studiat matematica avansate ar trebui să fie cunoscut faptul că suma unei serii de puteri in intervalul de convergență a unui număr de noi, este un număr continuă și nelimitat de ori funcției diferențiate.Se pune întrebarea: este posibil să susțină că dat o funcție f arbitrar (x) - este suma unei serii de putere?Adică, în ce condiții f-Ia f (x) poate fi reprezentată printr-o serie de puteri?Importanța acestui aspect este faptul că este posibil să se înlocuiască aproximativ Q-uw f (x) este suma primelor termenii unei serii de puteri, care este polinomială.O astfel de funcție înlocuire este expresia destul de simplu - polinom -. Este convenabil și în rezolvarea unor probleme în analiza matematica, și anume în soluționarea integrale la calculul ecuații diferențiale, și așa mai departe D.
dovedit că pentru unele-f ii f (x)care poate calcula derivatele (n + 1)-lea pentru, inclusiv cele mai recente, în apropierea (α - R; x0 + r) un punct x = α este o formula corect:
Această formulă este numit dupa celebrul om de știință Brooke Taylor.Seria, care este derivat din cel anterior, numit o serie Maclaurin: regula
care face posibilă pentru a produce o expansiune serie Maclaurin:
- Determinați derivații din prima, a doua, a treia ... Ordine.
- calculate, care sunt derivați din x = 0.Serie
- Înregistrați Maclaurin pentru această funcție, și apoi pentru a determina intervalul de convergență.
- determina intervalul (-R; R), atunci când restul formulei Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 pentru n - & gt;infinit.În cazul în care există, funcția f (x) trebuie să fie egal cu suma din seria Maclaurin.
considerăm acum seria Maclaurin pentru funcțiile individuale.
1. Astfel, prima este f (x) = ex.Desigur, prin caracteristicile lor, cum ar f-Ia are derivați ai o varietate de comenzi, și f (k) (x) = ex, unde k este egal cu toate numerele naturale.Înlocuind x = 0.Ne-am f (k) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Pe baza celor de mai sus, un număr de ex va fi după cum urmează:
2. serie Maclaurin pentru functia f (x) = sin x.Specifica imediat că f-Ia toate necunoscute vor avea derivați pe langa f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = x = -sin păcat (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), unde k este egal cu un număr întreg pozitiv.Că este, prin efectuarea calculelor simple, putem concluziona că seria de f (x) = sin x este de acest tip:
3. Acum, haideți să ia în considerare Facultatea de Teologie din f (x) = cos x.Este pentru toate necunoscut are derivați de ordine arbitrare, și | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... din nou, producândanumite calcule, constatăm că seria de f (x) = cos x ar arata astfel:
Deci, ne-am enumerat cele mai importante caracteristici care poate fi extins într-o serie Maclaurin, dar completează seria Taylor pentru anumite funcții.Acum le vom enumera, de asemenea.De asemenea, trebuie remarcat faptul că Taylor și seria Maclaurin sunt o parte importantă din seria workshop în soluții de matematici superioare.Deci, seria Taylor.
1. Primul este seria de-f ii f (x) = ln (1 + x).Ca și în exemplele precedente, pentru asta ne-am f (x) = ln (1 + x) poate fi pliat într-un rând, folosind formularul general al serii Maclaurin.Cu toate acestea, această funcție Maclaurin pot fi obținute mult mai ușor.Integrarea serie geometrică, vom obține seria de f (x) = ln (1 + i) a probei:
2. Iar a doua, care va fi finală în acest articol, este seria de f (x) = arctg lui.Pentru X aparținând intervalului [-1, 1] este extinderea targului:
Asta e tot.În acest articol am fost considerat seria cel mai utilizat Maclaurin și Taylor în matematici superioare, în special în colegiile economice și tehnice.
