metoda preprosta ponovitev, ki se imenuje tudi metodo zaporednih približkov - matematični algoritem za iskanje vrednosti neznanih količin, ki jih postopoma pojasniti.Bistvo te metode je, da je, kot že ime pove, se postopoma izražajo začetni približek nadaljnjih tiste, postajajo vse bolj prefinjene rezultate.Ta metoda se uporablja za iskanje vrednosti spremenljivke v danem funkcijo in reševanje sistema enačb, linearnih in nelinearno.
Razmislite o tem, kako se ta metoda izvaja pri reševanju linearnih sistemov.Način preproste ponovitve algoritma je, kot sledi:
1. Preverite stanje konvergence v prvotni matriki.Izrek konvergence če je prvotni matrični sistem diagonalno prevlado (tj vsaka vrsta glavnih diagonalnih elementov mora biti večja v velikosti od vsote diagonalnih elementov strani modula), metoda preprostega iteracije - konvergentna.
2. Matrika izvirnega sistema ni vedno diagonale prevlada.V takih primerih lahko sistem spremeniti.Enačbe, ki izpolnjujejo konvergenčni pogoj, da ostane nedotaknjena, vendar z nezadovoljivo linearno kombinacij, tjmnožiti, odštevanje, sešteti enačbe, da bi dobili želenega rezultata.
Če so posledica sistema v glavnih diagonalnih koeficienti neprijetno, nato pa na obe strani te enačbe se doda glede na obliko ci * XI znakov, ki mora sovpadati s znamenja diagonalnih elementov.
3. Pretvarjanje nastali sistem na običajni pogled:
x- = β- + alfa * x-
To je mogoče doseči na različne načine, na primer: iz prve enačbe Express x1 skozi drugo unknown vtorogo- x2 odtretego- x3 itdHkrati bomo uporabili formulo:
αij = - (aij / aii)
i = dvo / aii
morala ponovno zagotoviti, da je sistem normalno tipu ustreza konvergenčnega pogoja:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,medtem ko je i = 1,2, ... n
4. Začni uporabljati, v resnici, je metoda zaporednih približkov.
x (0) - začetna približevanje izražamo preko X (1), ki mu sledi x (1) hitrih x (2).Splošna formula obliki matrike izgleda takole:
x (n) = β- + α * x (n-1)
izračunati, dokler ne dosežemo želene natančnosti:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Torej, si oglejmo prakso metode preprostega ponovitvi.Primer:
reševanje linearnih sistemov:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 z natančnostjo ε = 10-3
Poglejmo, ali jih diagonalnih elementov modula prevladujejo.
vidimo, da le konvergenca pogoj izpolnjuje tretjo enačbo.Prvi in drugi pretvoriti v prvo enačbo dodamo drugo:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
odštejemo prvo od tretjega:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
smo preoblikovali izvirnikSistem enakovreden:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
zdaj dal sistem na običajni obliki:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Preverite konvergenco procesa ponovitev:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, kar pomeni,pogoj je izpolnjen.
0,3947
začetni približek x (0) = 0,4762
0,8511
Zamenjajte te vrednosti v enačbo normalne oblike, smo dobili naslednje vrednosti:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
nadomestiti nove vrednosti, dobimo:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
naprej izračunati, dokler trenutek še ni prišel blizu vrednosti, ki izpolnjujejo predpisane pogoje.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
preveri pravilnost rezultatov:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 rezultati
pridobljen z zamenjavo ugotovljene v prvotni enačbi vrednosti, v celoti izpolnjujejo enačba.
Kot lahko vidimo, metoda preprostega iteraciji daje dokaj točne rezultate, toda za rešitev te enačbe smo imeli, da bi porabili veliko časa in ne okorne izračune.
