daná jednoduchá funkcie v trigonometrii = sin (x) je diferencovateľná v každom bode celej domény.Je potrebné preukázať, že derivát sínusu žiadny argument je kosínus pod rovnakým uhlom, to znamená, že "= cos (x).
dôkaz je založený na definíciu derivátu
Definujte x (ľubovoľný) v malom susedstve určitého bodu △ x x0.Ukážeme hodnotu funkcie v ňom, a na mieste x nájsť prírastok určenú funkciu.Ak △ x - prírastok argumentu, potom nový argument - je x0 +? X = x, hodnota tejto funkcie v danej hodnote argumentu y (x) je Sin (X0 +? X), hodnota funkcie v určitom bode na (X0), je tiež známy.
Teraz máme Δu = Sin (x0 + △ x) -Sin (X0) - prijal funkciu prírastok.
Podľa vzorca zo sine súčtu dvoch nerovnakých uhlov bude previesť rozdiel Δu.
Δu = Sin (x0) · Cos (△ x) + cos (x0) · Sin (? X) mínus Sin (x0) = (cos (? X) -1) · Sin (x0) + cos (x0) · Sin (△ x).
odkladanie termínov zoskupené prvej až tretej hriechu (X0), vykonáva spoločný faktor - sine - zátvorkách.Musíme vyjadriť rozdiel Cos (△ x) -1.Meníte znamienko držiaku a v zátvorkách.Vedieť, čo je 1-cos (△ x), môžeme vykonať zmenu a získať zjednodušený výraz Δu, ktorá sa potom delí △ x.
Δu / △ x je v tvare: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (X0) / △ x.To je pomer prírastku funkcie na predpoklady prírastku argumentu.
zostáva nájsť limitu pomerov získaných nami počas lim △ x inklinuje k nule.
známe, že medza sin (△ x) /? X sa rovná 1, pre dané podmienky.A výraz 2 · sin2 (0,5 · △ x) / △ x vo výslednej súkromne súčtu transformáciou na dielo, ktoré obsahuje ako faktor prvý pozoruhodný medza: čitateľ a znemenatel rozdelený na 2 frakcie, štvorec sine vymení výrobok.So:
(Sin (0,5 ·? X) / (0,5 ·? X)) · Sin (? X / 2).
limit tohto výrazu ako △ x k nule, číslo je rovné nule (1 násobená 0).Ukazuje sa, že hranica pomeru? Y / △ x je rovné Cos (X0) · 1-0, to je Cos (X0), výraz, ktorý nie je závislý na △ x, tendenciu na 0. Preto je záver: derivát sínusu akéhokoľvek uhla x je cosinus xpíšeme tak: "= cos (x).
Tento vzorec je uvedený v tabuľke známych derivátov, kde sú všetky elementárne funkcie
pri riešení problémov, kde sa stýka s derivát sine, môžete použiť pravidlá pre rozlišovanie a ready-made vzorcov z tabuľky.Napríklad: Nájdite jednoduchý derivácii funkcie y = 3 · Sin (x) -15.Používame základné pravidlá diferenciácie, odstránenie číselným faktorom pre znamenie derivátu a derivát výpočtu konštantný číslo (to je nula).Použiť tabuľková hodnota derivácie sínusu uhla x rovný cos (x).My dostať odpoveď: y '= 3 · cos (x) -O.Tento derivát, podľa poradia, je tiež základné funkcie y = G · cos (x).
derivát sine na druhú akéhokoľvek argumentu
Pri výpočte výraz (sin2 (x)), je potrebné mať na pamäti, ako sa odlíšiť komplexné funkcie.Tak, = sin2 (x) -, je exponenciálny funkcie ako sínus na druhú.Argument, že je tiež goniometrické funkcie, komplexné argument.Výsledkom je v tomto prípade je výsledkom prvého faktora je derivát štvorca komplexného argumentu, a druhá - derivát sínusu.Tu je pravidlo pre rozlišovanie funkciu funkcie: (O (P (x))) "je (O (P (x)))" · (v (x)). "Výraz v (x) - komplex argumentom (interné funkcie).V prípade, že daná funkcia "Y je nevyhnutnou druhú x", potom derivát zložené funkcie je y = 2 · sin (x) · cos (x).Produkt z prvého faktora sa zdvojnásobí - známy derivácie funkcie energie, a cos (x) - derivát sínusu argumentu komplexné kvadratické funkcie.Konečný výsledok sa môže previesť pomocou vzorca z trigonometrickej sínusu dvojitého uhla.: Derivát Sin (2 · x).Tento vzorec je ľahké si uvedomiť, že je často používaný ako stôl.
