En av de grundläggande grenar av matematisk analys är integralkalkyl.Det täcker brett fält av objekt, där den första - det är en obestämd integral.Placera den som nyckeln är det tillbaka i high school visar ett ökande antal framtidsutsikter och möjligheter, som beskriver den högre matematiken.
utseende
Vid första anblicken verkar det fullständigt integrerad modern, aktuell, men i praktiken visar det sig att han hade dykt upp i 1800 BC.Hemland är officiellt anses Egypten som inte har överlevt tidigare bevis för dess existens.Det på grund av bristande information, hela tiden placeras helt enkelt som ett fenomen.Det bekräftar återigen nivån på den vetenskapliga utvecklingen för folken i dessa tider.Slutligen konstaterades skrifter antika grekiska matematikerna, med anor från den 4: e århundradet före Kristus.De beskriver den metod som används när det obestämda gral, som kännetecknas av var att hitta volymen eller arean av den böjda formen (tre-dimensionella och två-dimensionella planet, respektive).Principen om beräkning baserad på fördelningen av de ursprungliga figur oändligt komponenter, förutsatt att den volym (area) av redan kända.Med tiden, metoden har vuxit, Arkimedes använde den för att hitta den del av parabel.Liknande beräkningar samtidigt, och genomföra övningar i det gamla Kina, där de var helt oberoende från den grekiska kolleger vetenskap.
Development
nästa genombrott i XI-talet f.Kr. har blivit arbete arabiska forskare "vagn" Abu Ali al-Basri, som sköt gränserna för de redan kända, härrör från integralformel för att beräkna summan av de belopp och grader från den första tillFör det fjärde, med användning av detta vet vi metoden för matematiska induktion.
sinnen dag beundrar hur de gamla egyptierna skapade de fantastiska monument utan specialverktyg, möjligen med undantag av hans händer, men inte kraften i sinnet vetenskapsmän tiden inte mindre ett mirakel?Jämfört med den nuvarande tiden i livet verkar nästan primitiv, men beslutet av obestämda integraler härledas överallt och används i praktiken för vidareutveckling.
nästa steg inträffade i XVI-talet, när italienska matematiker tog Cavalieri metod för indivisibles, som plockade upp Pierre de Fermat.Dessa två personlighet lade grunden för den moderna integralkalkyl, som är känd för tillfället.De band begreppen differentiering och integration, som tidigare uppfattades som självständiga enheter.I stort har matematik på den tiden blivit krossade, slutsatserna från partiklar finns själva, med begränsad räckvidd.Way förenings- och sökandet efter en gemensam grund var den enda sanna just nu, tack vare honom, hade modern matematisk analys möjlighet att växa och utvecklas.
Med tidens gång förändrar allt, och notation av integralen också.I stort sett har forskare utsåg det på sitt eget sätt, till exempel använde Newton en fyrkantig ikon, som satte en integrerbar funktion, eller helt enkelt sätta ihop.Denna skillnad varade till sextonhundratalet när ett landmärke för hela teorin om matematisk analys forskare Gottfried Leibniz infördes som en symbol bekant för oss.Den långsträckta "S" är faktiskt bygger på den bokstav i alfabetet, som representerar summan av primitiver.Namnet på den integrerade berodde på Jacob Bernoulli, efter 15 år.
formell definition av obestämd integral beror på definitionen av primitiva, så vi anser att det i första hand.
Det primitiva - är det den omvända funktionen av derivatet, i praktiken kallas primitiv.Med andra ord: primitiv funktion av d - är en funktion D, är derivatan lika med v & lt; = & gt;V = v.Sök det primitiva är, beräkningen av det obestämda gral, och processen kallas integrationen.
Exempel:
funktionen S (y) = Y3, och dess primitiva S (y) = (y4 / 4).
uppsättning av alla stammar av funktionen - det är en obestämd integral, det anges på följande sätt: ∫v (x) dx.
Eftersom V (x) - Dessa är några av de ursprungliga primitiva funktion, har vi ett uttryck: ∫v (x) dx = V (x) + C, där C - konstant.Enligt godtycklig konstant varje konstant, eftersom dess derivat är noll.
Properties
egenskaper som har en obestämbar integral, baserat på de definitioner och egenskaper av derivat.
Tänk viktiga punkter:
- integral derivat av det primitiva är själv primitiva, plus en godtycklig konstant C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- derivat av integralen av funktionen är den ursprungliga funktion & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstant avlägsnas från integraltecknet & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, där k - är godtycklig;
- integral, som tas från summan av identiskt lika med summan av integraler av & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
De två sista egenskaperna kan slutsatsen dras att den obestämda integralen är linjär.På grund av detta har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Att konsolidera överväga exempel på lösningar obestämd integraler.
nödvändigt att finna integralen ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Från exemplet kan vi dra slutsatsen att man inte vet hur man handskas med obestämbar integraler?Bara hitta alla stammar!Men sökandet efter de principer som beskrivs nedan.
metoder och exempel
För att lösa integralen, kan man ta till följande metoder:
- tabell klar att använda;
- integreras med delar;
- integreras genom att ersätta variabeln;
- uppgörelse under tecknet av differentialen.
tabeller
enklaste och trevligt sätt.Just nu kan den matematiska analysen skryta ganska omfattande tabeller som stavas de grundläggande formler obestämda integraler.Med andra ord, det finns mönster som härrör till dig och du kan bara dra nytta av dem.Här är en lista över grundläggande tabellpositioner, vilket kan visa nästan samtliga fall har en lösning:
- ∫0dy = C, där C - konstant;
- ∫dy = y + C, där C - konstant;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, där C - en konstant, och n - skiljer sig från antalet enheter;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, där C - konstant;
- ∫eydy = ey + C, där C - konstant;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, där C - konstant;
- ∫cosydy = siny + C, där C - konstant;
- ∫sinydy = -cosy + C, där C - konstant;
- ∫dy / cos2y = TGY + C, där C - konstant;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, där C - konstant;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, där C - konstant;
- ∫chydy = blyg + C, där C - konstant;
- ∫shydy = chy + C, där C - konstant.
Om du vill göra ett par trappsteg leder integ till en tabell vy och njuta av segern.Exempel: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Enligt beslutet är det tydligt att för tabellenExempel integ saknar multiplikatorn 5. Vi lägga till den parallellt med detta multiplicera med 1/5 allmänna uttryck förändrades inte.
Integration av delarna
Betrakta två funktioner - z (y) och X (y).De måste vara kontinuerligt deriverbar på sin domän.Som en av de egenskaper differentiering har: d (xz) + = Xdz ZDX.Att integrera båda sidor, vi får: ∫d (xz) = ∫ (Xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
Skriva den resulterande ekvationen, vi får en formel som beskriver metoden för integration av delar: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Varför är det nödvändigt?Det faktum att några exempel kan förenkla, relativt sett, för att minska ∫zdx ∫xdz, om den senare är i närheten av en tabellform.Dessutom kan denna formel användas mer än en gång, för optimala resultat.
Hur löser obestämda integraler detta sätt:
- nödvändigt att beräkna ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- måste beräkna ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = s (LNS-1) + C.
Replacement variabel
Detta principbeslut om obestämda integraler i efterfrågan inte mindre än de två föregående, men komplicerat.Förfarandet är som följer: Låt V (x) - integralen av någon funktion v (x).I händelse av att i sig ett stycke av fångsterna slozhnosochinenny exempel, kommer sannolikt att bli förvirrad och gå till fel lösningar.För att undvika detta praktiseras övergång från variabeln x till z, där ett allmänt uttryck visuellt förenklade bibehållen z beroende på x.
I matematiskt språk är följande: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), där x =y (z) - substitution.Och, naturligtvis, den inversa funktionen z = y-1 (x) till fullo beskriver förhållandet och förhållandet mellan variablerna.Viktigt - differential dx nödvändigtvis ersätts med den nya differential dz, eftersom förändringen av variabel i obestämd integral handlar om att ersätta den överallt, inte bara i integ.
Exempel:
- måste hitta ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
tillämpa substitutions z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Sedan 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Som ett resultat, följande uttryck, som är mycket lätt att beräkna:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- måste hitta integrerad ∫2sesdx
att ta itu skriva uttrycket i följande form:
∫2sesds = ∫ (2e) sds.
beteckna en = 2e (ersätter argumentet detta steg är inte, är det fortfarande s), ge vår till synes komplexa, en integrerad del av grundläggande tabellform:
∫ (2e) sds = ∫asds = som / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.
Wrap under tecknet hos differential
I stort denna metodobestämda integraler - tvillingbror av principen om byte av variabeln, men det finns skillnader i processen för registrering.Överväg detalj.
Om ∫v (x) dx = V (x) + C och y = z (x), sedan ∫v (y) dy = V (y) + C.
Vi får inte glömma de triviala integrerade transformationer, blanddär:
- dx = d (x + a), och varvid - varje konstant;
- dx = (1 / a) d (ax + b), där en - konstant igen, men inte noll;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Om vi betraktar det allmänna fallet när vi beräknar obestämd integral, kan exempel föras enligt den allmänna formeln w '(x) dx = dw (x).
Exempel:
- måste hitta ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.
Online hjälp
I vissa fall, felet som kan vara eller lättja, eller ett akut behov, du kan användaOnline tips, eller snarare, för att använda en miniräknare obestämda integraler.Trots den uppenbara komplexitet och kontroversiella natur integral, är deras beslut föremål för en viss algoritm, som bygger på principen "om du inte ... då ...".
Naturligtvis kommer mycket intrikata exempel på denna räknare inte behärska, eftersom det finns fall där ett beslut måste hitta ett artificiellt "tvingas" genom att införa vissa element i processen, eftersom resultatet inte är uppenbara sätt att uppnå.Trots den kontroversiella natur detta uttalande, det är sant, som matematik, i princip, en abstrakt vetenskap, och dess främsta mål anser att det är nödvändigt att utvidga gränserna för möjligheter.Faktum är att för en smidig run-in teorierna är mycket svårt att flytta upp och utvecklas, så att inte anta att exempel på lösning av obestämda integraler, som gav oss - det är höjden av alternativ.Men tillbaka till den tekniska sidan av saken.Åtminstone att kontrollera beräkningarna, kan du använda tjänsten där det preciseras till oss.Om det finns ett behov av automatisk beräkning av komplexa uttryck, då de inte behöver tillgripa en mer allvarlig programvara.Det är nödvändigt att uppmärksamma primärt på miljön MATLAB.
ansökningen
besluts obestämda integraler vid första anblicken verkar helt skild från verkligheten, eftersom det är svårt att se den uppenbara användningen av planet.I själva verket, deras användning som helst direkt omöjligt, men de anses nödvändiga mellanelement i processen för tillbakadragandet av lösningar som används i praktiken.Så, tillbaka till integrationen av differentiering och därmed aktivt delta i arbetet med att lösa ekvationer.
i sin tur dessa ekvationer har en direkt inverkan på beslutet om ett mekaniskt problem, beräkning av banor och värmeledningsförmåga - kort sagt, allt det som utgör den nuvarande och forma framtiden.De obestämda integral, exempel som vi har övervägt ovan, endast triviala vid en första anblick, som en bas för att genomföra fler och fler nya upptäckter.
