kontinuerlig funktion är en funktion utan "hoppar", dvs ett för vilket villkoret: små förändringar i det argument följt av små förändringar i värdena för respektive funktioner.Grafen av en sådan funktion är en jämn och kontinuerlig kurva.
kontinuitet vid en punkt till en viss gräns kan bestämmas med hjälp av begreppet gränsen, nämligen bör funktionen har en gräns vid denna punkt, vilket är lika med dess värde vid gränspunkten.
När dessa villkor vid något tillfälle, säger att funktionen på denna punkt är diskontinuerliga, det vill säga, är dess kontinuitet bruten.I språket av gränser bryta punkt kan beskrivas som skillnaden i värdena på bristningsgränsen med en begränsningsfunktion (om den finns).
brytpunkt kan vara flyttbara, är det nödvändigt att begränsa funktionen, men det stämmer inte värdet vid en given punkt.I detta fall, det är vid denna punkt möjligt att "korrigera", dvs för att utvidga definitionen av kontinuitet.
helt annan bild framträder om existerar inte gränsen för en funktion vid en given punkt.Det finns två möjliga poäng av diskontinuitet:
- första slaget - är ändliga och båda de ensidiga gränser, och värdet av en eller båda av dem inte sammanfaller med värdet av funktionen vid en given punkt;
- andra slaget, där det finns en ensidig eller båda gränserna eller värden oändliga.
egenskaper hos kontinuerliga funktioner
- funktion till följd av aritmetiska operationer, samt sammansättningen av kontinuerliga funktioner på deras domän är också kontinuerligt.
- Givet en kontinuerlig funktion som är positivt vid någon tidpunkt, kan du alltid hitta en tillräckligt liten stadsdel där det kommer att behålla sin karaktär.
- liknande sätt, om värdena för de två punkterna A och B är respektive a och b, vari a är skild från B, sedan för de mellanliggande punkterna, det kommer att ta alla värden i intervallet (a, b).Härifrån kan du göra en intressant slutsats: om du ger en utsträckt gummiband att krympa så att det inte sag (förblev rak), kommer en av dess punkter förblir fast.Ett geometriskt det betyder att det är en rak linje som går genom någon mellanliggande punkt mellan A och B, som skär grafen av funktionen.
notera några av kontinuerlig (i området för definition) av elementära funktioner:
- konstant;
- rationellt;
- trigonometri.
mellan de två grundläggande begrepp i matematik - är kontinuerlig och deriverbar - är oupplösligt förenade.Det räcker med att påminna om att för deriverbara funktioner du behöver det vara en kontinuerlig funktion.
om funktionen är deriverbar någon gång, det är kontinuerlig.Det är emellertid inte nödvändigt, så att dess derivat är kontinuerlig.
har finns på någon uppsättning av kontinuerlig derivat, tillhör en särskild klass för glatta funktioner.Med andra ord, är det - en kontinuerligt deriverbar funktion.Om derivatet har ett begränsat antal brytpunkter (endast den första slag), då en liknande funktion som kallas styckvis slät.
annan viktig begreppet matematisk analys är likformigt kontinuerliga funktioner, det vill säga dess förmåga att vara vid någon punkt i sin domän lika kontinuerligt.Således, en egenskap som behandlas vid ett flertal punkter i stället för en enda.
Om du fixa en punkt, du får ingenting annat, eftersom definitionen av kontinuitet, det vill säga från förekomsten av likformig kontinuitet följer att det är en kontinuerlig funktion.Generellt sett är det omvända inte sant.Men enligt cantors sats, om en funktion är kontinuerlig på den kompakta, det vill säga på en sluten intervall, då är det jämnt kontinuerligt på det.
