geometriska progression är viktigt i matematik som en vetenskap, och tillämpad betydelse, eftersom den har ett mycket brett tillämpningsområde, även i högre matematik, säger, teorin om serier.Den första informationen om de framsteg som kom till oss från det gamla Egypten, särskilt i form av ett välkänt problem i Rhind papyrus sju personer med sju katter.Variationer av detta problem upprepas många gånger vid olika tidpunkter från andra nationer.Även den stora Leonardo av Pisa, mer känd som Fibonacci (XIII c.), Talade till henne i hans "Book of the kulram."
Så har en gammal historia geometrisk progression.Det är en talföljd med noll första termin och varje efterföljande start från den andra, bestäms genom att multiplicera den tidigare återkommande formeln för permanent, icke-noll nummer, som kallas nämnaren progression (det brukar betecknas med hjälp av bokstaven q).
Uppenbarligen kan det finnas genom att dividera varje efterföljande mandatperiod sekvensen till föregående, dvs två z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....Följaktligen är en uppgift för progression (Zn) tillräckligt för att veta värdet av det var den första medlemmen i y 1 och nämnare q.
exempel, låt z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), så har vi följande geometriska progression 7-28, 112-448, ....Som ni kan se, är den resulterande sekvensen inte monoton.
Minns att en godtycklig sekvens av monotona (öka / minska) när var och en av sina framtida medlemmar i mer / mindre än den tidigare.Exempelvis sekvensen 2, 5, 9, ... och -10, -100, -1000, ... - monoton, den andra av dem - minskar exponentiellt.
I de fall där q = 1, är alla medlemmar i progression erhållna lika och det kallas konstant.
Till följd var utvecklingen av den här typen, måste den uppfylla följande nödvändig och tillräcklig förutsättning, nämligen från och med andra, vart och ett av dess medlemmar bör vara det geometriska medelvärdet av angränsande medlemsstater.
här egenskapen kan under vissa två intilliggande fynd godtyckligt sikt progression.
n-te termen av en geometrisk progression är lätt att hitta formeln: zn = z 1 * q ^ (n-1), i vetskap om den första termen z 1 och nämnaren q.
Sedan den numeriska sekvensen är värt, några enkla beräkningar ger oss en formel för att beräkna summan av de första villkoren för progression, nämligen:
S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).
Byte i formeln värdet zn dess uttryck z = 1 * q ^ (n-1) för att ge en andra mängd av fortskridandet av formeln: Sn = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
värda uppmärksamhet följande intressant faktum: leran tabletten som finns i utgrävningar av forntida Babylon, som hänvisar till VI.BC innehåller anmärkningsvärt summan av 1 + 2 + 22 ... + 29 lika med 2 i den tionde makten minus 1. Förklaringen till detta fenomen inte hittas.
Vi noterar en av egenskaperna hos geometrisk progression - en ständigt arbete av dess medlemmar, fördelade på samma avstånd från ändarna av sekvensen.
särskilt viktig ur vetenskaplig synvinkel, en sådan sak som en oändlig geometrisk progression och beräkna dess belopp.Om man antar att (yn) - en geometrisk progression med en nämnare q, uppfyller villkoret | q | & lt;1, kommer det att kallas gränsen för den som eftersträvas med redan kända för oss summan av dess första medlemmar summa, med obegränsad ökning av n, så det närmar sig oändligheten.
hitta detta belopp till följd av användning av formeln:
Sn = y 1 / (1-q).
Och eftersom erfarenheten har visat, den skenbara enkelheten i denna utveckling är gömt en stor ansökan potential.Till exempel, om vi bygger en sekvens av rutor på följande algoritm, som förbinder mittpunkterna på det tidigare, då de bildar en kvadrat oändlig geometrisk progression med en nämnare 1/2.Samma progression bildar trianglar och kvadrater som erhållits i varje skede av konstruktion, och summan är lika med arean av den ursprungliga torget.
