mekaniskt system som består av ett material punkt (kroppen), hängande på tyngdlös otöjbar filament (dess massa är försumbar jämfört med kroppsvikten) på ett enhetligt gravitationsfält, som kallas den matematiska pendeln (ett annat namn - oscillator).Det finns andra typer av anordningar.I stället för ett filament kan användas viktlös stav.Pendulum kan tydligt avslöja essensen av många intressanta fenomen.Vid låg amplitud fluktuationer i dess rörelse kallas överton.
Förståelse det mekaniska systemet
Formel svängningsperioden av pendeln parades holländska forskare Huygens (1629-1695 gg.).Denna samtida med Isaac Newton var mycket förtjust i det mekaniska systemet.År 1656 skapade han den första klocka med en pendel mekanism.De mätte tiden med extrem precision för dessa tider.Denna uppfinning var ett stort steg i utvecklingen av fysiska experiment och praktiska aktiviteter.
Om pendeln är i sitt jämviktsläge (hängande vertikalt), tyngdkraften balanseras av kraften av trådspänningen.Flat pendeln på en icke-töjbart garn är ett system med två frihetsgrader med en länk.Om du bara ändra en del av förändringsegenskaperna hos alla dess delar.Om sålunda en sträng är ersatt av en stång, är sedan ges mekaniskt system endast en frihetsgrad.Vilka var egenskaperna hos matematiska pendeln?I detta enkla system under inverkan av en periodisk störning finns kaos.I det fall då upphängningspunkten inte rör sig, och oscillerar pendeln uppträder vid en ny position av jämvikt.Om snabba svängningar upp och ner det mekaniska systemet blir stabilt läge "upp och ner."Det har också sitt namn.Det kallas Kapitza pendeln.
Properties
pendel pendel har mycket intressanta egenskaper.Alla av dem är uppburna av välkända fysikaliska lagar.Perioden för svängnings pendelns andra beror av olika faktorer, såsom storleken och formen på kroppen, avståndet mellan upphängningspunkten och tyngdpunkten, viktfördelning med avseende på denna punkt.Det är anledningen till att definitionen av perioden för den hängande kroppen är ganska krävande.Det är mycket lättare att beräkna perioden för en enkel pendel, formeln återges nedan.Som ett resultat av observationer av sådana mekaniska system kan ställas in sådana lagar:
• Om medan samma längd av pendeln underhålla, tillfälligt olika belastningar, perioden svängnings fick samma, även om deras vikt kommer att variera kraftigt.Därför är tiden för en sådan en pendel oberoende av lastvikt.
• Om systemet börjar att böja pendeln är inte alltför stor, men olika vinklar, kommer det att fluktuera med samma period men i olika amplituder.Så länge avvikelsen från tyngdpunkten är inte alltför stora svängningar i sin form är tillräckligt nära harmoniska.Perioden av pendeln är inte beroende av den vibrationsamplitud.Denna egenskap hos det mekaniska systemet kallas isochronism (på grekiska "chronos" - tid "Izosov" - lika).
period av en enkel pendel
Denna figur representerar en period av naturliga svängningar.Trots den komplicerade formuleringen, är processen mycket enkel.Om längden av gängan på en enkel pendel L och tyngdaccelerationen g, då detta värde är:
T = 2π√L / g
liten period av naturliga svängningar inte på något sätt är oberoende av massan av pendeln och oscillationsamplituden.I detta fall rör sig pendeln som en matematisk längd härifrån.
Fluktuationer matematiska pendeln
pendel oscillerar, vilket kan beskrivas med en enkel differentialekvation:
x + ω2 sin x = 0,
där x (t) - okänd funktion (detta är vinkeln på avvikelsen från den nedre jämviktslägettiden t uttryckt i radianer);ω - en positiv konstant, som bestäms av parametrarna för pendeln (ω = √g / L, där g - är accelerationen på grund av gravitationen, och L -. längd på en enkel pendel (suspension)
ekvation för små svängningar nära jämviktsläget (harmonisk ekvation) är som följer:..
x + ω2 sin x = 0
vibrationsrörelse pendelns
Pendulum, vilket gör små svängningar, flytta sinus Den differentialekvation av andra ordningen uppfyller alla krav och parametrar för en sådan rörelse att bestämma den väg du behöver för att ställa in hastighet och koordinater,som senare fastställde oberoende konstanterna:
x = A sin (θ0 + cot),
där θ0 - den inledande fasen, A - oscillationsamplituden, ω - vinkelfrekvens, som bestäms från ekvationen rörelse
Pendulum (formeln för stora.amplituder)
Detta mekaniskt system, göra sina vibrationer med en betydande amplitud är föremål för mer komplexa trafiklagar.För en sådan pendel de beräknas enligt formeln:
sin x / 2 = u * sn (cot / u),
där sn - Jacobi sinus, som for u & lt;1 är en periodisk funktion, och för små u den sammanfaller med den enkla trigonometriska sinus.U-värden bestämdes genom följande uttryck:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
där ε = E / ML2 (ML2 - energi pendeln).
Fastställande av svängningsperioden av en icke-linjär pendel utförs av formeln:
T = 2π / Ω,
där Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptisk gral, π - 3,14.
pendelrörelse på separatrix
kallas separatrix banan för det dynamiska systemet, i vilket en två-dimensionell fasrymd.Pendel går vidare icke-cykliska.I en oändligt avlägsen tidpunkt han faller från det översta läget i riktning av hastigheten noll och sedan gradvis att få den.Han stoppas slutligen, återvänder till sitt ursprungliga läge.
Om oscillationsamplituden Pendelns närmar sig antalet π , tyder detta på att rörelsen i fasplanet är nära till separatrix.I det här fallet, under påverkan av små periodiska drivkraft mekaniskt system uppvisar kaotiskt beteende.
I händelse av en enkel pendel från jämviktsläget med en vinkel φ inträffar tangentiell gravitation Fτ = -mg synd φ."Minus" tecken innebär att den tangentiella komponenten är inriktad på den motsatta sidan av pendeln.Utser med x pendel förskjutning längs en cirkelbåge med radien L av dess vinkelförskjutningen är lika med O = x / L.Isaac Newtons andra lag, avsedd för projektioner av vektorn acceleration och ge den önskade värde:
mg τ = Fτ = -mg sinx / L
Baserat på detta förhållande är det tydligt att pendeln är ett olinjärt system, eftersom den kraftsom tenderar att återföra den till ett jämviktsläge är inte alltid är proportionell mot förflyttningen av x, och sin x / L.
Först när den matematiska pendeln utför små vibrationer, är det den harmoniska oscillatorn.Med andra ord, det blir ett mekaniskt system som kan utföra harmoniska svängningar.Denna approximation gäller för nästan vinklar 15-20 °.Pendulum med stora amplituder är inte harmonisk.
Newtons lag för små svängningar i en pendel
Om det mekaniska systemet utför små svängningar, kommer den 2: a lag Newton se ut så här:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
På grundval av detta kan vi dra slutsatsen att den tangentiella accelerationen av en enkel pendel är proportionell mot dess förskjutning med tecknet "minus".Detta är ett tillstånd varigenom systemet blir en harmonisk oscillator.Modul proportionalitetsfaktor mellan förskjutningen och accelerationen är lika med kvadraten på vinkelfrekvensen:
ω02 = g / L;ω0 = √ g / L
Denna formel återspeglar den naturliga frekvensen för små svängningar av denna typ av pendeln.På grundval av detta
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Beräkningar baserade på lagen om energins bevarande
Egenskaper hos oscillerande rörelse pendeln kan beskrivas med hjälp av lagen om energins bevarande.Man bör komma ihåg att den potentiella energin hos pendeln i ett gravitationsfält är lika med:
E = mgΔh = mgl (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
fullständig mekanisk kinetisk energi lika med eller maximala potential: Epmax = Ekmsx = E
När du har skrivit lagen om bevarande av energi, ta derivatan av vänster och höger sida av ekvationen:
Ep + Ek = konst
Sedan derivatan av de konstanta värden som är lika med 0, sedan (Ep + Ek) = 0. derivatet är lika med summan avsum-derivat:
Ep '= (mg / l * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (V2)= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
sätt:
Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m a) = 0.
Från sista formel hittar vi:α = - g / I * x.
Praktisk tillämpning av matematisk pendel
tyngdaccelerationen varierar med latitud, eftersom tätheten av jordskorpan på planeten är inte samma sak.Om sten ske med högre densitet, kommer det att vara något högre.Acceleration av matematisk pendel används ofta för prospektering.I söker hjälp av en mängd olika mineraler.Helt enkelt räkna antalet oscillationer hos en pendel, kan hittas i tarmarna av jorden kol eller malm.Detta beror på det faktum att dessa resurser har en densitet och större massa än som ligger under lösa stenar.
matematisk pendel som används av sådana framstående forskare som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarchos, Arkimedes.Många av dem trodde att det mekaniska systemet kan påverka ödet och människans liv.Arkimedes använde en matematisk pendel på hans beräkningar.Numera har många synska och ockultister använder denna mekaniska system för genomförandet av sina profetior, eller sökandet efter försvunna personer.
berömda franska astronomen och vetenskapsman K. Flammarion för sin forskning också använt matematiska pendeln.Han hävdade att med hans hjälp kunde han förutse upptäckten av en ny planet, utseendet på Tunguska meteorit, och andra viktiga händelser.Under andra världskriget i Tyskland (Berlin) är en specialiserad institut pendeln.Idag, sådan forskning engagerade i München Institute of Parapsychology.Hans arbete med pendeln personal för denna institution som kallas "radiesteziey."
