ges en enkel funktion från trigonometri = Sin (x) är deriverbar överallt i hela domänen.Det är nödvändigt att visa att derivatan av sinus för något argument är cosinus för samma vinkel, det vill säga '= cos (x).
bevis grundar sig på definitionen av derivat
Definiera x (godtyckligt) i en liten stadsdel i en viss punkt i Ax x0.Vi visar värdet av en funktion i det, och vid punkten x för att hitta inkrementet av den angivna funktionen.Om △ x - ökning av argumentet, då ett nytt argument - är x0 + Ax = x är värdet av denna funktion vid ett givet värde av argumentet y (x) Sin (x0 + Ax), värdet av en funktion vid en specifik punkt vid (x0) är också känt.
Nu har vi Au = Sin (X0 + △ x) -sin (x0) - fick ökningsfunktionen.
Enligt formeln för sinus summan av två olika stora vinklar kommer att omvandla skillnaden Au.
Au = Sin (x0) • cos (△ x) + cos (x0) • sin (Ax) minus Sin (x0) = (cos (Ax) -1) • sin (x0) + cos (x0) • sin (△ x).
swapping av termer grupperade den första till den tredje Sin (x0), genomföres en gemensam faktor - sinus - konsolerna.Vi fick uttrycka skillnaden Cos (△ x) -1.Du ändrar tecknet av fästet och inom parentes.Att veta vad som är de 1-Cos (△ x), vi gör ändringen och få ett förenklat uttryck Au, som sedan delas av Ax.
Au / △ x är av formen: Cos (x0) • sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) • sin (x0) / △ x.Detta är förhållandet mellan ökningen funktionen antaganden ökning argument.
återstår att finna gränsen för de utväxlingar som erhålls av oss under begränsade tider △ x går mot noll.
känt att gränsen Sin (△ x) / Ax är lika med 1, för en given tillstånd.Och uttrycket 2 · SIN2 (0,5 · △ x) / △ x av den resulterande summan privata omvandling till en produkt som innehåller som första anmärkningsvärda gräns Faktor: täljaren av fraktionen och znemenatel dividera med 2, kvadraten på sine byta ut produkten.Så:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) • sin (Ax / 2).
gränsen för detta uttryck som △ x går mot noll, är antalet lika med noll (ett multiplicerat med 0).Det visar sig att gränsen för förhållandet Ay / △ x är lika med Cos (x0) · 1-0, är detta Cos (x0), ett uttryck som inte är beroende av △ x, tenderar till 0. Därav slutsatsen: derivatan av sinus av valfri vinkel x är lika med cosinus xvi skriver så: "= Cos (x).
Denna formel finns med i tabellen över kända derivat, där alla elementära funktioner
När lösa problem, där han möter derivatan av sinus, kan du använda reglerna om differentiering och färdiga formler från bordet.Till exempel, för att hitta derivatan av en enkel funktion y = 3 · Sin (x) -15.Vi använder de grundläggande reglerna för differentiering, (det är noll) avlägsnandet av den numeriska faktorn för tecken på derivatet och derivat beräkning konstant antal.Applicera tabellvärdet av derivatan av sinus för vinkeln x lika cos (x).Vi får svaret: y '= 3 · Cos (x) -O.Detta derivat, i sin tur, är också en elementär funktion y = G • cos (x).
derivat av sinus kvadrat något argument
Vid beräkning av uttrycket (sin2 (x)), måste du komma ihåg hur man skilja en komplex funktion.Så = sin2 (x) - är en exponentiell funktion som sine kvadrat.Argumentet är det också en trigonometrisk funktion, en komplicerad argumentet.Resultatet i detta fall är produkten av den första faktorn är derivatan av kvadraten på ett komplext argument och den andra - ett derivat av sinus.Här är regeln för att differentiera en funktion av en funktion: (u (v (x))) "skall (u (v (x))) '· (v (x))'.Expression v (x) - ett komplext argument (intern funktion).Om given funktion är "y är lika med sinus kvadrat x", är derivat av en sammansatt funktion y = 2 · sin (x) • cos (x).Produkten från den första faktorn är fördubblad - känt derivat av en effektfunktion, och Cos (x) - derivat av sinus av argumentet av komplexa kvadratisk funktion.Det slutliga resultatet kan omvandlas med hjälp av formeln av den trigonometriska sinus för dubbla vinkeln.A: derivatet Sin (2 · x).Denna formel är lätt att komma ihåg, är det ofta används som en tabell.
