidale.Prin urmare, această analiză este de asemenea cunoscut sub numele de "analiza armonica."
Fourier Series - o metodă ideală pentru a "vârsta de calculator»
Înainte de crearea de tehnologia informatică tehnici Fourier este cea mai buna arma in arsenalul de oameni de stiinta care lucreaza cu natura val de lumea noastră.Seria Fourier în formă complexă vă permite pentru a rezolva nu numai problemele simple, care se pretează pentru a direcționa aplicarea legilor lui Newton de mecanica, dar, de asemenea ecuațiile fundamentale.Cele mai multe dintre descoperirile științei newtoniene secolului XIX a devenit posibilă numai datorită metodei Fourier.
Fourier serie de astazi
Odată cu dezvoltarea calculatoarelor Fourier ridicat la un nivel calitativ nou.Aceasta tehnica este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei.Ca un exemplu, un semnal audio și video digitale.Punerea sa în aplicare a fost posibil doar datorită teoria dezvoltată de matematicianul francez din secolul al XIX-lea.Astfel, seria Fourier în formă complexă a permis să facă un progres în studiul spațiului cosmic.În plus, ea a afectat studiul fizicii semiconductori și plasmă, cuptor cu microunde, acustica oceanografie, radar, seismologie.
serie Fourier trigonometrică
În matematică, seria Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții arbitrare complexe, ca o sumă de simplu.În cazurile comune, numărul de astfel de expresii poate fi fără sfârșit.Cu cât numărul luate în considerare în calculul, se obține mai precis rezultatul final.Cea mai comună utilizare a trigonometrice simplu funcționează cosinus și sinus.În acest caz, seria Fourier se numește trigonometrice, și decizia de astfel de expresii - descompunere armonic.Această metodă are un rol important în matematică.Mai întâi de toate, o seriilor trigonometrice furnizează un mijloc pentru imaginea, și funcția de învățare, este unitatea principală a teoriei.În plus, ne permite pentru a rezolva o serie de probleme in fizica matematica.În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea analizei matematice a dat naștere la o serie de ramuri foarte importante ale matematicii (teoria integral, teoria functiilor periodice).În plus, punctul de plecare pentru dezvoltarea următoarelor teorii: seturi, funcțiile unei variabile reale, analiza funcțională, și a marcat începutul analizei armonice.
