Vad irrationella siffror?Varför kallas de?Där de används, och som representerar?Få kan utan att tveka att besvara dessa frågor.Men i själva verket, svaren är ganska enkelt, även om inte alla är nödvändiga, och i mycket sällsynta fall
essensen och betecknings
Irrationell siffror är oändliga engångs decimal.Behovet av att införa detta koncept på grund av det faktum att för att ta itu med nya framväxande problem har varit otillräckliga innan de befintliga begreppen faktiska eller verkliga, hela, naturliga och rationella tal.Till exempel, för att beräkna kvadraten på en variabel är 2, måste du använda en icke-periodiska oändliga decimaler.Dessutom har många enkla ekvationer har heller ingen lösning utan införandet av begreppet irrationella tal.
Denna uppsättning kallas I. Och som är klar, kan dessa värden inte representeras som ett enkelt bråk, täljaren som är ett heltal, och nämnaren - ett naturligt tal.
först ändå detta fenomen inför indiska matematiker i VII-talet f.Kr., då det upptäcktes att de kvadratrötter av vissa kvantiteter inte kan identifieras klart.Ett första bevis för att det föreligger sådana nummer kredit Hippasos Pythagoras som gjorde det i studien av en likbent rätvinklig triangel.En allvarlig bidrag till studiet av denna uppsättning har fört även vissa vetenskapsmän som levde före Kristus.Införandet av begreppet irrationella tal ledde till en översyn av den befintliga matematiska system, och det är därför de är så viktiga.
ursprunget till namnet
Om kvoten på latin - är "shot", "attityd", prefixet "ir"
ger detta ord med motsatt innebörd.Således, namnet på ett flertal av dessa siffror indikerar att de inte kan korreleras till ett heltal eller fraktionerad, är separata rum.Detta följer av deras väsen.
plats i den allmänna klassificeringen
Irrationell nummer tillsammans med rationell avser en grupp av verkliga eller virtuella, som i sin tur är integrerade.Det finns en undergrupp, men skilja algebraiska och transcenden arter, som kommer att diskuteras nedan.
Properties
Sedan irrationella tal - det är en del av en uppsättning verkliga, som är tillämpliga på dem alla deras egenskaper, som studeras i aritmetik (även kallad grundläggande algebraiska lagar).
a + b = b + a (kommutativ);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativitet);
a + 0 = a;
a + (-a) = 0 (förekomsten av tillsats invers);
ab = ba (kommutativa lagen);
(ab) c = a (bc) (Distributivity);
a (b + c) = ab + ac (distributiva lagen);
ax 1 = en
yxa 1 / a = 1 (förekomsten av återvändande);
Jämförelse görs också i enlighet med de allmänna lagar och principer:
Om a & gt;b, och b & gt;c, sedan en & gt;c (transitiv relation) och.t. e.
Naturligtvis kan alla irrationella tal konverteras med hjälp av de grundläggande aritmetiska operationer.Inga särskilda regler för detta.
Dessutom irrationella tal omfattas av axiom Arkimedes.Det sägs att för varje två värden på a och b är sant att, genom att ta en som sikt tillräckligt många gånger, är det möjligt att slå b.
använder
Trots att i verkliga livet är inte så ofta måste ta itu med dem, irrationella tal inte redogöra.De är väldigt många, men de är praktiskt taget osynliga.Vi är omgivna av irrationella tal.Exempel är bekanta för alla - antalet pi, motsvarande 3.1415926 ..., eller e, är i själva verket en bas av naturliga logaritmer, 2,718281828 ... I algebra, trigonometri och geometri måste använda dem hela tiden.Förresten, den välkända betydelsen av "gyllene snittet", det vill säga förhållandet mellan hur mycket av en lägre, och vice versa, gäller även för denna uppsättning.Mindre välkända "silver" - också.
på tallinjen, de är mycket nära, så att mellan två värden, som omfattas av en uppsättning rationellt, irrationella nödvändigtvis ske.
Hittills finns det en hel del olösta frågor i samband med denna uppsättning.Det finns kriterier såsom ett mått på irrationalitet och det normala antalet.Matematiker fortsätta att undersöka de mest betydelsefulla exemplen för att de tillhör den ena eller andra gruppen.Till exempel förutsätts det att E -. Normala antalet, t E. Sannolikheten för hans rekord olika figurer samma.Som wee, respekterar dig det är under utredning.Åtgärden kallas även irrationella värde anger hur väl ett visst antal kan approximeras med rationella tal.
algebraiska och transcenden
som redan nämnts, irrationella tal villkorligt delas in i algebraiska och transcendentala.Konventionellt, eftersom strängt taget, denna klassificering används för att dela den inställda C.
Under denna beteckning dölja komplexa tal, som omfattar faktisk eller verklig.
Så algebraisk kallas ett värde, som är roten av polynomet är inte identiskt noll.Till exempel kommer kvadratroten ur två hör till denna kategori, eftersom den är en lösning av ekvationen x2 - 2 = 0.
Alla andra reella tal som inte uppfyller detta villkor kallas transcenden.Denna art och är de mest välkända och redan nämnda exempel - PI och basen för den naturliga logaritmen e.
Intressant, ingen, inte heller den andra var ursprungligen uppfödd av matematiker som sådana, deras irrationalitet och transcendens har bevisats genom många år efter sin upptäckt.PI bevis gavs 1882 och förenklas 1894, som satte stopp för debatten om problemet med det omöjliga, som varade i över 2500 år.Det är fortfarande inte helt klarlagda, så att modern matematik har arbete att göra.Förresten, hade den första någorlunda korrekt beräkning av detta värde Archimedes.Framför honom alla beräkningar var alltför ungefärliga.
för e (Eulers nummer eller Napier), var ett bevis på hans transcendens hittades 1873.Det används för att lösa ekvationerna logaritmisk.
Bland annat exempel - värdena för sinus, cosinus och tangens för alla icke-noll algebraiska värden.
