študoval vyššej matematiky by mala byť známa, že súčet Mocninné radu v intervale konvergencie niekoľkých nás, je kontinuálna a neobmedzene diferencovaných funkciu.Vyvstáva otázka: je to možné argumentovať, že vzhľadom ľubovoľnú funkciu f (x) - je súčet Mocninné radu?To znamená, že za akých podmienok môže byť f-Ia f (x), v zastúpení elektrického sériu?Dôležitosť tohto problému je, že je možné nahradiť približne Q-UW f (x) je súčet prvých podmienok napájania série, to je polynóm.Takáto náhrada funkcia je veľmi jednoduchá výraz - polynóm -. Je pohodlné a pri riešení niektorých problémov v matematickej analýze, a to v riešení integrálov pri výpočte diferenciálnych rovníc, a tak ďalej D.
preukázali, že pre niektoré f-ii f (x)ktoré môžu vypočítať derivátmi (n + 1) tého poriadku, vrátane najnovšej, v blízkosti (alfa - R, x0 + R) bodu x = a je spravodlivý vzorec:
Tento vzorec je pomenovaný po slávnom vedca Brooke Taylor,Série, ktorý je odvodený od predchádzajúceho, nazvaný Maclaurin séria:
pravidlo, že umožňuje vyrábať expanziu Maclaurin série:
- Určte deriváty prvá, druhá, tretia ... Objednať.
- vypočítané, ktoré sú deriváty v x = 0.Series
- Record Maclaurinova pre túto funkciu, a potom na stanovenie intervalu konvergencie.
- stanovenie časového úseku (R, R), kde zvyšok Maclaurinových vzorca
Rn (x) - & gt;0 pre n - & gt;nekonečno.Ak existuje, že funkcia f (x) sa musí rovnať súčtu Maclaurinových radov.
Uvažujme teraz Maclaurin série pre jednotlivé funkcie.
1. To znamená, že najprv je f (x) = ex.Samozrejme, že sa od seba vlastnosťami, ako f-Ia má deriváty rôznych objednávok, a f (k) (x) = ex, kde k je rovné všetkých prirodzených čísel.Dosadením x = 0.Dostávame f (k) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Na základe uvedených skutočností, rad ex bude vyzerať takto:
2. Maclaurin séria pre funkciu f (x) = sin x.Ihneď určiť, že f-IA pre všetky neznáme bude mať deriváty, okrem f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2), ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), kde k je rovné akejkoľvek kladné číslo.To znamená, že vykonaním jednoduché výpočty, môžeme konštatovať, že rad pre f (x) = sin x je tohto typu:
3. Teraz poďme zvážiť teologickej fakulty f (x) = cos x.Je to pre všetkých z neznámeho má deriváty ľubovoľnom poradí, a | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... opäť, produkujúceNiektoré výpočty, zistíme, že rad pre f (x) = cos x bude vyzerať takto:
Takže máme uvedené najdôležitejšie vlastnosti, ktoré je možné rozšíriť v Maclaurinových radov, ale dopĺňajú Taylor série pre niektoré funkcie.Teraz sa zobrazí zoznam je tiež.Treba tiež poznamenať, že Taylor a Maclaurin série sú dôležitou súčasťou dielne radu v roztokoch vyššej matematiky.Takže, Taylorová radu.
1. Prvý z nich je rad pre f-ii f (x) = ln (1 + x).Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch, k tomuto my f (x) = ln (1 + x) môže byť zložený v rade, s použitím všeobecný tvar Maclaurinových radov.Táto funkcia však Maclaurinova možno získať oveľa jednoduchšie.Integrácia geometrickom rade, dostaneme rad pre f (x) = ln (1 + i) vzorky:
2. a druhý, ktorý bude finále v tomto článku, je rad pre f (x) = arctg je.Pre x, ktorá patrí do intervalu [-1, 1] je rozšírenie veľtrhu:
To je všetko.V tomto článku boli považované najpoužívanejšie Maclaurin a Taylor série v vyššej matematiky, najmä v ekonomických a technických vysokých škôl.
