V vesoljskem ravnini lahko opredelimo na različne načine (za eno točko in vektor in vektor dveh točk, tri točke, itd.)To je v tej enačbi ravnine imajo lahko različne vrste.Tudi, pod določenimi pogoji lahko letalo biti vzporedno, pravokotno, seka, itdO tem in govori v tem članku.Naučili se bomo, da bo celotno enačbo ravnine in ne samo.
Normal enačba
Recimo, da je prostor R3, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ.Definiramo vektorski α, ki se sproščajo iz začetne točke A. Z koncu vektorja a pripravi ravni P, ki je pravokotna nanjo.
Naj bo P na poljubno točko Q = (x, y, z).Radij vektor točke Q podpiše pismo str.Dolžina vektorja a je enako p = IαI in Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
je vektor enota, ki se nanaša na tisti strani, kot tudi vektor α.α, β in γ - je kot, ki nastane med vektorja Ʋ in pozitivni smeri osi v prostor X, Y, Z oz.Projekcija točke na vektorju Ʋ QεP je konstanta, ki je enaka p (p, Ʋ) = P (r≥0).
Zgornja enačba smiselna, kadar p = 0.Edina ravnina P v tem primeru bo sekata točka D (α = 0), ki je izvor in enota vektor Ʋ, sproščena iz točko O bo pravokotna P kljub svoji smeri, kar pomeni, da določi vektor Ʋdo podpisati.Prejšnja enačba je naše letalo II, izraženo v vektorski obliki.Toda v koordinate te vrste, da bo tako:
P je večja ali enaka 0. Ugotovili smo enačbo ravnine v prostoru na običajen način.Splošna enačba
Če je enačba v koordinatah pomnožite poljubno število, ki ni enaka nič, dobimo enačbo enakovredna tej, ki opredeljuje zelo letalo.To bo imelo pogled:
Tu A, B, C - je število istočasno različna od nič.Ta enačba se imenuje ravnini enačbe splošno obliko.
enačba ravnine.Zlasti v primerih
enačba v splošni obliki se lahko spremeni z dodatnimi pogoji.Razmislite o nekaterih izmed njih.
predpostavimo, da je koeficient enaka 0. To pomeni, da je ravnina vzporedna določena os Ox.V tem primeru spremeniti obliko enačbe: Vu + cz + D = 0.
podobno obliko enačbe bo spremenilo in pod naslednjimi pogoji:
- prvič, ko B = 0, potem enačba spremembe Ax + cz + D = 0, ki bi kazali na vzporedna z osjo y.
- Drugič, če je C = 0, enačba se preoblikuje v Ax + By + D = 0, se bo govorilo o vzporedno z vnaprej določeno os Oz.
- Tretjič, ko je D = 0, bi enačba izgledal Ax + By + Cz = 0, kar bi pomenilo, da je ravnina seka O (izvora).
- Četrtič, če je A = B = 0, potem enačba spremembe CZ + D = 0, ki se bodo izkazali kot vzporedno Kisikovi.
- Petič, če B = C = 0, enačba postane Ax + D = 0, kar pomeni, da je ravnina vzporedna Oyz.
- Šestič, če je A = C = 0, enačba ima obliko Vu + D = 0, potem pa bo vzporedno s poročilom Oxz.Tip enačbe
v oddelkih
V primeru, B, C, D je število drugačen od nič, oblika enačbe (0) so lahko naslednji:
x / a + y / b + z / A= 1,
kjer je A = D / A, b = -D / b, c = -D / C.
Get enačbo rezultat ravnine v kosih.Opozoriti je treba, da bo ta ravnina seka osi Ox na koordinatah (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) in Oz - (0,0, S).
Glede na enačbo x / a + y / b + z / c = 1, to je enostavno vizualizirati umestitev ravnini glede na dani koordinatni sistem.
koordinate normalni vektor
normalna vektorja N, na ravni P ima koordinate, ki so koeficienti splošne enačbe ravnino, torej n (A, B, C).
Za določitev koordinat normalnega n, je dovolj, da vem, splošno enačbo dano ravnino.
Pri uporabi enačb v segmentih, ki ima obliko x / a + y / b + z / c = 1, kot pri uporabi splošne enačbe lahko zapišemo koordinate normalnem vektorja v ravnino: (1 / a + 1 / b +1 / s).
omeniti, da je normalno, vektor pomaga pri reševanju različnih težav.Najpogostejši so problemi, je dokaz pravokotnih ali vzporednih ravninah, je naloga iskanju kote med ravnin in kotov med ravninami in linij.
pogled letalo enačba skladu s koordinatami točke in normalni vektor
neniceln vektor n, pravokotna na dano ravnino, imenovano normalno (normalno) za dano ravnino.
domnevati, da je koordinatni prostor (pravokotni koordinatni sistem) Oxyz vprašal:
- Mₒ točko s koordinatami (hₒ, uₒ, zₒ);
- nič vektor n = A * i + j + B, C * k.
potrebno narediti enačbo ravnine, ki poteka skozi točko, ki je pravokotna na normalno Mₒ n.V prostoru
izberete katerokoli poljubno točko in dovolite ji M (x y, z).Naj radij vektor po kateremkoli točko M (x, y, z) je r = x * i + y * j + z * k in radij vektor točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Bistvo M pripada določeni ravnini, če je vektor, ki je pravokotna na vektor MₒM n.Pišemo stanje ortogonalnosti s pomočjo skalarnim produktom:
[MₒM, n] = 0.
Ker MₒM = r-rₒ bo vektorska enačba ravnine videti takole:
[R - rₒ, N] = 0.
Ta enačba ima lahko drugačno obliko.Za ta namen, z lastnostmi skalarni produkt in preoblikovanega levi strani enačbe.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Če [rₒ, n] označena kot s, dobimo naslednjo enačbo: [R, n] - C = 0 ali [p, n] = S, ki izraža doslednost projekcije na normalni vektor radija vektorjev danega točk, ki pripadajo ravnino.
Sedaj lahko dobite vrsta snemanja usklajevati našo ravnino vektorsko enačbo [R - rₒ, n] = 0. Ker je r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kin n = A * i + j + B, C * k, imamo:
izkaže, tvorjen v našem enačbo ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na normalne n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Vrsta ravnino enačbi po koordinat dveh točk in vektor collinearni ravnino
opredeliti dve točki M "(X ', Y', Z ') in M' (x", y ", Z"), kot tudi vektor(A ', A "in ‴).
Sedaj lahko enačijo dano ravnino, ki bo potekala v okviru obstoječih točk M 'in M ", kakor tudi kateri koli točki M s koordinatami (x, y, z) vzporedno dani vektor.
Ta M'M vektorji {x, x ', y, y'; zz '} in M «M = {x" -X', Y "y", z "-Z '} mora biti v isti ravninivektor = (a ', A ", A ‴), in da je sredstvo (M'M, M' M, a) = 0.
Torej bi naša enačba ravnine v prostoru videti takole:
tip enačbo ravnine, ki seka tri točke
Recimo, da imamo tri točke (x ', y', z '), (x', y"Z") (x ‴ So ‴, z ‴), ki ne sodijo v isti liniji.Treba je napisati enačbo ravnine, ki poteka skozi navedenih treh točkah.Teorija geometrije trdi, da je ta vrsta ravnini ne obstaja, to je samo ena in edina.Ker ta ravnina seka točko (X ', Y', Z '), oblika njene enačbe je, kot sledi:
Tu A, B in C so različni od nič istočasno.Tudi glede ravnina seka dve točki (X ', Y', Z ') in (x ‴ So ‴, z ‴).V bi bilo treba ta povezava izvajajo tovrstne pogoje:
Zdaj bomo lahko ustvarili enoten sistem enačb (linearni) z neznankami u, v, w:
v našem primeru, x, y ali z pojavi poljubno točko, ki izpolnjujeEnačba (1).Če upoštevamo enačbi (1) in sistem enačb (2) in (3), sistem enačb je prikazano na sliki zgoraj, vektorskih izpolnjuje N (A, B, C), ki ni enostavna.To je zato, ker je determinanta sistema enaka nič.
enačba (1), ki smo jih dobili, je to enačba ravnine.Po 3. točki ona res gre, in to je enostavno preveriti.Da bi to naredili, razgradimo determinanto elementov, ki se nahajajo v prvi vrsti.Obstoječih lastnosti determinante to pomeni, da je naš ravnina hkrati trije križi prvotno dani točki (X ', Y', Z '), (x', Y ', Z'), (x ‴ So ‴, z ‴).Zato smo se odločili, da pred nami.
loma krila kot med ravninama
loma krila kotnih je prostorski geometrijska oblika je nastala z dvema polovičnih letal, ki prihajajo iz iste linije.Z drugimi besedami, ta del prostora, ki je omejen na razpolovno ravnino.
Recimo, da imamo dve letali z naslednjimi enačbami:
Vemo, da so vektorji N = (A, B, C) in N¹ = (A¹, H¹, S¹) glede na niz pravokotnih ravninah.V zvezi s tem je kot φ med vektorji N in N¹ enaka kot (loma krila), ki se nahaja med temi ravninah.Skalarno izdelek je podana z:
NN¹ = | N || N¹ | fazne,
ravno zaradi
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
je dovolj, da menijo, da 0≤φ≤π.
pravzaprav dveh ravnin, ki sekajo v dva kota (diedrsko): φ1 in φ2.Znesek je enaka njihovi Õ (φ1 + φ2 = Õ).Kot je za svoje Kosinus, njihove absolutne vrednosti so enake, vendar so različni znaki, da je, cos φ1 = -cos φ2.Če v enačbi (0) se nadomesti z A, B in C -A, -B in -C zaporedju, enačbe, dobimo, bo določil isti ravnini, le kot φ v enačbi fazne = NN1 / | N|| N1 | bodo nadomestili s p-φ.
enačba pravokotna na ravnino, pravokotno na
imenuje ravnino, med katerim se je pod kotom 90 stopinj.Uporaba gradiva zgoraj predstavljeno najdemo enačbo ravnini pravokotni na drugo.Recimo, da imamo dve letali: Ax + By + Cz + D = 0 in A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Lahko rečemo, da so pravokotno če cosφ = 0.To pomeni, da AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
enačba vzporedna ravnina
Parallel imenuje dve letali, ki ne vsebujejo skupnih točk.
pogoj vzporednih ravnin (njihove enačbe so enaki kot v prejšnjem odstavku) je, da je vektor N in N¹, ki jim je pravokotna, kolinearni.To pomeni, da se uporabljajo naslednji pogoji sorazmernosti:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Če so izpolnjeni pogoji sorazmernosti razširjena - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
to kaže, da je podatkovni ravnini enako.To pomeni, da enačba Ax + S + CZ + D = 0 in + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 opisujejo sami ravnini.
oddaljenost od ravnine od točke
Recimo, da imamo ravnina P, ki je podana z enačbo (0).Treba je najti svojo razdaljo od točke s koordinatami (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Če želite to narediti, boste morali, da bi enačbo ravnine P v običajni obliki:
(ρ, v) = P (r≥0).
V tem primeru ρ (x, y, z) je polmer vektor našega točki Q, ki se nahaja na n, P - je pravokotna razdalja P, ki je bil zaključen od ničelne točke, proti - je vektor enota, ki se nahaja v smeri.
razlika ρ-ρº radij vektor v točki Q = (x, y, z), ki je v lasti P in radij vektor dane točke Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) je tak vektor, absolutna vrednostkaterih projekcije, ki jih proti enaka d razdalja, ki je potrebna, da bi našli od Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, vendar
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = P (ρ0, v).
Izkazalo se je,
d = | (ρ0, v) p |.
zdaj videti, da izračun d oddaljenost od Q0 na ravnino P, morate uporabiti normalno obliko enačbe ravnine, prehod na levi strani reke, in zadnji kraj x, y, z nadomestek (hₒ, uₒ, zₒ).
Tako smo ugotovili, absolutno vrednost, ki izhaja izraz, ki se zahteva d.
Uporaba jezikovne nastavitve, dobimo očiten:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).
Če določena točka Q0 je na drugi strani ravnine P kot izvora, med vektorja P-ρ0 in V je topi kot, tako:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, proti) p & gt; 0.
V primeru, ko se je ustvarila kot je točka Q0 skupaj z izvorom, ki se nahaja na isti strani U akutna, da je:
d = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
Posledica tega je, da v prvem primeru (ρ0, v) & gt; p, drugi (ρ0, v) & lt; p.
tangenta letalo in njegova enačba
Kar ravnini na površino na točko kontaktnega Mº - ravnina, ki vsebuje vse možne tangente na krivuljo, narisano skozi to točko na površini.
Pri tej vrsti enačbe površinske F (x, y, z) = 0 enačbe tangentna na tangenta točke Mº v (hº, uº, zº) bi bilo videti takole:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Če izrecno navesti površina z = f (x, y), je tangentna ravnina, opisana z enačbo:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
presek dveh ravnin
v tridimenzionalnem prostoru je koordinatni sistem (pravokotni) Oxyz, saj dve letali P 'in P ", ki se prekrivajo in niso enake.Ker koli ravnini, ki je v obliki pravokotnika koordinatni sistem je definiran v splošni enačbi, predpostavimo, da n 'in n "so podani z enačbami A'x + + V'u S'z + D' = 0 in A" x + B "y +z "D + z" = 0.V tem primeru imamo normalne n '(A', B ', C') ravnine P 'in normalno n' (A ', B', C ') na ravni P ".Ker se naša ravnina ni vzporedna in ne sovpadata, so ti vektorji ne kolinearni.Uporaba jezika matematike, imamo ta pogoj lahko zapišemo kot: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * V «, λ * C"), λεR.Naj ravno črto, ki leži na stičišču P 'in P ", bo označena s črko A, v tem primeru je a = n' ∩ P".
a - to je neposredna, ki sestoji iz niza točk (splošno) ravnine P 'in P ".To pomeni, da koordinate nobeni točki, ki spada v linijo in morajo hkrati izpolnjevati enačbo A'x + + V'u S'z + D '= 0 in "x + B" y + C "z + D" = 0.Potem bodo koordinate točke je zlasti rešitev naslednjih enačb:
Posledica tega je, da bo odločitev (General) sistema enačb določitev koordinat vsake točke linije, ki bo presečišču P "in P", in da se ugotovi neposredna inv koordinatni sistem Oxyz (pravokotni) prostora.
