(bir nokta ve bir vektör ve iki sayı, üç nokta, vb vektör tarafından) farklı şekillerde tanımlanabilir.Bu çeşitli olabilir uçağın bu denklemde yer almaktadır.Ayrıca, bazı koşullar altında düzlemi olabilir paralel, dikey, kesişen, vs.Bu ve bu makalede tartışma.Biz uçak ve sadece genel denklemi yapmak öğreneceksiniz.
Normal denklemi
dikdörtgen sistemi XYZ koordinat sahip bir boşluk R3 bulunduğunu varsayalım.Biz vektör a sonlarına doğru ilk nokta A'dan çıkacak vektör α, buna dik düzlem P, çizmek tanımlar.Keyfi bir nokta Q = (x, y, z) hakkında
Let P.Q noktasına yarıçapı vektör mektup p imzalamak.Vektör a uzunluğu p = IαI ve Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) eşittir.
bir tarafına yönlendirilir birim vektör, yanı sıra vektör α olup.α, β ve γ - Vektör Ʋ sırasıyla alanı x, y, z eksenleri, pozitif yönleri arasında oluşan açıdır.Vektör Ʋ QεP üzerindeki bir noktanın izdüşümü p (p, Ʋ) (p = r≥0) eşit olan, bir sabittir.
Yukarıdaki denklem duygusu, p = 0 yapar.Bu durumda tek düzlem P noktası D kesiştiği (α = 0), O noktasından serbest kökeni ve birim vektör Ʋ, hangi vektör Ʋ belirlenen anlamına gelir onun yön rağmen, P dik olacakimzalamak üzere.Önceki denklem vektör şeklinde ifade Uçağımız II, olduğunu.Ancak türünün koordinatları kadar olması:
P ya da daha büyük Bir normal şekilde uzayda düzlemin denklemini bulduk 0 eşittir.Koordinatlarda denklem sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayı çarpın Eğer
genel denklemi
, biz çok düzlemini tanımlar bu denklem eşdeğer edinin.- Sıfırdan farklı aynı zamanda sayıdır
İşte A, B, C: Bir görünüme sahip olacak.Bu denklem, genel formu düzlemi denklem şu şekilde ifade edilir.Uçağın
denklemi.Genel bir şekilde özel olgular
denklemi aşağıdaki koşulları karşılayan modifiye edilebilir.Bazıları düşünün.
katsayısı A Bu düzlem Ox ekseni verilen paralel olduğu anlamına gelir 0'a eşit olduğu varsayılmaktadır.Vu + Cz + D = 0: Bu durumda, denklem şeklinde değiştirin.Denklemin
benzer biçim değiştirebilir ve edecektir aşağıdaki koşullarda:
- First, B = 0, sonra Ax + Cz + D = 0 denklem değişir y eksenine paralel işaret eder.
- İkincisi, C = 0 ise, denklem Ax + By + D = 0 dönüşür, önceden belirlenmiş bir eksene Oz paralel hakkında konuşmak olacaktır.
- Üçüncü olarak, D = 0, denklem düzlem O (orijin) kestiği anlamına gelir Ax + By + Cz = 0, gibi görünecektir.
- Dördüncü olarak, A = B = 0, o zaman Oxy paralel kanıtlayacak Cz + D = 0 Denklem dönüşür.
- Beşinci olarak, B = C = 0, denklem düzlemi Oyz paralel olduğu anlamına gelir Ax + D = 0, olur.
- Altıncı, A = C = 0 ise, denklem formu Vu + D = 0 alır sonra rapora Oxz paralel olacaktır.A numarası, B, C, D sıfırdan farklı olması durumunda
kesitlerinde
tipi denklemler, (0) gibi olabilir, şu denklem biçimi aşağıdaki gibidir:
x / a + y / b + z / a= 1,
burada a = -D / A b = -D / B, c = -D / C
adet uçağın bir sonucu denklemini alın.(0, b, 0) ve Oz - - (0,0, s) bu düzlem ekseni koordinatlarında Ox (a, 0,0), Dy kesişecek not edilmelidir.
denklemi x / a + y / b + z / C = 1 göz önüne alındığında, bir koordinat sistemine verilen düzleminin yerleştirilmesini görselleştirmek için kolaydır.
düzlem P normal vektör
normal vektör n koordinatları düzlemi, yani, genel denklemi katsayılardır koordinatları vardır n (A, B, C).
Normal n koordinatlarını belirlemek amacıyla, belirli bir düzlemin genel denklemi bilmek yeterlidir.
olan bölümlerdeki denklemler kullanılarak zaman bir şekilde x / a + y / b + z / C = 1, aşağıdaki genel denklemi kullanırken herhangi bir normal vektör, belirli bir düzlem koordinatları yazılabilir: (1 / a + 1 / b +1 / s).
değerinde normal vektör çeşitli sorunları çözmek için yardımcı olduğunu kaydetti.En yaygın sorunları, dik ya da paralel düzlemler bir kanıtı, uçaklar ve satırlar arasındaki düzlemler veya açıları arasında açıları bulma görevidir.Belirli bir uçak için noktanın koordinatlarının ve (normal), normal olarak adlandırılan belirli bir düzleme dik normal vektör
sıfır olmayan vektör n, uygun
görünümü düzlem denklemi.
alan (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz sordu koordinat varsayalım:
- Mₒ noktasını koordinatlarla (hₒ, uₒ, zₒ);
- sıfır vektörü n = i j + B C * k + A *.
gerektiğinde, normal Mₒ n dik noktasından geçen düzlemin denklemini yapmak.Uzayda
herhangi bir keyfi noktasını seçmek ve onun M (x y, z) izin verin.Herhangi bir nokta M (x, y, z) yarıçapı vektörü Let r = x * i + y * j + z * k ve nokta Mₒ yarıçapı vektörü (uₒ, hₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i uₒ +* + zₒ * k j.Vektör MₒM n dik olup olmadığını noktası M, belirli bir düzlemin aittir.Biz skaler ürünün vasıtasıyla ortogonalite koşulu Grup: MₒM = r-rₒ yana
[MₒM, n] = 0
, uçağın vektör denklemi aşağıdaki gibi görünecektir:
[r - rₒ, n] = 0.
Bu denklem, farklı bir şekle sahip olabilir.Denklemin Bu amaçla, skaler ürünün özelliklerine ve transforme edilmiş sol tarafı için.[r - rₒ n] = [r, n] - [rₒ, n].[Rₒ, n] s olarak ifade ederse, biz aşağıdaki denklem elde ederiz: [r, n] - düzleme ait Verilen noktaların yarıçapı-vektörlerin normal vektör üzerindeki çıkıntıların tutarlılığını ifade c = 0 veya [r, n] = s.
Şimdi kayıt tür Uçağımız vektör denklemi koordinat alabilirsiniz [r - rₒ, n] = 0 r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k bu yanave n = i + A * j + B C * * k, var:
dik Normal n noktasından geçen düzlemin eden denklem oluşturulur çıkıyor:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.Iki nokta koordinatlarıyla bir vektör eşdoğrusal düzlemi
iki nokta M Tanımla '(x', y ', z') ve M '(x', y ", z) 'a uygun düzlemi denkleminin
tipi, hem de vektör, bir(A ', A "ve ‴).
Şimdi belirli bir vektöre mevcut noktaları M 've M "ile yer alacak belirli bir düzlem, yanı sıra koordinatları ile herhangi bir nokta M (x, y, z) paralel eşit olabilir.
Bu M'M vektörleri {x, x ', y, y', ZZ '} ve M, "M = {x" -x, y' y 'z "-z'} eş düzlemli olmalıdırvektör, bir = (a ', a ", bir ‴) ve bu araçlar (M'M, M' E, a) = 0.,
biz üç puan (x ', y', z '), (x' olduğunu varsayalım üç puan kesişen
tipi denklem düzlemde y:
Yani uzayda bir uçağın bizim denklemi şu şekilde görünecektir"z"), (x ‴ mı ‴, z ‴), aynı hatta ait göstermemektedir.Bu belirtilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmak için gereklidir.Geometri teorisi sadece bir ve tek olduğunu, uçağın bu tür var olmadığını savunuyor.Bu düzlem noktası kesişen yana (x ', y', z '), kendi denklem biçimi aşağıdaki gibidir:
Burada A, B, ve C aynı zamanda sıfırdan farklıdır.Ayrıca belirli bir düzlem (x ', y', z ') ve (x ‴ mı ‴, z ‴) iki nokta kesişmektedir.Bilinmeyenler u, v, w
Şimdi denklem (lineer) üniform bir sistem oluşturabilir: Bu bağlantı koşullarına bu tür yapılmalıdır In
eden durumda, x, y veya z O tatmin rasgele nokta görünürDenklem (1).(1) denklemi ve denklem sistemini göz önüne alındığında (2) ve (3), yukarıdaki resimde gösterilen bir denklem sistemi, vektör tatmin N (A, B, C) nontrivial olan.Sistemin belirleyici sıfır olmasıdır.Elimizdeki
Denklem (1), bu düzlemin denklemidir.3 noktadan sonra o gerçekten gider ve kontrol etmek kolaydır.Bunu yapmak için, biz ilk satırda bulunan elemanların belirleyici ayrıştırmak.Determinantın mevcut özelliklerinin de ima aynı anda Uçağımız üç haçlar, başlangıçta verilen noktalar (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Var ‴, z ‴).Bu yüzden bizden önce koymaya karar verdim.Uçakları
dihedral açı arasındaki
dihedral açı aynı hattan gelen iki yarım düzlemden oluşan mekansal geometrik şekildir.Diğer bir deyişle, yarı düzlem ile sınırlı olan alan, bu bölümü.
olduğunu biliyoruz vektörler N = (A, B, C) ve düzlemler dik kümesine göre N¹ = (¹, H¹, S¹)
aşağıdaki denklemler iki uçak olduğunu varsayalım.Bu bağlamda, bu düzlemler arasında yer alan vektörler, N ve N¹ eşit açı (dihedral) arasında φ açısı.Skalar ürün ile elde edilir: | N || N¹ |
NN¹ = cos φ,
tam da
cosj = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + V²s² +)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
o 0≤φ≤π dikkate yeterlidir.J1 ve ÿÿÿÿÿÿÿj2: (dihedral) iki açıları oluşturmak için kesiştiği
aslında iki düzlem.Miktar onların π (φ1 + φ2 = π) eşittir.Onların cosines gelince, onların mutlak değerleri eşit, ama onlar φ1 = -cos φ2 çünkü, bir farklı işaretler vardır.Denklemde (0) sırasıyla A, B ve -A, -B ve C ve -C, denklemi yerine, biz edinin denklem cos φ φ içinde aynı düzlem, sadece açıyı belirleyecek = NN1 / | K|| N1 | π-φ yerini alacaktır.
dik düzleme dik
denklemi açısı 90 derecedir ve bunların arasında, düzlem denir.Yukarıda sunulan malzemeyi kullanarak, diğer dik bir düzlem denklemini bulabilirsiniz.Biz iki uçak olduğunu varsayalım: Ax + By + Cz + D = 0 ve A¹h + S¹z V¹u + D = 0.Biz onlar cosj = 0, eğer dik olduğunu söyleyebiliriz.Bu, AA¹ NN¹ = + VV¹ SS¹ = 0 anlamına gelir. denklemi paralel düzlem
Paralel ortak noktaları içermeyen iki uçak çağırdı.Paralel uçakların
durumu (kendi denklemler önceki paragrafta aynıdır) olduğu vektörleri N ve N¹, dikey onlara hangi collinear.Bu demektir ki, orantılılık şu koşullar sağlandı:
A / ¹ = V / H¹ = C / S¹.Orantılılık şartları uzatılırsa
- A / ¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
bu işaret, aynı veri düzlemi söyledi.Bu + Cz + D = 0 ve + A¹h V¹u S¹z tarafından denklem Ax + + D¹ = 0, tek bir uçağı tarif anlamına gelir.Alanına
düzleme
mesafesi Biz denklem tarafından verilen bir düzlem P, varsayalım (0) eklenmiştir.Bu koordinatlarla noktadan onu mesafeyi bulmak için gerekli olan (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Bunu yapmak için, normal formda düzlem P denklemi getirmek gerekir:
(ρ v) p (r≥0) =.Bu durumda
, ρ (x, y, z) n bulunan eden Q noktasına, yarıçapı vektörü, P - sıfır noktasından deşarj edilmiş dikey mesafe P, v - Bir yönünde bulunan birim vektördür.P sahip olduğu bir Q noktasına = (x, y, z), ve
farkı ρ-ρº yarıçap vektörü ve belirli bir nokta Q0 = yarıçapı vektörü (uₒ, hₒ, zₒ) olduğu bu gibi bir vektör, mutlak değer(ρ-ρ0, v) | | ama
(ρ-ρ0, v) = (
D =: kimin projeksiyonlar v mesafe = (hₒ, uₒ, zₒ) P Q0 bulmak için gerekli olan d, eşittirρ v) - (ρ0, v) (p = ρ0, v).| (Ρ0, v) p |
Bu
d = çıkıyor.
şimdi denklem uçağın normal form, nehrin sol shift ve x, y son yeri, z yerine kullanmanız gerekir, düzlem P Q0 arasındaki mesafe d hesaplamak için görüldü (hₒ, uₒ, zₒ).
Böylece, d aranan ortaya çıkan ifade mutlak değerini bulabilirsiniz.
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (² + V² + s²):
dil ayarlarını kullanarak, apaçık edinin.
belirli bir noktadaki Q0 vektörü ρ-p0, v arasında köken olarak düzlem P diğer tarafında ise bu şekilde bir geniş açı olduğu zaman:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p ve reaksiyon karışımı 0.
U aynı tarafında bulunan kaynaklı birlikte noktası Q0, oluşturulan açının dar olduğu durumda, yani:
d = (ρ-ρ0, h) p-= - (ρ0, v) gt;0.
sonucudur ilk durumda (ρ0, v) ve m, p, ikinci (ρ0, v) s.Iletişim Mº noktasında yüzeye düzlemi gelince
teğet düzlem ve denklemi
- yüzeyde bu noktadan çizilen eğri için mümkün olan tüm teğet içeren bir uçak.Yüzey F (x, y, z) = teğet noktası Mº teğet düzleminin 0 denkleminin denklemin Bu tür
(uº, hº, zº) şu şekilde görünecektir:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.Açıkça yüzey z = f (x, y) belirtirseniz
, teğet düzlem denklemi ile tanımlanır:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).Üç boyutlu uzayda iki uçakları
of
kavşak üst üste ve aynı değildir bir koordinat sistemi (dikdörtgen) Oxyz verilen iki düzlem P 've P "dir.Genel formül ile tanımlanmaktadır koordinat sistemi içinde dikdörtgen olan bir düzlemde, bu yana, n varsayılmaktadır 've n "denklemler A'x + V'u S'z + D tarafından verilen x + b" y + = 0 ve A ""D + z" ile = 0.Bu durumda, düzlem P 've normal n', (A ', B', C ') düzlemi P "normal n' (A ', B', C ') bulunur.Uçağımız paralel değildir ve uyuşmuyorsa gibi, bu vektörler collinear değildir.Matematik dilini kullanarak, bu durum şu şekilde yazılabilir var: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Kavşak P yatıyor düz bir çizgi edelim '' ∩ P ve P, bu durumda a = n içinde, mektupla bir ile gösterilir edilecek ''.
a - Bu nokta (genel) düzlemi P ', P ", bir dizi içeren bir doğrudandır.Bu, herhangi bir noktanın koordinatları hattına ait ve aynı anda denklemi A'x + V'u S'z + D '= 0 ve A "x + B" y + C "z + D" = 0 yerine getirmelidir anlamına gelir.
sonuç denklem sistemlerinin kararı (Genel) kesişme P 've P "noktası olacak hattın her noktada, koordinatları belirleyecek ve direkt belirlemek ve şudur: O, noktanın koordinatları aşağıdaki denklemler belirli bir çözüm olacakBir koordinat sistemi Oxyz (dikdörtgen) uzayda.
