Una din ramurile de bază ale analizei matematice este calculul integral.Acesta acoperă domeniul largă de obiecte, în cazul în care primul - este integral o nedeterminată.Poziția-l ca cheia este faptul că din nou în liceu relevă un număr tot mai mare de perspective și oportunități, care descrie matematici superioare.
aspectul
La prima vedere, se pare că totul integrantă moderne, de actualitate, dar, în practică, se dovedește că el a apărut în 1800 î.Hr..Homeland este considerat oficial Egipt ca nu au supravietuit dovada anterioară existenței sale.Aceasta din cauza lipsei de informații, toate în timp ce poziționat ca un simplu fenomen.Aceasta confirmă încă o dată nivelul de dezvoltare științifică a popoarelor din acele vremuri.În cele din urmă sa constatat scrierile matematicienii Greciei antice, datând din secolul al 4-lea î.Hr..Ele descriu metoda folosită în cazul în care nedeterminată integral, esența, care a fost de a găsi volumul sau zona formei curbate (plan tridimensional și două-dimensional, respectiv).Principiul de calcul bazat pe împărțirea cifra componentelor infinitezimale originale, cu condiția ca volumul (zona) de deja cunoscute.De-a lungul timpului, metoda a crescut, Arhimede a folosit pentru a găsi zona de parabolei.Calcule similare, în același timp, și exerciții de conduită în China antică, în cazul în care acestea au fost complet independent de limba greacă colegi stiinta.
Dezvoltare
următoarea descoperire în secolul al XI-BC a devenit activitatea savantului arabe "vagon" Abu Ali al-Basri, care a împins limitele deja cunoscute, sunt derivate din formula integral pentru calcularea sumelor sumelor și grade de la prima laÎn al patrulea rând, utilizând în acest știm metoda de inducție matematice.Mințile
de astăzi admira modul în care egiptenii antici create monumentele uimitoare fara unelte speciale, cu posibila excepție a mâinile sale, dar nu a făcut puterea oamenilor de știință spirit a nu mai puțin timp o minune?Comparativ cu timpul prezent al vieții pare aproape primitivă, dar decizia de integrale nedefinite deduse peste tot și folosite în practică pentru dezvoltarea în continuare.
următorul pas a avut loc în sec.XVI, când matematician italian adus metodă Cavalieri de indivizibili, care a luat Pierre de Fermat.Aceste două personalitate a pus bazele pentru calculul integral modernă, care este cunoscut in acest moment.Au legat conceptele de diferențiere și integrare, care au fost percepute anterior ca unități autonome.În general, matematica din acea vreme a fost spulberat, concluziile particulelor există prin ele însele, cu domeniu de aplicare limitat.Mod de asociere și de căutare de teren comun a fost adevărat numai în acest moment, datorită lui, analiza matematică modernă au avut oportunitatea de a crește și de a dezvolta.
Cu trecerea timpului schimba totul, și notația integralei, de asemenea.În general, oamenii de stiinta l-au desemnat, în felul lui, de exemplu, Newton a folosit un icon pătrat, care a pus o funcție integrabilă, sau pur și simplu un loc.Această disparitate a durat pana in secolul al XVII-atunci când un punct de reper pentru întreaga teorie a om de stiinta de analiza matematica Gottfried Leibniz a introdus ca un simbol familiar pentru noi.Alungite "S" se bazează de fapt pe care literă a alfabetului, ca reprezinta suma de primitive.Numele integrala sa datorat Jacob Bernoulli, după 15 de ani.
definiție oficială a integrantă nedeterminată depinde de definiția primitiv, așa că am luat în considerare în primul rând.
Primitivul - aceasta este funcția inversă a derivatului, în practică, este numit primitiv.Cu alte cuvinte: funcția primitivă de d - este o funcție D, derivatul este egală cu v & lt; = & gt;V "= v.Căutare primitiva este, calculul integral nedeterminată, iar procesul este numit de integrare.
Exemplu:
funcția S (Y) = Y3, și S sale primitive (y) = (Y4 / 4).Set
tuturor primitive ale functiei - aceasta este o parte integrantă nedeterminată, este indicat după cum urmează: ∫v (x) dx.
Deoarece V (x) - Acestea sunt unele din funcția primitiv originala, avem o expresie: ∫v (x) dx = V (x) + C, unde C - constantă.Sub constanta arbitrară înseamnă orice constantă, deoarece derivatul său este zero.Proprietăți
Proprietăți
care au o integrantă nedeterminată, pe baza definițiilor și proprietățile derivaților.
Luați în considerare puncte cheie:
- derivat integrantă a primitiv este ea însăși primitiv, plus o oarecare constanta C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- derivat al integralei funcției este funcția originală & lt; = & gt;(∫v (x) dx) "= v (x);
- constantă este îndepărtat din semnul integrantă & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, unde k - este arbitrară;
- integral, care este luată de la suma de identic egal cu suma de integrale de & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Ultimele două proprietăți se poate concluziona că integrala nedeterminată este liniară.Datorită acestui fapt, avem: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Pentru a consolida în considerare exemple de soluții integrale nedeterminată.
necesar pentru a găsi ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Din exemplul putem concluziona că nu știți cum să se ocupe cu integrale nedefinite?Doar găsi toate primitivele!Dar căutarea principiilor discutate mai jos.Metode
și exemple
Pentru a rezolva integral, puteți recurge la următoarele metode: masă
- gata de utilizare;
- integra cu piese;
- integrat prin înlocuirea variabilei;Decontare
- sub semnul diferențial.Tabele
mai simplu si placut mod.În momentul de față, analiza matematică se poate lăuda mese destul de extinse, care precizate formulele de bază ale integrale nedeterminată.Cu alte cuvinte, există modele derivate pentru tine și puteți lua doar profite de ele.Aici este o listă de posturi de masă de bază, care poate afișa aproape fiecare caz, cu o soluție:
- ∫0dy = C, unde C - constantă;
- ∫dy = y + C, unde C - constantă;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, unde C - o constantă, iar n - este diferit de numărul de unități;
- ∫ (1 / y) dy = ln | Y | + C, unde C - constantă;
- ∫eydy = EY + C, unde C - constantă;
- ∫kydy = (KY / ln k) + C, unde C - constantă;
- ∫cosydy = siny + C, unde C - constantă;
- ∫sinydy = -cosy + C, unde C - constantă;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, unde C - constantă;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, unde C - constantă;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, unde C - constantă;
- ∫chydy = timid + C, unde C - constantă;
- ∫shydy = Chy + C, unde C - constantă.
Dacă doriți să faceți o pereche de pași conduce integrandul la o vedere tabel și se bucură de victoria.Exemplu: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Potrivit deciziei, este clar că pentru masaExemplul integrandul nu are multiplicator 5. adauga in paralel cu acest multiplica prin 1/5 la expresia generală nu sa schimbat.
integrare prin părți
Luați în considerare două funcții - z (y) și x (y).Acestea trebuie să fie derivabila continuu pe domeniul său.Ca una dintre proprietățile de diferențiere au: d (XZ) + = xdz ZDX.Integrarea ambele părți, avem: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
rescrierea ecuației rezultate, vom obține o formulă care descrie metoda de integrare prin parti: ∫zdx = zx - ∫xdz.
ce este necesar?Faptul că cateva exemple pot simplifica, relativ vorbind, pentru a reduce ∫xdz ∫zdx, dacă acesta din urmă este aproape de o formă de tabel.De asemenea, această formulă poate fi folosită de mai multe ori, pentru rezultate optime.
Cum de a rezolva integrale nedefinite acest fel:
- necesar să se calculeze ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;
- trebuie să calculeze ∫lnsds ∫lnsds
= {z = LNS, DZ = DS / s, Y = S, DS = dy} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = S (LNS-1) + C.
variabilă de înlocuire
Această decizie principiu de integrale nedeterminată, în cererea de nu mai puțin de două, deși complicate.Metoda este următoarea: Fie V (x) - integralei unor funcții v (x).În cazul în care, în sine, integral capturilor slozhnosochinenny exemplu, este probabil pentru a obține confuz și du-te la soluțiile greșite.Pentru a evita acest practicat tranziție de la variabila x la z, în care o expresie generală simplificate vizual menținând z în funcție de x.
Într-un limbaj matematic este după cum urmează: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), unde x =y (z) - înlocuire.Și, desigur, funcția inversă Z = Y-1 (x) descrie pe deplin relația și relația dintre variabile.Important - dx diferential necesar înlocuit cu noul Dz diferențial, deoarece schimbarea de variabilă în integrala nedeterminată implică înlocuirea acestuia peste tot, nu doar în integrandul.
Exemplu:
- nevoie pentru a găsi ∫ (s + 1) / (s2 + 2S - 5) ds
aplica substituție z = (s + 1) / (s2 + 2S-5).Apoi 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Ca urmare, următoarea expresie, care este foarte usor pentru a calcula:
∫ (s + 1) / (s2 + 2S-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- nevoie pentru a găsi ∫2sesdx integrantă
Pentru a aborda rescrie expresia în următoarea formă:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
denotă o = 2e (înlocuirea argumentul acest pas nu este, este încă s), da noastre aparent complex, parte integrantă a formă de tabel de bază:
∫ (2e) SDS = ∫asds = ca / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.
Wrap sub semnul diferențial
În mare, această metodăintegrale nedeterminată - fratele geamăn a principiului schimbarea de variabile, dar există diferențe în procesul de înregistrare.Luați în considerare detaliu.
Dacă ∫v (x) dx = V (x) + C și Y = Z (X), apoi ∫v (y) dy = V (y) + C.
nu trebuie să uităm transformărilor integrale triviale, printreîn cazul în care:
- dx = d (x + a), și în care - fiecare constantă;
- dx = (1 / a) d (ax + b), în cazul în care un - constantă din nou, dar nu este zero;
- XDX = 1 / 2D (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Dacă luăm în considerare cazul general, când va calcula nedeterminată integrala, exemple pot fi aduse sub formula generală w '(x) dx = mu (x).
Exemple:
- nevoie pentru a găsi ∫ (2S + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2S + 3)
∫ (2S + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2S + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.
Online ajutor
În unele cazuri, vina care poate fi sau lene, sau o nevoie urgentă, puteți utilizasfaturi online, sau, mai degrabă, de a utiliza un calculator integrale nedefinite.În ciuda complexității aparente și caracterul controversat al integralele, decizia lor este supusă unui anumit algoritm, care este construit pe principiul "dacă nu ... atunci ...".
Desigur, exemple foarte complicate de acest calculator nu vor stăpâni, așa cum există și cazuri în care o decizie de a găsi un mod artificial "forțată", prin introducerea unor elemente din procesul, pentru că rezultatul nu este moduri evidente de a realiza.În ciuda caracterului controversat al acestei declarații, este adevărat, așa cum matematica, în principiu, o știință abstractă, iar obiectivul său principal consideră că necesitatea de a extinde limitele de posibilități.Într-adevăr, pentru o buna run-in teoriile este foarte dificil să se deplaseze în sus și să evolueze, asa ca nu presupune că exemplele de soluție de integrale nedeterminată care ne-a dat - aceasta este înălțimea de opțiuni.Dar să revenim la partea tehnică a lucrurilor.Cel de a verifica calculele la, aveți posibilitatea să utilizați serviciul în care a fost scris la noi.În cazul în care există o nevoie pentru calculul automat al expresii complexe, atunci ei nu trebuie să recurgă la un software mai grave.Este necesar să se acorde o atenție în primul rând asupra mediului MatLab.Decizie
aplicare
integrale nedeterminată, la prima vedere pare complet rupt de realitate, pentru că este dificil de a vedea utilizarea evidentă a planului.Într-adevăr, utilizarea lor oriunde direct imposibilă, totuși, ele sunt considerate element intermediar necesar în procesul de retragere a soluțiilor utilizate în practică.Deci, înapoi la integrarea de diferențiere, care participă astfel activ în procesul de rezolvare a ecuațiilor.
La rândul lor, aceste ecuatii au un impact direct asupra deciziei de o problemă mecanică, calculul traiectoriilor și conductivitate termică - pe scurt, tot ceea ce constituie în prezent și modelarea viitorului.Exemplele nedeterminată integral, de care am considerat mai sus, numai banal la prima vedere, ca o bază pentru a efectua mai multe și mai noi descoperiri.
