Reella tal och deras egenskaper

Pythagoras hävdade att antalet är grunden för världen på lika villkor med de grundläggande elementen.Platon ansåg att antalet länkar fenomenet och noumenon, bidrar till att veta, vägas och dra slutsatser.Aritmetik kommer från ordet "arifmos" - nummer, utgångspunkten i matematik.Det är möjligt att beskriva alla objekt - från grundläggande till äpple abstrakta utrymmen.

behöver som en faktor

I den inledande fasen i samhället behöver människor begränsas av behovet av att hålla poäng -. En påse med spannmål, två säckar av säd, och så vidare D. För att göra detta, var naturliga tal, varav det uppsättningen en oändlig sekvens av positiva heltalN.

Senare, med utvecklingen av matematiken som vetenskap, var det nödvändigt att skilja området heltal Z - den innehåller negativa värden och noll.Hans framträdande på hushållsnivå utlöstes av det faktum att den första redovisningen hade på något sätt fixa skulder och förluster.På den vetenskapliga nivån, negativa tal gjort det möjligt att lösa enkla linjära ekvationer.Bland annat är det nu möjligt att avbilda trivialt koordinatsystem, dvs. A. Fanns riktmärke.

Nästa steg var att behöva ange bråktal, eftersom vetenskapen inte stå stilla, fler och fler nya upptäckter krävde en teoretisk ram för en ny push tillväxt.Så det var ett fält av rationella tal Q.

äntligen upphört att möta kraven från rationalitet, eftersom alla nya rön kräver motivering.Där gäller reella tal R, verk av Euklides gripbara bristen på vissa variabler på grund av deras irrationalitet.Det vill säga, antalet grekiska matematiken placerade inte bara som en konstant, men som en abstrakt värde som kännetecknas av förhållandet mellan ojämförbara storheter.På grund av det faktum att det finns reella tal, "såg ljuset" storheter som "pi" och "e", utan vilken moderna matematiken inte skulle ha ägt rum.

Slut innovation var ett komplext tal C. Det svarat på ett antal frågor och förnekade tidigare inmatade postulat.På grund av den snabba utvecklingen av algebra utfall var förutsägbar - med reella tal, var det inte möjligt att beslut många problem.Till exempel, med komplexa tal stod ut strängteori och kaos utökade ekvationer av hydrodynamik.

Set Theory.Cantor

begreppet oändlighet har alltid orsakat kontroverser eftersom det var omöjligt att bevisa eller motbevisa.När det gäller matematik, som drivs strikt kontrollerade postulat, visar det sig mest tydligt, särskilt som teologiska aspekter fortfarande vägas inom vetenskapen.

Men genom arbetet med matematikern Georg Cantor tiderna föll på plats.Han visade att det finns en oändlig mängd oändlig set, och att fältet R är större än fältet N, låt dem båda och har inget slut.I mitten av artonhundratalet, hans idéer högljutt kallas nonsens och ett brott mot klassiska oföränderliga kanon, men tiden kommer att sätta allt på sin plats.

grundläggande egenskaper av fältet R

faktiska siffror inte bara har samma egenskaper som podmozhestva att de inkluderar, men kompletteras med annan effekt masshabnosti dess element:

Zero existerar och tillhör fältet R. c + 0 =c för alla c av R.
Zero finns och tillhör fältet R. c x 0 = 0 för alla c av R.
förhållandet c: d om d ≠ 0 existerar och är giltig för alla c, d R.
Golf R beställs, det vill säga om c ≤ d, d ≤ c, d är av R.
Addition i R då c = d för alla c kommutativ, det vill säga c + d = d + c för alla c,d hos R.
multiplikation i R är kommutativ, är att c X d = d X c för varje c, d är enligt R.
Tillsats i forskning en associativ, dvs (c + d) + f = c+ (d + f) för varje c, d, f R.
multiplikation i R är associativ, dvs (c x d) x = f x c (d x f) för varje c, d, f R.
För varje nummer av fältet R existerar sin motsats, så att c + (-c) = 0, där c, -c från R.
För varje nummer av fältet R där mitt emot honom, så att c x c-1 = 1 där c, c-1 R.
enhet finns och tillhör R, så att c 1 = c x, c för varje R.
Gäller distributiva lagen, så att c x (d + f) = c d x + c x f, för varje c, d, f från R.
i R inte är lika med noll till ett.
fälts-R är transitiv: om d ≤ c, d ≤ f, då f ≤ c för alla c, d, f R.
fälts-R och ordning i varandra: om d ≤ c, då c + f ≤d + f för alla c, d, f R.
R fältet multiplikation förfarandet och länkad: Om 0 ≤ c, d ≤ 0, sedan 0 ≤ c x d för alla c, d R.
Som negativoch positiva reella tal är kontinuerliga, det vill säga för varje C föreligger d hos Rf i R, så att c ≤ f ≤ d.

modulen i R

Reella tal inkluderar en sådan sak som en modul.Det betecknar både | f | för alla f i R. | f | = f, om 0 ≤ f och | f | = f, om 0 & gt;f.Om vi anser att modulen som ett geometriskt värde representerar den tillryggalagd sträcka - om "passerade" dig som noll i den negativa till den positiva eller framåt.

Komplexa och reella tal.Vilka är likheterna och skillnaderna?

av och stora, komplexa och reella tal - är densamma, förutom att den första har anslutit sig till den imaginära enheten i, vars kvadrat är -1.Element fält R och C kan representeras med följande formel:

c = d + f ^ i, där d, f tillhör fältet R, och i - imaginära enheten.

att få ci R när det gäller f helt enkelt antas vara noll, så finns det bara den reella delen av numret.Eftersom den komplexa fältet har samma funktioner som den verkliga fältet, f x i = 0 om f = 0.

gäller praktiska skillnader, till exempel inom forskning andragradsekvation kan inte lösas om diskriminanten negativamedan fältet C inte någon sådan begränsning, på grund av införandet av den imaginära enheten i.

Resultat

"tegelstenar" av axiom och postulat på vilken matematiken inte förändras.På vissa av dem på grund av ökningen av information och införandet av nya teorier placeras följande "tegelstenar" som skulle kunna ligga till grund för nästa steg.Exempelvis naturliga tal, trots det faktum att de är en undergrupp av den verkliga fält R, inte förlorar sin relevans.Det är på grund av dem alla elementära aritmetik, som börjar kunskapen om en fredens man.

Ur praktisk synvinkel, de reella talen ser ut som en rak linje.Det är möjligt att välja riktning, för att beteckna ursprung och tonhöjd.Direkt består av ett oändligt antal punkter, som var och en motsvarar en enda reellt tal, oberoende av om eller inte det är effektivt.Av beskrivningen är det tydligt att vi talar om begreppet, som bygger på matematik i allmänhet och matematisk analys i synnerhet.