I utrymmet planet kan definieras på olika sätt (med en punkt och en vektor och vektorn av två punkter, tre poäng, etc.).Det är i denna ekvation av planet kan ha olika slag.Dessutom, under vissa förutsättningar planet kan vara parallella, vinkelräta, skär, etc.På detta och prata i den här artikeln.Vi kommer att lära sig att göra den totala ekvationen för planet och inte bara.
Normal ekvation
Antag att det finns ett utrymme R3, vilken har ett rektangulärt koordinatsystem XYZ.Vi definierar vektorn α, som kommer att släppas från den initiala punkten A. Genom slutet av vektor α rita planet P, som är vinkelrät mot det.
Låt P på en godtycklig punkt Q = (x, y, z).Radien vektor punkt Q underteckna skrivelsen p.Längden av vektorn α är lika med p = IαI och ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).
Det är en enhetsvektor, som är riktad åt sidan, såväl som vektor α.α, β, och γ - är den vinkel som bildas mellan vektorn ʋ och positiva riktningarna av axlarna för rymd x, y, z, respektive.Projektionen av en punkt på vektorn ʋ QεP är en konstant, som är lika med P (p, ʋ) = p (r≥0).
Ovanstående ekvation vettigt, när p = 0.Den enda plan P i detta fall kommer att skära punkt D (α = 0), som är ursprunget, och enhetsvektor ʋ, frigörs från punkten O blir vinkelrät mot P, trots dess riktning, vilket innebär att vektorn ʋ bestämsupp till underteckna.Föregående ekvationen är vår planet II, uttryckta i vektorform.Men i koordinaterna i sitt slag att vara så:
P är större än eller lika med 0. Vi har hittat ekvationen för planet i rymden på ett normalt sätt.
allmänna ekvationen
Om ekvationen i koordinaterna multiplicera varje antal som inte är lika med noll, erhåller vi ekvation ekvivalent med denna som definierar själva planet.Det kommer att ha en uppfattning:
Här A, B, C - är numret samtidigt skiljer sig från noll.Denna ekvation kallas planet ekvationen med den allmänna formen.
ekvationen för planet.Särskilt fall
ekvation i allmän form kan modifieras med ytterligare villkor.Överväga några av dem.
antar att koefficienten A är lika med 0. Detta innebär att det plan är parallellt med en given axel Ox.I detta fall, ändra formen av ekvationen: Vu + Cz + D = 0.
liknande form av ekvationen kommer att förändras och under följande betingelser:
- Först, när B = 0, då ekvations ändras till Ax + Cz + D = 0 som skulle tyda parallell med y-axeln.
- andra, om C = 0, ekvationen omvandlas till Ax + By + D = 0, kommer det att finnas prata om parallell med den förbestämda axeln Oz.
- tredje, när D = 0, skulle ekvationen ser ut ax + by + Cz = 0, vilket skulle innebära att planet skär O (origo).
- fjärde, om A = B = 0, då ekvations ändras till Cz + D = 0, vilket kommer att visa sig parallellt med Oxy.
- femte, om B = C = 0, blir ekvationen Ax + D = 0, vilket betyder att det plan är parallellt med Oyz.
- sjätte, om A = C = 0, har formen Vu + D = 0 i ekvationen, då kommer det att vara parallell med rapporten Oxz.
typ ekvationer i sektioner av
I det fall där antalet av A, B, C, D skiljer sig från noll, i form av ekvation (0) kan vara följande:
x / a + b / y + z / a= 1,
vari a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Få ett resultat ekvation av planet i bitar.Det bör noteras att detta plan skär den axel Ox i koordinaterna (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) och Oz - (0,0, s).
Med tanke på ekvationen x / a + b / y + z / c = 1, är det lätt att visualisera placeringen av plan relativt ett givet koordinatsystem.
koordinater av normalvektorn
normalvektor n till planet P har koordinater, vilka är koefficienterna med den allmänna ekvationen för planet, dvs. n (A, B, C).
För att bestämma koordinaterna för normalen N, är tillräckligt för att veta den allmänna ekvationen för ett givet plan.
Vid användning ekvationer i segment, vilket har formen x / a + b / y + z / c = 1, som kan skrivas koordinaterna för en normalvektor ett givet plan vid användning av allmänna ekvationen: (1 / a + 1 / b +1 / s).
värt att notera att den normala vektorn hjälper till att lösa olika problem.De vanligaste är problem, är ett bevis på vinkelräta eller parallella plan, uppgiften att hitta vinklarna mellan planen eller vinklar mellan flygplan och linjer.
vyplan ekvation enligt koordinaterna för punkten och normalvektorn
nonzero vektor n, vinkelrätt mot ett givet plan, som kallas normalt (normalt) för ett givet plan.
anta att koordinatutrymmet (ett rektangulärt koordinatsystem) Oxyz frågade:
- Mₒ punkt med koordinaterna (hₒ, uₒ, zₒ);
- nollvektorn n = A * i + j + B C * * k.
nödvändigt att göra ekvationen för planet som passerar genom punkten vinkelrätt mot den normala Mₒ n.I utrymmet
välja någon godtycklig punkt och låt henne M (x y, z).Låt radien vektorn enligt något punkten M (x, y, z) r = x * i + y * j + z * k, och radien vektor punkten Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Punkten M tillhör ett givet plan, om vektorn är vinkelrät mot vektorn MₒM n.Vi skriver ortogonaliteten tillstånd med hjälp av skalärprodukten:
[MₒM, n] = 0.
Sedan MₒM = r-rₒ kommer vektor ekvation planet se ut så här:
[r - rₒ, n] = 0.
Denna ekvation kan ha en annan form.För detta ändamål, egenskaper skalärprodukten, och transformerades den vänstra sidan av ekvationen.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Om [rₒ, n] betecknas som s, får vi följande ekvation: [r, n] - c = 0 eller [r, n] = s, som uttrycker konsekvensen av projektionerna på normalvektor av radie-smittbärare av de givna punkter som hör till planet.
Nu kan du få den typ av inspelningen samordna vår planet vektor ekvation [r - rₒ, n] = 0. Eftersom r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * koch n = A * i + j + B C * * k har vi:
visar sig, är utformad i vår ekvationen för det plan som passerar genom punkten vinkelrätt mot den normala n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Typer plan ekvation enligt koordinaterna för två punkter och en vektor kolinjär plan
Definiera två punkter M '(x', y ', z') och M '(x ", y", z "), såväl som vektorn en(A ', A "och' '').
Nu kan vi likställa ett givet plan, som kommer att ske genom befintliga punkter M och M ", liksom varje punkt M med koordinaterna (x, y, z) parallellt med en given vektor.
Denna M'M vektorer {X, X ', Y, Y'; zz '} och M "M = {x" -x', y "y"; z "-z '} bör ligga i samma planvektor a = (a ", en", en '' '), och att organ (M'M, M' M, a) = 0.
Så vår ekvation av ett plan i rymden skulle se ut så här:
typ ekvation plan som skär de tre punkterna
Antag att vi har tre punkter (x ', y', z '), (x', y", z"), (x '' 'Ha' '', z '' '), som inte tillhör samma rad.Det är nödvändigt att skriva ekvationen för planet som passerar genom de angivna tre punkter.Teorin om geometri hävdar att existerar denna typ av plan, det är bara en och endast.Eftersom detta plan skär punkten (x ', y', z '), är formen av dess ekvation enligt följande:
Här A, B och C skiljer sig från noll på samma gång.Också givet plan skär de två punkterna (x ', y', z ') och (x' '' Ha '' ', z' '').I detta sammanhang bör genomföras den här typen av villkor:
Nu kan vi skapa ett enhetligt system av ekvationer (linjär) med okända u, v, w:
I vårt fall, x, y eller z förefaller godtycklig punkt som uppfyllerEkvation (1).Med tanke på ekvation (1) och ett system av ekvationer (2) och (3), den vektor uppfyller N (A, B, C), som är ett system av ekvationer som visas i figuren ovan nontrivial.Det beror på att faktor för systemet är noll.
ekvation (1), som vi har fått, är detta ekvationen för planet.Efter tre poäng hon verkligen går, och det är lätt att kontrollera.För att göra detta, vi sönder avgörande av elementen är belägna i den första raden.Av de befintliga fastigheter i avgörande det innebär att vår planet samtidigt tre kors från början givna punkter (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Ha' '', z '' ').Så vi bestämde oss för att sätta framför oss.
tvåplansvinkel mellan planen
tvåplansvinkel är en rumslig geometrisk form som bildas av två halvplan som kommer från samma linje.Med andra ord, denna del av utrymmet, som är begränsad till den halv-planet.
Anta att vi har två plan med följande ekvationer:
Vi vet att vektor N = (A, B, C) och N ^ = (A, H ^, S¹) i enlighet med inställd vinkelrätt plan.I detta avseende vinkeln φ mellan vektor N och N ^ lika vinkel (tvåplansvinkel), som ligger mellan dessa plan.Skalärprodukten ges av:
NN¹ = | N || N ^ | cos φ,
just därför
cos = NN¹ / | N || N ^ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A ^ + V²s² +)) * (√ (A ^) ² + (H ^) ² + (S¹) ²)).
är tillräckligt för att anse att 0≤φ≤π.
faktiskt två plan som skär för att bilda två vinklar (dihedrala): φ1 och φ2.Beloppet är lika med deras π (φ1 + φ2 = π).När det gäller deras cosinus, deras absoluta värdena är lika, men de är olika tecken, det vill säga, cos φ1 = -cos φ2.Om i ekvationen (0) ersätts med A, B och C av -A, -B och -C respektive ekvationen, erhåller vi, kommer att avgöra samma plan, bara vinkeln φ i ekvations cos φ = NN1 / | N|| N1 | kommer att ersättas av π-φ.
ekvation vinkelrätt mot planet vinkelrätt mot
kallad plan, mellan vilka vinkeln är 90 grader.Med användning av material som presenteras ovan, kan vi hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt till den andra.Anta att vi har två plan: Ax + By + Cz + D = 0 och A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Vi kan säga att de är vinkelräta om cos = 0.Detta innebär att AA¹ NN¹ = ^ + VV¹ SS¹ = 0.
ekvation parallellt plan
Parallel kallas två plan som inte innehåller gemensamma punkter.
skick parallella plan (deras ekvationer är densamma som i föregående stycke) är att vektor N och N ^, som till dem vinkelrätt, collinear.Detta innebär att följande villkor om proportionalitet:
A / A '= V / H ^ = C / S¹.
Om villkoren för proportionalitetsförlängs - A / A '= V / H ^ = C / S¹ = DD¹,
indikerar detta att dataplanet av densamma.Detta innebär att ekvationen ax + by + Cz + D = 0 och + A¹h V¹u S¹z ^ + D¹ = 0 beskriver ett enda plan.
avstånd till planet från punkten
Antag att vi har ett plan P, som ges av ekvation (0).Det är nödvändigt att hitta sin avstånd från punkten med koordinaterna (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.För att göra detta måste du ta ekvationen för planet P i den normala formen:
(ρ, v) = p (r≥0).
I detta fall ρ (x, y, z) är radien vektorn enligt vår punkten Q, som ligger på n, P - är det vinkelräta avståndet P, som har utmatats från nollpunkten, v - är enhetsvektorn, som ligger i riktningen för en.
skillnad ρ-ρº radie vektor av en punkt Q = (x, y, z), som ägs av P och radien vektorn från en given punkt Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) är en sådan vektor, det absoluta värdetvars projektioner av v är lika med avståndet d, vilket är nödvändigt att hitta från Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) till P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, men
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, volym).
Det visar sig,
d = | (ρ0, v) p |.
nu sett att beräkna avståndet d från Q0 till planet P, måste du använda den normala formen av ekvationen planet, övergången till vänster om floden, och den sista platsen för x, y, z substitut (hₒ, uₒ, zₒ).
Sålunda finner vi det absoluta värdet av den resulterande uttryck som söks d.
Använda språkinställningar, erhåller vi det självklara:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A ^ + V² + s²).
Om en given punkt Q0 är på den andra sidan av planet P som ursprung, mellan vektorn ρ-ρ0 och v är en trubbig vinkel, således:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
I fallet när punkten Q0 tillsammans med origo placerad på samma sida av U, är den alstrade vinkeln spetsig, det vill säga:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Resultatet är att i det första fallet (ρ0, v) & gt; p, den andra (ρ0, v) & lt; p.
tangentplan och dess ekvation
Som för planet till ytan vid kontaktpunkten Mº - ett plan som innehåller alla möjliga tangent till kurva dragen genom den punkt på ytan.
I denna typ av ekvation av ytan F (x, y, z) = 0 ekvation av tangentplanet vid tangentpunkten Mº (hº, ܺ, zº) skulle se ut så här:
Fx (hº, ܺ, zº) (x hº)+ Fx (hº, ܺ, zº) (ܺ y) + Fx (hº, ܺ, zº) (z-zº) = 0.
Om du uttryckligen specificera ytan z = f (x, y) är tangentplanet beskrivs av ekvationen:
z-zº = f (hº, ܺ) (hº x) + f (hº, ܺ) (y- ܺ).
skärningspunkten mellan två plan
i tre-dimensionella rymden är ett koordinatsystem (rektangulär) Oxyz, ges två planen P 'och P ", som överlappar varandra och är inte desamma.Eftersom varje plan, som är i ett rektangulärt koordinatsystem definieras av den allmänna ekvationen, antar vi att n 'och n "är givna av ekvationerna A'x + + V'u S'z + D' = 0 och A" x + B "y +Med "D + z" = 0.I detta fall har vi normalt n '(A', B ', C) i planet P' och den normala n '(A', B ', C) hos planet P ".Som vår planet inte är parallella och inte sammanfaller, är dessa vektorer inte samma linje.Använda matematikens språk, har vi detta villkor kan skrivas som: n '≠ n "↔ (A', B ', C) ≠ (λ * A", λ * I ", λ * C"), λεR.Låt den raka linjen som ligger i skärningspunkten P 'och P ", kommer att betecknas med bokstaven a, i detta fall a = n' ∩ P".
en - detta är en direkt, bestående av en uppsättning punkter (totalt) planen P 'och P ".Detta innebär att koordinaterna för en punkt som tillhör linjen och måste samtidigt uppfylla ekvationen A'x ^ + V'u S'z + D '= 0 och A "x + B" y + C "z + D" = 0.Då kommer koordinaterna för punkten vara en särskild lösning av följande ekvationer:
Resultatet är att beslutet (allmän) av ekvationssystemet kommer att bestämma koordinaterna för varje punkt på linjen, som kommer att vara skärningspunkten P 'och P ", och för att bestämma den direkta ochi ett koordinatsystem Oxyz (rektangulär) utrymme.
