Cramerovo pravidlo - je jednou z exaktných metód riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc (Slough).Jeho presnosť vďaka použitie determinantov matíc, ako aj niektoré obmedzenia uložených v dôkazu vety.
sústava lineárnych rovníc s koeficientmi, ktoré patria do, napríklad, množstvo R - reálnych čísel, od neznámeho x1, x2, ..., xn sa nazýva sada výrazov formy
AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi pre i =1, 2, ..., m, (1), kde
AIJ, bi - sú reálne čísla.Každý z týchto výrazov sa nazýva lineárna rovnica, AIJ - koeficienty neznámych, bi - free koeficienty rovníc.
roztok (1) sa nazýva n-rozmerný vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), ktorá, pokiaľ je substituovaný v pre neznámych X1, X2, ..., xn každý z riadkov v systéme sa stávaozajstná rovnosť.
systém sa nazýva konzistentné, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentné, ak je jeho množina riešení sa zhoduje s prázdnou množinou.
Je potrebné pripomenúť, že s cieľom nájsť riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc Cramerovo pravidlo, matice, systémy musia byť štvorcový, čo v podstate znamená rovnaký počet neznámych a rovníc v systéme.
Tak, aby použiť metódu Cramer, mali by ste aspoň vedieť, čo je Matrix je systém lineárnych rovníc a ako je vydaný.A za druhé, aby pochopili, čo sa nazýva determinant matice, a zvládnuť kvalifikáciu jeho výpočtu.
predpokladať, že tieto znalosti budete vlastniť.Wonderful!Potom budete musieť len pamätať vzorce určujúce spôsob Cramer.Pre zjednodušenie ukladania do pamäte použite nasledujúci zápis:
-
Det - hlavný determinant systému;
-
deti - je determinant matrica získané z hlavného matice sústavy tým, že nahradí i-ty stĺpec matice na stĺpcový vektor, ktorého prvky sú pravé strany na sústav lineárnych rovníc;
-
n - počet neznámych a rovníc v systéme.
Potom Cramerovo pravidlo vypočítať i-tej zložky XI (i = 1, .. n) n-rozmerný vektor x možno zapísať ako
xi = deti / Det, (2).
Tak Det striktne nenulový.
unikátne riešenie, kedy je spoločne poskytuje stavom nenulovú hlavné determinanty systému.V opačnom prípade, ak súčet (XI), na druhú, je absolútne pozitívne, potom Slae štvorcová matica je nekonzistentné.Táto situácia môže nastať najmä vtedy, keď aspoň jeden z deti nenulové.
Príklad 1 .K vyriešeniu trojrozmerný systém Lau, za použitia Cramerovo vzorca.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31, 5
x1 + x2 + x3 = 2 29, 3
x1 - x2 + x3 = 10.
rozhodnutia.Píšeme maticu riadku, kde Ai - je i-tý riadok matice.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
stĺpec zadarmo koeficienty b = (31 októbra 29).
hlavným určujúcim Det systém je
Det = a11 a22 A33 + a12 a23 a31 + a31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 a12 = 1 až 20 12-12 2-10 = -27.
Pre výpočet použitie striedanie DET1 a11 = b1, b2 = A21, A31 = B3.Potom
DET1 = b1 a22 A33 + a12 a23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 B3 - b1 A32 A23 - A33 A12 b2 = ... = -81.
Podobne, na výpočet permutácie pomocou det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = A32 a, respektíve, pre výpočet det3 - A13 = b1, b2 = A23, A33 = B3.
Potom môžete zistiť, že det2 = -108, a det3 = - 135.
Podľa Cramerovo pravidlo nájdeme x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Odpoveď: x ° = (3,4,5).
o podmienkach použiteľnosti základe tohto pravidla, Cramerovo pravidlo pre riešenie sústavy lineárnych rovníc možno použiť nepriamo, napríklad, vyšetrovať systém na možný počet riešení, v závislosti od hodnoty parametra k.
Príklad 2 Zistite, čo hodnoty parametra K nerovnosť | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 má práve jedno riešenie.
rozhodnutia.
Tento rozdiel v definícii funkcie modulu môže byť vykonaná iba vtedy, ak sú obaja výrazy sú nulové súčasne.Preto tento problém sa redukuje na hľadanie riešení lineárneho systému rovníc
kx - y = 4,
x + ky = -4.
riešenie tohto systému iba v prípade, že je hlavnou determinantom
Det = k ^ {2} + 1 je nenulové.Je zrejmé, že táto podmienka platí pre všetky platné hodnoty k parametru.
Odpoveď: pre všetky skutočné hodnoty k parametru.
Ciele tohto typu môžu byť tiež znížený, mnoho praktických problémov matematiky, fyziky alebo chémie.
