Cramers regel - är en av de exakta metoder för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (Slough).Dess noggrannhet på grund av användningen av bestämningsfaktorer matriser, liksom några av de begränsningar i beviset för satsen.
system av linjära algebraiska ekvationer med koefficienter som tillhör, exempelvis ett flertal R - reella tal, från okända x1, x2, ..., xn kallas uppsättningen av uttryck av formen
AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = BI för i =1, 2, ..., m, (1)
där aij, bi - är reella tal.Vart och ett av dessa uttryck kallas en linjär ekvation, aij - koefficienterna för okända, bi - fria koefficienterna ekvationerna.
lösning av (1) kallas n-dimensionellt vektorn x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), som när den är substituerad i för okända x1, x2, ..., xn var och en av raderna i systemet blirverklig jämställdhet.
system kallas konsekvent om den har åtminstone en lösning, och inkonsekvent, om dess uppsättning lösningar sammanfaller med den tomma mängden.
Man måste komma ihåg att för att hitta en lösning av system av linjära algebraiska ekvationer med hjälp av Cramers regel, matriser, system måste vara kvadratisk, vilket i princip innebär samma antal okända och ekvationer i systemet.
Så, för att använda metoden för Cramer, bör du åtminstone vet vad Matrix är ett system av linjära algebraiska ekvationer och hur det utfärdas.Och för det andra, att förstå vad som kallas determinanten av matrisen, och behärska kompetensen hos sin beräkning.
anta att denna kunskap du besitter.Underbart!Då måste du bara memorera formler som bestämmer metoden enligt Cramer.För att förenkla memorering använda följande notation:
-
Det - den viktigaste faktorn för systemet;
-
deti - är determinanten av matrisen som erhållits från huvudmatrisen för systemet genom att ersätta den i: te kolumnen i matrisen till en kolumnvektor vars element är de högra sidorna av system av linjära ekvationer;
-
n - antalet okända och ekvationer i systemet.
Då Cramers regel beräkna den i: te komponenten xi (i = 1, .. n) n-dimensionell vektor x kan skrivas som
xi = deti / Det, (2).
Således Det strikt skilt från noll.
unik lösning när den gemensamt tillhandahålls av villkoret om skild från noll huvudsakliga determinanten av systemet.Annars, om summan av (xi), i kvadrat, är strikt positiva, då SLAE en kvadratisk matris är inkonsekvent.Detta kan inträffa i synnerhet när minst en av deti skild från noll.
Exempel 1 .För att lösa det tredimensionella systemet av Lau, med användning av Cramers formel.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31
5 x1 + x2 + x3 = 2 29
3 x1 - x2 + x3 = 10.
beslut.Vi skriver matrisen av rad där Ai - är den i: te rad i matrisen.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
kolumn fria koefficienter b = (31 oktober 29).
viktigaste faktorn Det systemet är
Det = a11 a22 A33 + a12 a23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1-20 12-12 2-10 = -27.
att beräkna DET1 användning substitution A11 = b1, a21 = b2, A31 = b3.Sedan
DET1 = b1 a22 A33 + a12 a23 b3 + A31 b2 a32 - a13 a22 b3 - B1 A32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.
Likaså att beräkna en permutation använder DET2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = A32 och respektive, för att beräkna det3 - a13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Då kan du kontrollera att DET2 = -108 och det3 = - 135.
Enligt Cramers regel hittar vi x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Svar: x ° = (3,4,5).
Baserat på villkoren för tillämpning av denna regel, kan Cramers regel för att lösa linjära ekvationssystem användas indirekt, till exempel för att undersöka systemet på det möjliga antalet lösningar beroende på värdet av en parameter k.
Exempel 2. Bestäm för vilka värden av parametern k olikheten | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 har exakt en lösning.
beslut.
Denna skillnad i definitionen av modulfunktionen kan utföras endast om båda uttrycken är noll samtidigt.Därför är detta problem reduceras till att finna en lösning på ett linjärt system av algebraiska ekvationer
kx - y = 4,
x + ky = -4.
lösning av detta system endast om det är den viktigaste faktorn för
Det = k ^ {2} + 1 är noll.Uppenbarligen gäller detta villkor för alla giltiga värden av parametern k.
Svar: för alla verkliga värdet av parametern k.
Målen för denna typ kan också minskas, många praktiska problem i matematik, fysik eller kemi.
