-Line - är ett specialfall av en fyrsiding som har ett par parallella sidor är.Uttrycket "Keystone" härstammar från det grekiska ordet τράπεζα, som betyder "bord", "bord".I denna artikel kommer vi överväga vilka typer av trapets och dess egenskaper.Dessutom tittar vi på hur man beräknar de enskilda elementen i den geometriska figuren.Till exempel, diagonalen av en liksidig trapets, mittlinjen, område, och andra. Materialet presenteras i stil med den populära elementär geometri, t. E. I en lättillgänglig form.
General
Låt oss först förstå vad fyrhörningen.Denna figur är ett specialfall av en polygon med fyra sidor och fyra hörn.Två hörn av fyrhörningen som inte ligger intill kallas motsatta.Detsamma kan sägas om de två icke-intilliggande sidor.De vanligaste typerna av quadrangles - en parallellogram, rektangel, diamant, fyrkant, trapets och delta.
Så tillbaka till trapets.Som vi har sagt, denna siffra de två sidorna är parallella.De kallas baser.De andra två (icke-parallella) - sidorna.Materialen i de olika undersökningar och undersökningar ofta kan du hitta de uppgifter som är förknippade med trapetser vars lösning kräver ofta studentens kunskaper, inte tillhandahålls av programmet.Skolan geometri Kursen introducerar studenterna till egenskaperna hos vinklar och diagonaler, och mittlinjen av en likbent trapets.Men andra än den som avses en geometrisk figur har andra funktioner.Men om dem senare ...
trapets
Typer Det finns många typer av denna siffra.Men de flesta överens om att överväga två av dem - likbent och rektangulär.
1. Rektangulära Trapezoid - en siffra som har en av sidorna i rät vinkel mot basen.Hon har två vinklar är alltid lika med nittio grader.
2. likbent trapets - en geometrisk figur vars sidor är lika.Och det innebär, och vinklarna på basparen är också lika.
viktigaste principerna för metoder för att studera egenskaperna hos trapetsen
till de grundläggande principerna omfattar användningen av så kallade uppgift strategi.I själva verket finns det ingen anledning att inleda en teoretisk kurs geometri nya egenskaper hos denna siffra.De kan vara öppen eller i färd med att formulera de olika uppgifterna (bättre system).Det är mycket viktigt att läraren vet vilka uppgifter du behöver för att sätta framför studenter i ett givet ögonblick av utbildningsprocessen.Dessutom kan varje fastighet trapets framställas som en viktig uppgift i arbetet.
Den andra principen är den så kallade spiral organisation av studien "anmärkningsvärt" egendom trapets.Detta innebär en återgång till arbetet med att lära sig att de enskilda funktionerna i den geometriska figuren.Sålunda är det lättare för studenter att komma ihåg dem.Till exempel fyra egenskapspunkter.Det kan bevisas som i studien av likhet, och därefter med användning av vektorerna.Och lika trianglar intill sidorna av figuren, är det möjligt att bevisa med hjälp av inte bara egenskaperna hos trianglar med samma höjd, som utförs åt sidorna, som ligger på en rak linje, men också genom formeln S = 1/2 (ab * sinα).Dessutom är det möjligt att räkna ut Sinussatsen inskrivna på en trapets eller en rätvinklig triangel beskrivs på trapets, och så vidare D.
användning av "extracurricular" presenterar en geometrisk figur i innehållet i skol naturligtvis -. Tasking är tekniken för deras undervisning.Konstant hänvisning att studera egenskaperna hos passagen av den andra tillåter eleverna lär sig djupt trapets och säkerställer framgången för uppgiften.Så går vi till studiet av denna märkliga figur.
delar och egenskaper hos en likbent trapets
Som vi har noterat i detta geometrisk figur sidorna är lika.Ändå är det känt som en rättighet trapetsoid.Och vad är hon så anmärkningsvärt och varför fick sitt namn?Särdragen i denna siffra är att hon är lika inte bara sidor och vinklar på baserna, men också diagonalt.Dessutom är lika med 360 grader vinklarna hos en likbent trapets.Men det är inte allt!Av alla de likbenta trapetsoiderna endast runt en cirkel kan beskrivas.Detta beror på det faktum att summan av motsatta vinklar i figuren är 180 grader, men endast under ett sådant tillstånd kan beskrivas med en cirkel runt quad.Följande egenskaper hos geometriska figurer anses att avståndet från toppen av basen motsatt projektionen av vertex på en rak linje, som innehåller denna bas kommer att vara lika med mittlinjen.
Nu ska vi titta på hur man hittar hörnen av en likbent trapets.Betrakta fallet med lösningar på detta problem, förutsatt att de kända dimensionerna för sidorna av figuren.
beslut
vanligtvis rektangel betecknas med bokstäverna A, B, C, D, där BC och AD - en stiftelse.De likbent trapets sidor är lika.Vi antar att X är lika med deras storlek, och storleken av basen är Y och Z (mindre och större, respektive).För beräkning av vinkeln av behovet att spendera i höjden H. Resultatet är en rätvinklig triangel ABN, där AB - hypotenusan och BN och AN - benen är.Vi beräknar storleken på benet AN: Med mindre anledning att ta bort och dividera resultatet med 2. Vi skriver som en formel: (ZY) / 2 = F. Nu, för beräkning av den spetsiga vinkeln av triangeln vi använder funktionen cos.Vi får följande post: cos (β) = X / F.Nu beräknar vi vinkeln: β = Arcos (X / F).Vidare vet ett hörn, kan vi bestämma den andra, för tillverkning av grundläggande aritmetisk operation: 180 - β.Alla vinklar är definierade.
Det finns en andra lösning på detta problem.I början vi utelämnar från hörn för att beräkna värdet av höjden H. benet BN.Vi vet att kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna på benen.Få: BN = √ (X2 F2).Nästa använder vi trigonometriska funktionen tg.Resultatet är: β = arctg (BN / F).Spetsig vinkel hittades.Nästa, definierar vi en trubbig vinkel som liknar den första metoden.
fastighets diagonaler av en likbent trapets
skriva de fyra första regler.Om diagonalen i en likbent trapets vinkelrät, sedan:
- höjden av figuren är summan av baserna, dividerat med två;
- dess höjd och mittlinjen är lika;
- arean av en parallelltrapets är lika med kvadraten på höjden (mittlinjen, halva summan av baserna);
- diagonal torget är halva summan av kvadraten av baser eller två gånger kvadraten på mittlinjen (höjd).
Nu anser formeln bestämma diagonalen av en liksidig trapets.Denna bit av information kan delas upp i fyra delar:
1. Formel längd diagonalt över henne.
accepterat att A - lägre bas, B - övre C - lika sidor, D - diagonalen.I detta fall kan längden bestämmas enligt följande:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Formel diagonala längd cosinus.
accepterat att A - lägre bas, B - övre C - lika sidor, D - diagonal, α (längst ned till basen) och β (den övre bas) - hörnen av en trapets.Vi får följande formel, med vilken du kan beräkna längden på diagonalen:
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosa);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).
3. Formel längder av diagonaler en likbent trapets.
accepterat att A - lägre bas, B - övre, D - diagonal, M - mittlinjen, H - höjd P - området av en parallelltrapets, α och β - vinkeln mellan diagonaler.Bestäm längden av följande formler:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc jämställdhet: sinα = sinβ.
4. Formel diagonalt över längden och höjden av delen.
accepterat att A - lägre bas, B - övre C - sidor, D - diagonal, H - höjd, α - vinkeln på nedre botten.
Bestäm längden av följande formler:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
delar och egenskaper hos rektangulär trapets
Låt oss se vad detta är intressanta geometriska former.Som vi har sagt, vi har en rektangulär trapetsoid två räta vinklar.
Förutom den klassiska definitionen, det finns andra.Till exempel, en rektangulär trapets - en sida är en trapetsoid, vinkelrätt mot substraten.Eller former som har åtminsidovinklar.I denna typ av trapetser höjd är den sida som är vinkelrät mot baserna.Mittlinjen - ett segment som förbinder mittpunkterna i de två sidorna.Egenskapen att nämnda element är att den är parallell med baserna, och är lika med halv av deras summa.
Låt oss nu betrakta de grundläggande formler som definierar de geometriska formerna.För att göra detta har vi antar att A och B - bas;C (vinkelrät mot basen) och D - den del av den rektangulära trapets, M - mittlinjen, α - en spetsig vinkel, P - område.
1. sidan, vinkelrät mot basen, en siffra som är lika med höjden (C = N), och är lika med längden på den andra sido A och sinus för vinkeln α vid en högre bas (C = En * sinα).Dessutom är det lika med produkten av tangenten av den spetsiga vinkeln α och skillnaden i baser: C = (A-B) * tgα.
2. sidan av D (inte är vinkelrät mot basen) är lika med skillnaden mellan det privata och B och cosinus (α) en spetsig vinkel eller ett privat siffra höjd H och sinus spetsig vinkel: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. Den sida som är vinkelrät mot basen lika med kvadratroten ur skillnaden mellan kvadrat D - andra sida - och kvadraten av skillnaden mellan baserna:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. part En rektangulär parallelltrapets är lika med kvadratroten av summan av kvadraten av sido C och skillnaden mellan de kvadratiska baser geometriska former: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Den sida av C är lika med kvoten av summan av dubbla området för dess grunder: C = P / M = 2n / (A + B).
6. område som fastställs genom produkt M (mittlinjen av en rektangulär trapets) till höjden eller sidan, vinkelrät mot basen: P = M = M * N * C.
7. part C är lika med kvoten av dubbelt området figuren i arbetet i sinus spetsig vinkel och summan av dess baser: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formel sidan av den rektangulära trapets över dess diagonala och vinkeln mellan dem:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
där D1 och D2 - diagonal trapetsoiden;α och β - vinkeln mellan dem.
9. Formel sida genom ett hörn i den nedre basen och de andra partierna: D = (A-B) / cosa = C / sinα = N / sinα.
Sedan trapetsen med en rät vinkel är ett specialfall av trapetsoiden, kommer de andra formler som bestämmer dessa siffror träffas och rektangulära.
Properties inskriven cirkel
Om tillståndet sägs att i en rektangulär trapets inskriven cirkel, kan du använda följande egenskaper:
- summan av baserna är summan av sidorna;
- avståndet från toppen av en rektangulär form till kontaktpunkterna av den inskrivna cirkeln är alltid lika;
- lika med höjden av trapets sidan, vinkelrätt mot basen, och är lika med diametern på den cirkel,
- mitten av cirkeln är den punkt där skär bisectors av vinklarna,
- om sido är uppdelad i segment av kontaktpunkten H och M, då radien av cirkeln är lika med kvadratroten ur produkten av dessa segment;
- fyrkant, som utgjorde kontaktpunkterna, spets trapetsen och centrum av den inskrivna cirkeln - en kvadrat vars sida är lika med radien;
- området i figuren är lika med produkten av halvsummor och grunder på sin höjd.
Liknande trapets
Detta ämne är mycket användbar för att studera egenskaperna hos geometriska figurer.Exempelvis diagonalt uppdelad trapets i fyra trianglar, och intill baserna är likartade, och åt sidorna - vid lika.Detta uttalande kan kallas en egenskap hos trianglar, som är trasiga trapets dess diagonaler.Den första delen av detta påstående bevisas av en uppgift om likhet i de båda hörnen.För att bevisa den andra delen är bättre att använda metoden nedan.
Beviset
accepterat att siffran ABSD (AD och BC - grunden för trapetsen) är brutna diagonal HP- och AC.Skärningspunkten - O. Vi får fyra trianglar: AOC - på nedre botten, BOS - vid den övre basen, ABO och SOD på sidorna.Trianglar SOD och biofeedback har en gemensam höjd i så fall, om segmenten CD- och OD är deras baser.Vi finner att skillnaden i deras områden (P) är lika med skillnaden mellan dessa segment: PBOS / pSOD = BO / ML = K. Därför pSOD PBOS = / K.På samma sätt trianglar AOB och biofeedback har en gemensam höjd.Vi accepterar deras bassegmenten SB och OA.Få PBOS / PAOB = CO / OA = K och PAOB PBOS = / K.Av detta följer att pSOD = PAOB.
att konsolidera materialet rekommenderas för studenter att hitta ett samband mellan de områden av trianglar som erhållits, vilket är bruten trapets dess diagonaler, beslutar nästa uppgift.Det är känt att trianglar BIM och ADP områden är lika, är det nödvändigt att hitta ett område i en trapets.Eftersom pSOD = PAOB, sedan PABSD PBOS + = PAOD 2 * pSOD.Från likheten mellan trianglar BIM och ADP följer att CP / OD = √ (PBOS / PAOD).Följaktligen PBOS / pSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Få pSOD = √ (* PBOS PAOD).Då PABSD PBOS + = PAOD 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properties likhet
fortsätter att utveckla detta tema, kan du bevisa andra intressanta funktioner i trapezoids.Således, med hjälp av likheten kan bevisa egenskapen sektion som passerar genom punkten som bildas av skärningen av diagonaler denna geometriska figur, parallellt med basen.För att göra detta kommer att lösa följande problem: du behöver för att hitta längden på segment av RK, som passerar genom punkten O. Från likheten mellan trianglar ADP och biofeedback följer att AO / OS = BP / BS.Från likheten mellan trianglar ADP och ASB följer att AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Detta innebär att PO = BS * BP / (BS + BP).På samma sätt, från likheten av trianglar MLC och DBS följer att OK = BS * BP / (BS + BP).Detta innebär att PO = OK och RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segmentet går genom skärningspunkten för diagonaler, parallellt med basen och som förbinder de två sidorna av det uppdelade skärningspunkten mellan två.Dess längd - är det harmoniska medelvärdet av grunderna för figuren.
Tänk dig följande kvalitetstrapets, som kallas egendom fyra poäng.Skärningspunkterna av diagonaler (D), korsningarna fortsätter sidorna (E) och den mellersta bas (T och G) ligger alltid på samma linje.Detta är lätt bevisas av likheten.Dessa trianglar BES och AED är likartade, och i vart och ett av dem, och median ET igelkotten dela spetsvinkeln E i lika delar.Därför punkten E, T och F är collinear.Likaledes på samma rad är anordnade i form av T, D och G. Detta följer av de likartade trianglar BIM och ADP.Därför drar vi slutsatsen att alla fyra punkter - E, T, G och H - ligga på en rak linje.
Med användning av liknande trapetser, kan erbjudas till studenter för att hitta längden av segmentet (LF), som delar sig i två liknande siffra.Detta segment måste vara parallell med baserna.Eftersom erhållna trapets ALFD och LBSF är likartade, BS / LF = LF / AD.Detta innebär att LF = √ (BS * BP).Vi finner att det segment som bryter ut som en trapetsoid i två, har en längd som är lika med den geometriska medellängden för bastalet.
Tänk på följande egenskap av likhet.Den är baserad på det segment, som delar trapetsoiden i två lika stora bitar.Vi accepterar att Keystone ABSD SV segment är uppdelad i två liknande.Från toppen av B sänks höjden hos det segmentet är delad i två delar EN - B1 och B2.Vi får PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + SV) * B2 / 2 och PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Nästa vi komponera systemet, som är den första ekvationen (BS EN +) * B1 = (Ag + SV) * B2 och andra (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Av detta följer att B2 / B1 = (BS EH +) / (ad + EH) och BS EN ^ = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Vi finner att längden av segmentet, dividera trapetsen i två lika stora, lika med det genomsnittliga kvadratiska längden av basen: √ ((BS2 + w2) / 2).
Slutsatser likheten
Sålunda har vi visat att:
1. segmentet som förbinder mitten av trapetsen vid sidorna, som är parallella med AD och BC och är lika med den genomsnittliga BC och AD (längden av basen av den trapetsformade).
2. Den linje som går genom skärningspunkten av parallella diagonaler AD och BC kommer att vara lika med det harmoniska medelvärdet BP siffror och BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Klipp, bryta på trapets som har en längd av det geometriska medelvärdet av baserna BC och AD.
4. Element som delar figuren i två lika stora, har en längd av genomsnittliga kvadrat antal AD och BC.
att konsolidera materialet och förståelse av sambanden mellan segmenten av studenten är nödvändigt att bygga dem för en viss trapets.Vad betyder det här?
