Fourier series - predstavitev poljubno izbrano funkcijo na določeno obdobje zapored.Na splošno, je odločitev iz ekspanzijskega elementa pravokotne podlage.Širitev funkcij serije Fourier je zelo močno orodje pri reševanju različnih težav, ki zaradi lastnosti transformacije v integracije, diferenciacija, in premik argument izraze in konvolucija.
osebo, ki je ne pozna višje matematike, kakor tudi z delom francoskega znanstvenika Fourier verjetno ne bo razumel, kaj je "čine" In kaj počnejo.Vendar je ta transformacija zelo dobro pridejo v naše življenje.To se ne bi uporabljali le matematiko, ampak tudi fiziki, kemiki, zdravnike, astronome, seizmologi, oceanographers in drugi.Naj nas tudi pobliže z deli velikega francoskega znanstvenika, ki so izvedli odkritje, pred svojim časom.
Man in Fourierjeva transformacija
Fourier series so ena izmed metod (skupaj z analizo in drugi) v Fourierova transformacija.Ta proces se zgodi vsakič, ko oseba sliši zvok.Naša ušesa samodejno pretvori zvočno valovanje.Vibracijska gibanje osnovnih delcev v elastično mediju so razporejeni v seriji (v spektru) zaporednih vrednosti glasnosti za tone različnih parcel.Dalje, možgani pretvori podatke v zvokih znanih nam.Vse to pa je, poleg naše volje in zavesti, temveč, da bi razumeli te procese bo trajalo več let za študij višje matematike.
Več o Fourierjeve transformacije
Fourierjeva transformacija se lahko izvede analitičen, številke in druge metode.Fourier serije so številka postopek za razpadajoče nobenih nihajočih procese - od oseki in valove svetlobe sončnih ciklov (in drugih astronomskih objektov) dejavnosti.Uporaba teh matematičnih tehnik mogoče razstaviti funkcij, ki predstavljajo nobenih nihajočih procese v številnih sinusnih komponent, ki gredo od minimuma do maksimuma in nazaj.Fourierjeva transformacija je funkcija opisuje fazo in amplitudo sinusoids ustreza določeni frekvenci.Ta postopek se lahko uporablja za reševanje zelo zapletene enačbe, ki opisujejo dinamičnih procesov, ki se pojavljajo pod vplivom toplote, svetlobe ali električne energije.Tudi Fourierjeve vam omogočajo, da označite stalnih komponent kompleksnih valov, zaradi česar je mogoče pravilno interpretirati eksperimentalne stališča na področju medicine, kemije in astronomije.
Ozadje
ustanovni oče te teorije je francoski matematik Joseph Fourier.Njegovo ime je bilo pozneje imenovan ta transformacija.Sprva so raziskovalci uporabili tehniko za preučevanje in pojasniti mehanizme toplotno prevodnost - širjenje toplote v trdnih snovi.Fourier Predpostavlja se, da je začetna distribucija nepravilnih vročinskim valom lahko razgradi v preproste sinusoide, od katerih bo vsak imel minimalno in maksimalno temperaturo, kot tudi svoje faze.Tako je vsaka taka komponenta se izmeri od najnižje do najvišje in obratno.Matematična funkcija, ki je opisan v zgornje in spodnje vrhove krivulje, in fazo vsakega harmonsko, imenovano Fourierjevo transformacijo izražanje temperaturne porazdelitve.Avtor teorije zmanjšano splošno funkcijo distribucije, ki ga je težko matematični opis, v zelo enostaven za uporabo več periodičnih funkcij sinus in kosinus, kar skupno znaša začetne porazdelitve.Načelo
spreobrnitve in stališča sodobnikov
sodobnikov znanstvenika - vodilni matematiki začetku devetnajstega stoletja - niso sprejeli to teorijo.Glavni očitek je bila odobritev Fourier, ki je razpeta zlom funkcija opisuje ravno črto ali krivuljo, ga lahko predstavimo kot vsoto sinusnih izrazov, ki so neprekinjeno.Kot primer, upoštevati "stopnici" Heaviside: njena vrednost nič na levi strani reže in desni enoto.Ta funkcija opisuje odvisnost električnega toka iz začasnega spremenljivke za zaprtje tokokroga.Sodobniki teorija takrat še nikoli naletela tako situacijo, ko prekinjenega izraz opisuje kombinacije neprekinjenih, običajnih funkcij, kot eksponentna, sine, kvadratno ali linearno.
ki zamenjuje francoske matematiki v teoriji Fourier?
Konec koncev, če je bil matematik pravilna v svojih trditvah, potem seštevek neskončno trigonometrične Fourierjevo vrsto, lahko dobite natančen prikaz korak izražanja, četudi ima veliko podobne ukrepe.V začetku devetnajstega stoletja, ta izjava zdela absurdna.Toda kljub vsem dvomom, so mnogi matematiki razširila obseg študij tega fenomena, se gibljejo izven raziskave toplotne prevodnosti.Vendar pa je večina znanstvenikov še vedno trpijo vprašanje: "? Ali se vsota sine vrsta konvergira na točno vrednost diskontinuirnega funkcijo"
Konvergenca serije Fourier: primer
vprašanje konvergence postavljeno kadar je to potrebno seštevanja neskončno vrsto številk.Da bi razumeli ta fenomen, preuči klasičen primer.Bi si kdaj dosežejo zid, ko bo vsak korak polovico prejšnje?Recimo, da ste dva metra od cilja, prvi korak bližje približno na pol poti, je naslednji - na ravni tri četrtine in po peti premagati skoraj 97 odstotkov poti.Vendar, ne glede na to, koliko korakov ste jih naredili, je cilj pridete v ožjem matematičnem smislu.Uporaba numeričnih izračunov, lahko dokažemo, da na koncu se lahko približamo na poljubno majhno določeni razdalji.To je enakovredno dokazilo, ki dokazuje, da je skupna vrednost polovico, četrtino, in tako naprej. E. Bo nagibajo k enotnosti.
vprašanje konvergence: drugi prihod ali Device Lord Kelvin
spet se je pojavilo vprašanje, v poznem devetnajstem stoletju, ko je Fourier poskušal uporabiti napovedati intenziteto Ebbs in tokov.V tistem času je Lord Kelvin izumil napravo je analogna računalniška naprava, ki omogoča mornarji vojaške in trgovske mornarice, da bi spremljali ta naravni pojav.Ta mehanizem opredeljuje niz faz in amplitud višine tabelah plima in ustreznih časovnih trenutkih natančno izmerjenih v pristanišču med letom.Vsak parameter je sinusoidno komponenta plima izražanja je ena od rednih komponent.Rezultati meritev so vhod za računalniške naprave Lord Kelvin, sintetiziranja krivulje, ki napoveduje višino vode kot časovne funkcije za naslednje leto.Kmalu so bile te krivulje za vse pristanišč po svetu.
In če proces bo razdeljena nezvezno funkcijo?
Takrat je bilo jasno, da je naprava napovedujejo val, pri čemer lahko veliko elementov računov izračunati veliko število faz in amplitud, in tako zagotovi natančnejšo napoved.Vendar se je izkazalo, da je ta vzorec ni opaziti v primerih, ko plimovanja izraz, ki se sintetizirajo, vsebuje oster skok, kar pomeni, da je prekinjen.V tem primeru, če se podatki vnesejo v napravo iz tabele časovnih točk, izračunava nekaj Fourier koeficientov.Prvotna funkcija je obnovljena zahvaljujoč sinusno komponento (v skladu z ugotovljeno koeficientov).Neskladje med izvirnikom in rekonstruirane izražanja se lahko izmeri na kateri koli točki.Med ponavljajočih računanja in primerjava je pokazala, da je vrednost največje napake zmanjša.Vendar pa so lokalizirani na območju, ki ustreza točki preloma in vse druge točke nagiba k nič.Leta 1899 je bil ta rezultat potrjen teoretično Joshua Willard Gibbs univerze Yale.
Konvergenca serije Fourier in razvojem matematike v splošni analizi
Fourier se ne uporablja izrazov, ki vsebujejo neskončno število rafali na določenem intervalu.Na splošno serije Fourier, če prvotna funkcija predstavili rezultate dejanskih fizičnih meritvah vedno konvergirajo.Vprašanja konvergence procesa za posebne razrede funkcij so pripeljale do novih vej matematike, kot teorijo splošnih funkcij.To je povezano s takimi imeni, kot L. Schwartz, J .. Mikusiński in J. Temple.V okviru te teorije je bila ustanovljena jasno in natančno teoretično osnovo za take izraze, kot funkcijo Diracove delta (ki opisuje enotno območje regije, koncentrirano v neskončno bližini točke) in "korak" Heaviside.Skozi to delo Fourier series postal uporaben za reševanje enačb in težave, v katerih je ta številka intuitivna: točka naboja, točka množične, magnetni dipoli, in koncentrirano obremenitev na drogu.
Fourierova metoda
Fourier series, v skladu z načeli motenj, se začne z razgradnjo kompleksnih oblik v enostavnejše.Na primer, sprememba toka vročine zaradi prehoda prek različnih ovir iz izolacijskega materiala nepravilne oblike, ali spremembo v zemeljski površini - potres, spremembo v orbiti za nebesnega telesa - vplivom planetov.Značilno je, da se te enačbe, ki opisujejo preproste klasične sisteme osnovno rešiti za vsak val.Fourier je pokazala, da se enostavne rešitve, lahko povzamemo, kot za bolj zahtevne naloge.V jeziku matematike, Fourierjeva vrsta - metodologija za predložitev izražanja zneska harmonike - kosinus in sinusnih valov.Zato je ta analiza znan tudi kot "harmonična analiza."
Fourier Series - idealna metoda za "računalniški dobi»
Pred oblikovanjem računalniško tehnologijo Fourier tehniko je najboljše orožje v arzenalu znanstvenikov, ki delajo z valovno naravo našega sveta.Fourier series v kompleksne oblike vam omogoča, da ne samo, reševanje preprostih problemov, ki jih je možno neposredno uporabo Newtonovi zakoni mehanike, temveč tudi temeljne enačbe.Večina odkritij devetnajstega stoletja Newtonove znanosti postalo možno le zaradi načina Fourier.
Fourier series danes
Z razvojem računalnikov Fourier povečalo na kakovostno novo raven.Ta tehnika je trdno zasidran v skoraj vseh področjih znanosti in tehnologije.Kot primer, digitalni avdio in video signala.Njegovo izvajanje je bilo možno le po zaslugi teoriji, ki jo francoski matematik razvil v začetku devetnajstega stoletja.Tako je serija Fourier v kompleksni obliki dovoljeno narediti preboj v študiji vesolja.Poleg tega je to vplivalo na študij fizike polprevodnikov in plazme, mikrovalovne akustiko, oceanografijo, radar, seizmologije.
trigonometrične Fourier series
V matematiki, serije Fourier je način predstavlja poljubne kompleksne funkcije kot vsota enostavnejša.V skupnih primerih lahko število teh izrazov so neskončne.Večje kot je število upošteva pri izračunu, ki je bolj natančen končni rezultat, dobljen.Najbolj pogosta uporaba preprostega trigonometrične funkcije kosinus in sinus.V tem primeru je serija Fourier imenuje trigonometrične in odločitev takšnih izrazov - harmonično razgradnje.Ta metoda ima pomembno vlogo pri matematiki.Najprej trigonometrične serije zagotavlja način za sliko, in funkcijo učenja, je glavna enota teorije.Poleg tega pa nam omogoča, da se rešiti številne težave v matematične fizike.Nazadnje je ta teorija prispevala k razvoju matematične analize je prišlo do številnih zelo pomembnih vej matematike (sestavni teorije, teorije periodične funkcije).Poleg tega, je izhodišče za razvoj naslednjih teorij: množice, funkcije realne spremenljivke, funkcionalne analize in zaznamovala začetek harmonična analiza.
