geometri är vacker eftersom den till skillnad algebra, vilket inte alltid är tydlig som vad du tycker, ger ett visuellt objekt.Denna underbara värld av olika organ pryder vanliga polyhedra.
Förstå regelbunden polyhedra
Enligt många, regelbundna polyedrar, eller som de kallas platonska kropparna har unika egenskaper.Med dessa objekt anslutna ett flertal vetenskapliga hypoteser.När du börjar studera geometriska data i kroppen, inser du att nästan inte vet någonting om ett sådant begrepp som den vanliga polyhedra.Presentationen av dessa objekt i skolan är inte alltid intressant, så många inte ens ihåg vad de kallades.I minnet av de flesta människor är det bara en kub.Ingen av de organ i geometri inte besitter sådan perfektion som vanliga polyhedra.Alla namnen på dessa geometriska kroppar härstammar från antikens Grekland.De representerar antal ansikten: tetraedern - fyrsidig, hexahedron - Allen, octahedron - octahedron, dodecahedron - dodekaedriska, icosahedron - ikosaedrisk.Alla dessa geometriska kropp intar en viktig plats i Platons uppfattning om universum.Fyra av dem förkroppsligar element eller enheter: tetrahedron - brand ikosaeder - vatten kub - jord, octahedron - luft.Dodecahedron förkroppsligade allt.Han ansågs vara den viktigaste, eftersom han var en symbol för universum.
generalisering av begreppet en polyeder
polyeder är en uppsättning av ändligt antal polygoner så att:
- varje sida av någon av polygoner är också parti bara en annan polygon på samma sida;
- från var och en av polygonerna kan nås genom att gå till de andra angränsande polygoner med honom.
polygoner som utgör polyhedron är dess ansikten och deras sido - revben.Hörn av är hörn av polygoner.Om du förstår av begreppet en polygon platt slutna polylinjer, sedan kommer till en definition av en polyeder.I det fall där detta begrepp innebär att en del av det plan som avgränsas av streckade linjer, är det nödvändigt att förstå ytan, som består av polygonala stycken.Konvex polyeder kallas kroppen liggande på en sida av planet, som gränsar till dess ytor.
annan definition av en polyeder och dess beståndsdelar
polyeder är en yta som består av polygoner, vilket begränsar den geometriska kropp.De är:
- icke-konvexa;
- konvex (rätt och fel).
regelbunden polyeder - är konvex polyhedron med maximal symmetri.Delar av regelbunden polyhedra:
- tetra 6 kanter, 4 ansikten, 5 hörn;
- hexahedron (kub) 12, 6, 8;
- dodekaeder 30, 12, 20;
- oktaedern 12, 8, 6;
- ikosaeder: 30, 20, 12.
Eulers teorem
Det etablerar en relation mellan antalet kanter, hörn och ansikten är topologiskt motsvarar en sfär.Lägga antalet hörn och ansikten (B + D) i olika ordinarie Polyhedra och jämföra dem med antalet revben, kan du ställa in en regel: Summan av antalet ansikten och hörn är lika med antalet kanter (F), ökade med 2. Du kan visa en enkel formel:
- B + F = P + 2.
Denna formel gäller för alla konvexa polyhedra.
Grundläggande definitioner
begreppet regelbunden polyeder är omöjligt att beskriva i en mening.Det är en multi-värde och volym.Ett organ som ska erkännas som sådan, är det nödvändigt att den uppfyller ett antal definitioner.Till exempel kommer den geometriska kropp vara en regelbunden polyeder i utförandet av dessa villkor:
- är konvexa;
- samma antal ribbor konvergerar i vardera av dess hörn;
- alla aspekter av det - regelbundna polygoner, lika med varandra;
- alla dihedrala vinklar är lika.
egenskaper regelbunden polyhedra
Det finns 5 olika typer av regelbunden polyhedra:
- Cube (hexahedron) - det har en flack vinkel vid spetsen är 90 °.Den har en 3-sidig hörnet.Summan av de plana vinklar vid spetsen av 270 °.
- Tetrahedron - flack vinkel på toppen - 60 °.Den har en 3-sidig hörnet.Summan av de plana vinklar vid spetsen - 180 °.
- Octahedron - platt vinkel upptill - 60 °.Den har en 4-sidig hörnet.Summan av de plana vinklar vid spetsen - 240 °.
- dodecahedron - en plan vinkel vid toppen av 108 °.Den har en 3-sidig hörnet.Summan av de plana vinklar vid spetsen - 324 °.
- ikosaeder - hans lägenhet vinkel på toppen - 60 °.Det har 5-sidig hörnet.Summan av de plana vinklar vid spetsen av 300 °.
Område
regelbunden polyhedra Ytarean av geometriska fasta ämnen (S) beräknas som arean av en regelbunden polygon, multiplicerat med antalet av dess ytor (G):
- S = (a: 2) x 2G CTG π / s.
volym av en regelbunden polyeder
Detta värde beräknas genom att multiplicera volymen av en regelbunden pyramid, vars bas är en regelbunden polygon, antalet sidor, och dess höjd är radien av den inskrivna sfären (r):
- V = 1: 3RS.
volym regelbunden polyhedra
Precis som alla andra geometriska fasta, regelbundna polyhedra har olika volymer.Nedan är formlerna som de kan beräknas:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- ikosaeder;α x 3;
- hexahedron (kub): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements regelbunden polyhedra
hexahedron och oktaedern är dubbla geometriska kroppar.Med andra ord, kan de komma ut ur varandra i händelse av att tyngdpunkten för en tas som toppen av den andra, och vice versa.Det är också den dubbla ikosaeder och dodekaeder.Ensam tetraeder är dubbel.Genom Euklides kan erhållas från en dodecahedron hexahedron genom att konstruera "tak" i ansiktet på kuben.Hörn av tetrahedron finns några 4 hörn av kuben, inte angränsande par av revben.Från hexahedron (kub) kan erhållas och andra regelbundna polyedrar.Trots att regelbundna polygoner har otaliga, regelbunden polyhedra, finns det bara 5.
radier regelbundna polygoner
Med alla dessa geometriska kroppar kopplade 3 koncentriska sfärer:
- beskrivs som passerar genom sin spets;
- inskrivet med avseende på var och en av sina ansikten i mitten av det;
- median om alla kanter i mitten.
sfärens radie beräknas såsom beskrivits med följande formel:
- R = a: 2 x tg π / g ^ tg θ: 2.
radien av den inskrivna sfären beräknas på följande sätt:
- R = a: 2 x ctgπ / p x tg θ: 2,
där θ - tvåplansvinkel, som är beläget mellan de intilliggande ytorna.
median sfärens radie kan beräknas med följande formel:
- ρ = en cos Tt / p: 2 sin π / h
värde där h = 4,6, 6,10, eller 10. Förhållandet mellan radierna som beskrivs och inskrivetsymmetriskt med avseende på p och q.Den beräknas genom formeln:
- r / R = tg π / p x tg π / q.
Symmetry Symmetry polyhedra
regelbunden polyhedra är av primärt intresse för dessa geometriska kroppar.Det är underförstått som en rörelse av en kropp i rymden, som lämnar samma antalet hörn och kanter.Med andra ord, under påverkan av symmetri transformationer kant, vertex, ansikte eller behåller sin ursprungliga position, eller rör sig till utgångsläget för en annan ribba, de andra spetsarna eller ansikten.
regelbundna polyhedra symmetri element som är gemensamma för alla typer av geometriska fasta ämnen.Här sker på identitets omvandling, vilket lämnar någon av punkterna i det ursprungliga läget.Således, genom att rotera polygonal prismat kan ta emot flera symmetrier.Någon av dessa kan representeras som produkten av reflektioner.Symmetrin som är produkten av ett jämnt antal reflektioner, som kallas direkt.Om det är en produkt av ett udda antal reflektioner, kallas det tillbaka.Således, alla varv runt linjen som en rak symmetri.Varje återspegling av polyhedron - en omvänd symmetri.
För att bättre förstå de delar av symmetri av den ordinarie polyhedra, kan du ta exemplet med en tetraeder.Alla linje som kommer att passera genom ett av hörnen och centrum av denna geometrisk figur, kommer att passera genom centrum och kanten motsatt henne.Vart och ett av hörnen 120 och 240 ° runt linjen tillhör plural tetraedriska symmetri.Eftersom han har 4 hörn och ansikten, får vi totalt åtta direkt symmetrier.Vilken som helst av linjer som går genom mitten av kanterna och centrum av kroppen, passerar genom mitten av dess motsatta kanter.Varje tur av 180 °, som kallas ett halvt varv runt linjen är en symmetri.Eftersom tetrahedron, finns tre par revben, får du tre rader av symmetri.Baserat på det föregående, kan man dra slutsatsen att det totala antalet direkta symmetri, och innefattande identiteten omvandling, kommer att vara upp till tolv.Andra direkta symmetri tetrahedron existerar inte, men det har 12 omvänd symmetri.Följaktligen är det tetrahedron kännetecknas av totalt 24 symmetrier.För tydlighetens skull, kan du bygga en modell av en regelbunden tetraeder gjord av kartong och se till att det är den geometriska kroppen har egentligen bara 24 symmetri.
dodekaeder och ikosaeder - närmast det område av kroppen.Ikosaedern har det största antalet ansikten, den största tvåplansvinkel och hårdare alla kan klamra sig fast vid den inskrivna sfären.Den dodekaeder har den lägsta vinkel defekt, den största rymdvinkel på toppen.Det kan beskrivas som mycket som möjligt för att fylla i räckvidden.
Sweep polyhedra
Regular polyhedra scan, som vi alla bundna i barndomen har en hel del begrepp.Om det finns en uppsättning av polygoner, är varje sida av vilka identifieras med endast en sida av polyhedron, måste identifieringen av parterna uppfyller två villkor:
- av varje polygon, kan man gå till en polygon med sidor som identifierats;
- identifierbara partier måste ha samma längd.
Det är en uppsättning av polygoner som uppfyller dessa villkor och kallas skannings polyeder.Vart och ett av dessa organ har flera av dem.Till exempel har en kub 11 stycken dem.
