În planul spațial poate fi definită în diferite moduri (după un punct și un vector și vectorul de două puncte, trei puncte, etc).Este în această ecuație a planului poate avea diferite tipuri.De asemenea, în anumite condiții planul poate fi paralel, perpendicular, se intersectează, etc.Pe acest lucru și vorbesc în acest articol.Vom învăța să facă ecuația generală a planului și nu numai.
Normal ecuație
presupunem există un spațiu R3, care are un sistem de coordonate rectangulare XYZ.Definim alfa vector, care va fi lansat de la punctul A. inițial Prin sfârșitul alfa vectoriale trage planul P, care este perpendicular pe aceasta.
Fie P pe un punct arbitrar Q = (x, y, z).Vectorul raza de la punctul Q semneze p scrisoare.Lungimea grupării a vectorului este egală cu p = IαI și Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Este un vector unitate, care este îndreptată spre partea, precum și vectorul α.α, β, γ și - este unghiul format între Ʋ vector și direcțiile pozitive ale axelor de spațiu X, Y, Z, respectiv.Proiecția unui punct de pe vectorul Ʋ QεP este o constantă, care este egală cu p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Ecuația de mai sus are sens, atunci când p = 0.Singurul plan P, în acest caz se va intersecta punctul D (α = 0), care este originea, și unitatea vector Ʋ, eliberat din punctul O va fi perpendiculară pe P, în ciuda direcția sa, ceea ce înseamnă că Ʋ vector determinatpână la semnarea.Ecuație anterior este planul nostru II, exprimată în formă vector.Dar, în coordonatele de acest fel de a fi atât de:
P este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația planului în spațiu într-un mod normal.
ecuația generală
Dacă ecuația în coordonatele multiplica orice număr care nu este egal cu zero, obținem ecuația echivalentă acest care definește foarte avionul.Acesta va avea o vedere:
Aici A, B, C - este numărul, în același timp diferită de zero.Această ecuație este denumită ecuația planul de formă generală.Ecuație
a planului.Special ecuație
cazuri în formă generală poate fi modificat cu condiții suplimentare.Luați în considerare unele dintre ele.
presupunem că coeficientul A este egal cu 0. Aceasta înseamnă că planul este paralel cu axa Ox un anumit.În acest caz, modificați forma ecuației: Vu + Cz + D = 0.
formă similară a ecuației se va schimba și în următoarele condiții:
- început, când B = 0, atunci se schimbă ecuație pentru a Ax + Cz + D = 0, care ar indica paralel cu axa y.
- doilea rând, dacă C = 0, ecuatia este transformată în Ax + By + D = 0, vor exista discuții despre paralelă cu axa Oz predeterminată.
- În al treilea rând, atunci când D = 0, ecuația ar arata ca Ax + By + Cz = 0, ceea ce ar însemna că planul intersectează O (originea).
- al patrulea rând, în cazul în care A = B = 0, atunci se schimbă ecuație pentru Cz + D = 0, care se va dovedi paralel cu Oxy.
- al cincilea rând, dacă B = C = 0, ecuația devine Ax + D = 0, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu Oyz.
- șasea, dacă A = C = 0, ecuatia are forma Vu + D = 0, atunci nu va fi paralelă cu raportul Oxz.Ecuații de tip
în secțiunile de
În cazul în care numărul de A, B, C, D sunt diferite de zero, forma ecuației (0) pot fi după cum urmează:
x / a + y / b + z / o= 1,
care o = -D / A, b = -D / B, c = -D / C
Ia o ecuație urmare a planului în bucăți.Trebuie remarcat faptul că acest plan va intersecta Ox axă coordonatele (a, 0,0), DY - (0, b, 0) și Oz - (0,0, s).
în vedere ecuația X / Y a + / b + z / c = 1, este ușor de a vizualiza plasarea în raport avion la un sistem dat de coordonate.Coordonatele
al normală vector
vector normale n la planul P are coordonatele, care sunt coeficienții ecuației generale a planului, și anume n (A, B, C).
Pentru a determina coordonatele N normala, este suficient să știi ecuația generală a unui anumit avion.
La utilizarea ecuații în segmente, care are forma X / a + y / b + z / c = 1, ca atunci când se utilizează ecuația generală poate fi scrisă coordonatele orice vector normală un plan dat: (1 / a + 1 / b +1 / s).
de remarcat faptul că vectorul normală ajută la rezolvarea diferitelor probleme.Cele mai frecvente sunt problemele, este o dovadă de planuri perpendiculare sau paralele, sarcina de a găsi unghiurile dintre avioanele sau unghiurile dintre avioane și linii.
ecuație vederea avion în conformitate cu coordonatele punctului și normală vector
vector nenul n, perpendicular pe un plan dat, numit normală (normal) pentru un anumit avion.
presupune că spațiul (sistemul de coordonate dreptunghiulară) Oxyz întrebat coordonate: Punct
- Mₒ cu coordonatele (hₒ, uₒ, zₒ);
- vector la zero n = A * i + j + B C * * k.
necesare pentru a face ecuația planului care trece prin punctul perpendicular pe normală Mₒ n.În spațiul
alege orice punct arbitrar și să M-o (x y, z).Să vectorul raza de orice punct M (x, y, z) este r = x * i + y * j + z * k, și vectorul raza de punctul Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Punctul M aparține unui plan dat, dacă vectorul este perpendicular pe vectorul MₒM n.Scriem condiția de ortogonalitate prin produsul scalar:
[MₒM, n] = 0.
Din MₒM = r-rₒ, ecuația vector al planului va arata astfel:
[r - rₒ, n] = 0.
Această ecuație poate avea o formă diferită.În acest scop, proprietățile produsului scalar, și transformat în partea stângă a ecuației.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Dacă [rₒ, n] notate ca s, se obține următoarea ecuație: [r, n] - c = 0 sau [r, n] = s, care exprimă coerența proiecțiile privind vectorul normal al razei-vectorii punctele date care fac parte din planul.
Acum, puteți obține un fel de înregistrare a coordona ecuației noastre avion vector [r - rₒ, n] = 0. Deoarece r-rₒ = (x-hₒ) * i + (Y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kși n = A * i + j + B C * * k, avem:
pare, este formată în ecuația noastră a planului care trece prin punctul perpendicular n normal:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Tipul de ecuații plan conform coordonatele două puncte și un plan vector coliniar
Definiți două puncte, M '(x', y ', z') și M '(x ", y", z "), precum și vectorul de(A ', A "și ‴).
Acum putem echivala o anumită plan, care va avea loc prin intermediul punctelor existente M "și M", precum și orice punct M cu coordonatele (X, Y, Z), paralel cu un anumit vector.
Acest vectori M'M {x, x ', y, y'; ZZ '} și M "M = {x" -x ", y' y ', z" -Z "} ar trebui să fie coplanarevector o = (a ', o ", a ‴), și asta înseamnă că (M'M, M' M, a) = 0.
Deci ecuația noastră de un avion in spatiu ar arata astfel:
plan ecuație de tip intersectează cele trei puncte
Să presupunem că avem trei puncte (x ', y', z '), (x', y", Z"), (x ‴ Au ‴, Z ‴), care nu fac parte din aceeași linie.Este necesar să scrie ecuația planului care trece prin specificate trei puncte.Teoria geometrie susține că acest tip de avion nu există, e doar un singur si numai.Deoarece acest plan intersectează punctul (x ', y', z '), forma de ecuația acestora sunt următoarele:
Aici A, B, și C sunt diferite de zero, în același timp.De asemenea, având în vedere planul intersectează cele două puncte (x ', y', z ') și (x ‴ Au ‴, Z ‴).În acest sens ar trebui să se efectueze acest tip de condiții:
Acum putem crea un sistem uniform de ecuații (liniare), cu necunoscute u, v, w:
În cazul nostru, X, Y, sau Z pare punct arbitrar care satisfaceEcuația (1).Considerând ecuația (1) și un sistem de ecuații (2) și (3), un sistem de ecuații se arată în figura de mai sus, satisface vectorială N (A, B, C), care nu este simplă.Asta pentru ca factor determinant al sistemului este zero.
Ecuația (1), pe care avem, aceasta este ecuația planului.După 3 litera ea într-adevăr merge, și este ușor pentru a verifica.Pentru a face acest lucru, ne-am descompune determinant elementelor situate în primul rând.Dintre proprietățile existente ale determinantului se presupune că avionul, în același timp trei cruci asumat inițial puncte (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴).Așa că am decis să pună înaintea noastră.
unghi diedru între planurile unghiulare diedru
este o formă geometrică spațială formată din două jumătăți de avioane care vin de la aceeași linie.Cu alte cuvinte, această parte a spațiului, care este limitat la semiplanul.
presupunem că avem două planuri cu următoarele ecuații:
Știm că vectorii N = (A, B, C) și N¹ = (A¹, H¹, S¹) în conformitate cu setul de avioane perpendicular.În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ unghi egal (diedru), care se află între aceste planuri.Produsul scalar este dată de:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
tocmai pentru că
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
este suficient să se considere că 0≤φ≤π.
fapt două planuri care se intersectează, pentru a forma două unghiuri (diedru): φ1 φ2 și.Suma este egală cu π lor (φ1 + φ2 = π).În ceea ce pentru ambianta lor, valorile lor absolute sunt egale, dar ele sunt diferite semne, că este, pentru că φ1 = -cos φ2.Dacă în ecuația (0) se înlocuiește cu A, B și C -A, -B și -C respectiv, ecuația, obținem, va determina în același plan, doar unghiul φ în cos ecuație φ = NN1 / | N|| N1 | va fi înlocuit cu π-φ.Ecuația
perpendiculară pe planul perpendicular pe
numit plan, între care unghiul este de 90 grade.Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe alta.Să presupunem că avem două planuri: Ax + By + Cz + D = 0 și A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Putem spune că acestea sunt perpendiculare dacă cosφ = 0.Acest lucru înseamnă că AA¹ NN¹ = + + = 0 VV¹ SS¹.
ecuație plan paralel
paralel numit două planuri care nu conțin puncte comune.Stare
de planuri paralele (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful precedent) este că vectorii N și N¹, care să le perpendicular, coliniare.Acest lucru înseamnă că următoarele condiții proporționalității:
A / V = A¹ / H¹ = C / S¹.
Dacă sunt extinse condițiile proporționalității - A / V = A¹ / H¹ = C / S¹ = DD¹,
acest lucru indică faptul că planul de date de la aceeași.Acest lucru înseamnă că ecuația Ax + By + Cz + D = 0 și + A¹h V¹u S¹z + + = 0 D¹ descrie un singur plan.
distanta de la planul de la punctul
Să presupunem că avem un plan P, care este dat de ecuația (0).Este necesar de a găsi o distanta de la punctul cu coordonatele (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Pentru a face acest lucru, aveți nevoie pentru a aduce ecuatia planului P în forma normală:
(ρ, v) = P (r≥0).
In acest caz, ρ (x, y, z) este vectorul raza punctului Q nostru, situat pe n, P - este perpendiculară distanță P care a fost evacuată din punctul zero, v - este vectorul unitate, care se află în direcția unei.
diferență-ρ ρº vector rază de un Q punct = (x, y, z), deținută de P și vectorul raza unui punct Q0 dat = (hₒ, uₒ, zₒ) este o astfel de vector, valoarea absolutăa căror proiecții de v este egală cu distanța d, care este necesar să se găsească la Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, dar
(ρ-ρ0, V) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Se pare,
d = | (ρ0, v) p |.
văzut acum pentru a calcula distanta d de la Q0 la planul P, trebuie să utilizați forma normală a planului ecuației, trecerea la stânga râului, și ultimul loc de x, y, z substitut (hₒ, uₒ, zₒ).
Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultat care se solicită d.
Folosind setările de limbă, obținem evident:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Dacă un anumit punct Q0 este pe partea cealaltă a planului P ca origine, între vectorul ρ-ρ0 și v este un unghi obtuz, astfel:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
În cazul în care Q0 punct, împreună cu originea situat pe aceeași parte a U, unghiul generat este acută, care este:
d = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
Rezultatul este că, în primul caz (ρ0, v) & gt; p, al doilea (ρ0, v) & lt; p.
plan tangent și ecuația acesteia
ceea ce privește planul de a suprafeței de la punctul de contact Mº - un plan care conține toate tangent posibilă curba trasată prin acel punct de pe suprafața.
În acest tip de ecuație de F suprafață (x, y, z) = 0 ecuatia planului tangent la punctul de tangenta Mº (hº, uº, zº) ar arata astfel:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.
Dacă specificați explicit suprafață z = f (x, y), planul tangent este descrisă de ecuația:
Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
intersecție a două avioane
în spațiul tridimensional este un sistem de coordonate (rectangular) Oxyz, având în vedere două planuri P 'și P ", care se suprapun și nu sunt la fel.Deoarece orice plan, care este într-un sistem de coordonate rectangulare este definită de ecuația generală, vom presupune că n 'și n "sunt date de ecuațiile A'x + + V'u S'z + D' = 0 și A" x + B "y +Cu "D + z" = 0.În acest caz avem n normal "(A ', B', C ') de planul P" și n normale "(A', B ', C') de planul P".Ca planul nostru nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt coliniari.Folosind limbajul matematicii, avem această condiție poate fi scris ca: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Să linia dreaptă care se află la intersecția P "și P", va fi notată cu litera a, în acest caz, a = n '∩ P ".
o - aceasta este o directă, constând dintr-un set de puncte (în general) avioane P "și P".Aceasta înseamnă că coordonatele orice punct aparținând liniei și trebuie să îndeplinească simultan ecuația A'x + + V'u S'z + D '= 0 și A "x + B" y + C "z + D" = 0.Apoi, coordonatele punctului va fi o soluție special ecuațiile de mai jos:
Rezultatul este că decizia (General) al sistemului de ecuații va determina coordonatele fiecărui punct al liniei, care va fi punctul de intersecție P 'și P ", și pentru a determina directe șiîntr-un sistem de coordonate Oxyz (dreptunghiular) spațiu.
