Ena od temeljnih vej matematične analize je integralni račun.Zajema področje predmetov, kjer je prvi široko - je nedoločeni integral.Položaj je kot ključno je, da se že v srednji šoli razkriva vse več možnosti in priložnosti, ki opisuje višje matematike.
videz
Na prvi pogled se zdi povsem sestavni del moderne, lokalno, v praksi pa se je izkazalo, da se je pojavil leta 1800 pred našim štetjem.Domovina se uradno šteje Egipt saj niso preživeli prejšnje dokaze o njegovem obstoju.Prav zaradi pomanjkanja informacij, obenem pa namesti preprosto kot fenomen.To še enkrat potrjuje raven znanstvenega razvoja narodov teh časih.Nazadnje je bilo ugotovljeno, spise grških matematikov, ki datira iz 4. stoletja pred našim štetjem.Opisujejo metodo, kjer je bila nedoločeni integral, katere bistvo najti glasnost ali območje ukrivljene oblike (tridimenzionalna in dvodimenzionalno ravnino, v tem zaporedju).Načelo izračuna, ki temelji na delitvi originalnih slika neskončno komponent, pod pogojem, da se je obseg (območje) že znana.Sčasoma metoda je zrasel, Arhimed ga uporablja, da bi našli območje parabola.Podobne izračuni ob istem času, in izvaja vaje v starodavni Kitajski, kjer so bili povsem neodvisni od grškega kolega znanosti.
Development
naslednji preboj v XI stoletju pred našim štetjem je postalo delo arabskega znanstvenika "vagon" Abu Ali al-Basri, ki je potisnil meje že znano, so pridobljeni iz integralnega formulo za izračun vsote zneskov in stopenj od prvega doČetrtič, uporabljajo za to vemo metodo matematične indukcije.
glavah danes občudujemo, kako stari Egipčani ustvarili neverjetne spomenike brez posebnih orodij, z morebitno izjemo njegovih rokah, vendar ni moč uma znanstveniki tistega časa nič manj čudež?V primerjavi s sedanjim časom življenja zdi skoraj primitivna, vendar je odločitev nedoločenih integralov sklepati povsod in se uporabljajo v praksi za nadaljnji razvoj.
Naslednji korak je prišlo v XVI stoletju, ko je italijanski matematik prinesel Cavalieri metodo indivisibles, ki je pobral Pierre de Fermat.Ti dve osebnosti postavil temelje za sodobno integral calculus, ki je znana po tem trenutku.So vezani koncepte diferenciacije in integracije, ki so bile prej dojemamo kot samostojne enote.Na splošno je bila matematika tistega časa razblinili, sklepi delcev obstajajo sami po sebi, z omejenim obsegom.Način združevanja in iskanju skupnih izhodišč je bil res samo v trenutku, zahvaljujoč njemu, sodobna matematična analiza imeli priložnost za rast in razvoj.
S časom vse spremeni, in zapis o integral kot dobro.Na splošno, so znanstveniki jo imenujejo na svoj način, na primer, Newton uporablja peto ikono, ki je dal tudi integrabilna funkcija, ali pa preprosto skupaj.Ta razlika je trajala do XVII stoletja, ko je mejnik za celotno teorijo matematične analize znanstvenika Gottfried Leibniz predstavil kot simbol znano za nas.Podolgovate "S" se dejansko ne temelji na tem črko abecede, kar predstavlja vsoto primitivcev.Ime integral je bil zaradi Jacob Bernoulli, po 15 letih.
formalna definicija nedoločen integral odvisen od opredelitve primitivni, zato menijo, da je na prvem mestu.
Primitivni - to je funkcija inverzna derivata, v praksi se imenuje primitivno.Z drugimi besedami: primitivna funkcija D - je funkcija D, je derivat je enaka V & lt; = & gt;V '= V.Iskanje primitivni pomeni, da je izračun od nedoločeni integral, in proces se imenuje povezovanje.
Primer:
funkcija S (y) = y3, in njegove primitivne S (y) = (y4 / 4).
množica vseh gradnikov v funkciji - to je nedoločeni integral, je označena kot sledi: ∫v (x) dx.
Ker je V (x) - To so nekatere od prvotne primitivne funkcije, imamo izraz: ∫v (x) dx = V (x) + C, kjer je C - konstanta.Pod samovoljno konstante pomeni katerokoli konstantno, saj je njen derivat je nič.
Lastnosti
lastnosti, ki so za nedoločen integral, ki temeljijo na opredelitvah in lastnostih derivatov.
Razmislite ključne točke:
- sestavni derivat primitivni sama primitivna, plus poljubna konstanta C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- derivat integral funkcije je prvotna funkcija & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstantna odstrani iz integralnega znaka & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kjer je k - je pristransko;
- integral, ki je vzet iz vsote identično enak vsoti integralov & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Zadnji dve lastnosti lahko sklepamo, da je nedoločeni integral linearna.Zaradi tega imamo: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Utrditi upoštevajo primere rešitev nedoločenega integrala.
potrebno najti sestavni ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Iz primer lahko sklepamo, da ne veste, kako ravnati z nedoločeno integralov?Samo najti vse primitivnih!Ampak iskanje načeli obravnavana v nadaljevanju.
metode in primeri
Da bi rešili integral, lahko zatečejo na naslednje načine:
- miza pripravljena za uporabo;
- integracijo po delih;
- integriran z zamenjavo spremenljivke;
- naselje v znamenju razlike.
mize
najlažji in prijeten način.V tem trenutku, lahko matematična analiza pohvali precej obsežne tabele, ki so napisane iz osnovne formule nedoločenih integralov.Z drugimi besedami, obstajajo vzorci, pridobljeni z vami in vam lahko samo izkoristijo njih.Tukaj je seznam osnovnih položajev mizo, ki lahko prikazujejo skoraj vsak primerek, ki ima rešitev:
- ∫0dy = C, kjer je C - konstanta;
- ∫dy = y + C, kjer je C - konstanta;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, pri čemer C - konstantno, in n - se razlikuje od števila enot;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kjer je C - konstanta;
- ∫eydy = ey + C, kjer je C - konstanta;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, kjer je C - konstanta;
- ∫cosydy = siny + C, kjer je C - konstanta;
- ∫sinydy = -cosy + C, kjer je C - konstanta;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, kjer je C - konstanta;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, kjer je C - konstanta;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, kjer je C - konstanta;
- ∫chydy = sramežljiv + C, kjer je C - konstanta;
- ∫shydy = chy + C, kjer je C - konstanta.
Če želite nekaj korakih pripelje integrand pogled tabelarični in uživajte zmago.Primer: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Po sklepu je jasno, da za mizoPrimer integrand nima multiplikator 5. smo jo dodali vzporedno s to pomnožimo z 1/5 do splošnih izražanja ni spremenila.
Integracija s Parts
Razmislite dve funkciji - Ž (y) in X (Y).Morajo biti nenehno odvedljiva na svoji domeni.Kot eden izmed lastnosti diferenciacije imajo: d (XZ) + = xdz ZDX.Povezovanje obeh straneh, smo dobili: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
pisanje dobljeno enačbo, dobimo formulo, ki opisuje metodo integracije po delih: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Zakaj je to potrebno?Dejstvo, da lahko nekaj primerov poenostavi Relativno zmanjšanje ∫zdx ∫xdz, če je ta blizu tabeli.Prav tako se lahko ta formula se uporablja več kot enkrat, za optimalne rezultate.
Kako rešiti nedoločenega integrala na ta način:
- potrebno izračunati ∫ (i + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = i + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((S + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((i + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;
- mora izračunati ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = S (LNS-1) + C.
Zamenjava spremenljivka
To načelo odločitev nedoločenih integralov povpraševanja ni manjša od prejšnjih dveh, čeprav zapleten.Postopek je naslednji: Naj V (x) - integral določene funkcije v (x).V primeru, da je sama po sebi sestavni ulova slozhnosochinenny primer verjetno zmedeni in pojdite na napačnih rešitev.Da bi se temu izognili, se izvaja prehod od spremenljivke x na Z, v kateri je splošni izraz vizualno poenostavljenih ob ohranjanju zv odvisnosti od x.
V matematičnem jeziku je, kot sledi: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), kjer je x =y (z) - zamenjavo.In seveda funkcija inverzna z = y-1 (x) je podrobno opisana razmerja in razmerje med spremenljivkami.Pomembno - razlika dx nujno nadomestiti z novim diferencialno DZ, saj je sprememba spremenljivke v nedoločen integral vključuje ga nadomešča povsod, ne samo v integrand.
Primer:
- morali najti ∫ (i + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
uporabljajo substitucijo z = (i + 1) / (s2 + 2s-5).Potem 2sds = dz = 2 + 2 (i + 1) ds & lt; = & gt;(y + 1) = ds dz / 2.Kot rezultat, naslednji izražanja, ki je zelo enostavno izračunati:
∫ (i + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2S-5 | + C;
- morali najti sestavni ∫2sesdx
Za reševanje reportaža izraz v naslednji obliki:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
označujejo = 2e (nadomešča argument ta korak ni, je še vedno je), daje naš videz zapletena, sestavni osnovni obliki tabele:
∫ (2e) sds = ∫asds = kot / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Wrap v znamenju razlik
Na splošno te metodenedoločeno integrale - brat dvojček načela spremembo spremenljivke, vendar obstajajo razlike v postopku registracije.Razmislite podrobnosti.
Če ∫v (x) dx = V (x) + C in y = z (x), nato ∫v (y) dy = V (y) + C.
Ne smemo pozabiti na trivialnih integralske transformacije, medkjer je:
- dx = d (x + a), in pri čemer - je vsak konstantna;
- dx = (1 a /) d (ax + b), kjer je - konstantna enkrat, vendar niso nič;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Če menimo, da je splošni primer, ko smo izračun nedoločeni integral, se lahko primeri, vložene na podlagi splošno formulo w '(x) dx = dw (x).
Primeri:
- morali najti ∫ (2s + 3) 2ds, ds = 1 / 2D (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) + 2 ° C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.
Spletna pomoč
V nekaterih primerih je napaka, ki je lahko ali lenobe, ali nujna potreba, lahko uporabiteSpletne nasvete, ali bolje, da uporabite kalkulator nedoločne integralov.Kljub navidezni zapletenosti in sporno naravo integralov, njihova odločitev je predmet določenem algoritmu, ki temelji na načelu "če ne ... potem pa ...".
Seveda, zelo zapleteni primeri tega kalkulatorja ne bodo obvladali, saj obstajajo primeri, v katerih ima odločitev, da bi našli umetno "prisiljeni" z uvedbo nekaterih elementov v procesu, saj rezultat ni očitnih načinov za doseganje.Kljub kontroverznim narave te izjave, je res, kot matematika, načeloma abstraktna znanost, in njegov glavni cilj, meni, da je treba razširiti meje možnosti.Dejansko, za gladko teči-in teorij je zelo težko, da se premaknete navzgor in razvijajo, zato ne domneva, da primeri rešitev nedoločenih integralov, ki nam je dal - to je višina možnosti.Ampak nazaj na tehnično plat stvari.Vsaj preveriti izračune, ki jih lahko uporabite storitev, v katerem je jasno navedeno, da nas.Če obstaja potreba za avtomatsko izračun kompleksnih izrazov, potem nimajo zateči k resnejše programske opreme.Potrebno je paziti predvsem na okolje Matlab.Odločanja
Application
neomejene integrale na prvi pogled zdi popolnoma ločiti od realnosti, ker je težko videti očitnega uporabo ravnine.Dejansko je njihova uporaba kjerkoli neposredno nemogoče, vendar pa se zdi potrebno vmesni element v procesu umika raztopin, ki se uporabljajo v praksi.Torej, nazaj k integraciji diferenciacije, s čimer dejavno sodeluje v procesu reševanja enačb.
V zameno, te enačbe imajo neposreden vpliv na odločitev mehanskega problema, izračun trajektorij in toplotne prevodnosti - skratka, vse, kar predstavlja sedanjost in oblikuje prihodnost.V nedoločeni integral, primeri, ki smo menili, zgoraj, le nepomembno na prvi pogled, kot osnovo za izvedbo več in več novih odkritij.
