-Line - е специален случай на четириъгълник, че има една двойка успоредни страни е.Терминът "Keystone" произлиза от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса".В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства.Също така, ние гледаме на това как да се изчисли на отделните елементи на геометрична фигура.Например, диагонала на равностранен трапец, средната линия, площ, и други. Материалът е представен в стила на популярната елементарната геометрия, т. Е. В леснодостъпна форма.
General
Първо, нека да се разбере какво четириъгълника.Тази цифра е специален случай на полигон с четири страни и четири върхове.Две върховете на четириъгълника, които не са в непосредствена близост, се наричат противоположност.Същото може да се каже и за двете не са съседни страни.Основните видове четириъгълници - успоредник, правоъгълник, диамант, квадрат, трапец и делтоидния мускул.
Така че обратно на трапец.Както казахме, тази цифра двете страни са успоредни.Те се наричат основи.Другите две (неуспоредни) - страни.Материалите на различни проучвания и изследвания много често можете да намерите на задачите, свързани с трапеци, чието разрешаване често изисква познания на студента, не е предвиден от програмата.Курсът на геометрията училище запознава студентите с качествата на ъгли и диагонали и средната линия на равнобедрен трапец.Но, различна от посочената в геометрична фигура има други функции.Но за тях по-късно ...
трапец
Видове Има много видове тази цифра.Въпреки това, повечето се съгласи да разгледа две от тях - равнобедрен и правоъгълен.
1. Правоъгълна Трапец - цифра, в която една от страните, перпендикулярна на основата.Тя има два ъгъла винаги са деветдесет градуса.
2. равнобедрен трапец - геометрична фигура, чиито страни са равни.А това означава, и ъглите в основата на двойки като равни.
от основните принципи на методи за изучаване на свойствата на трапец
до основните принципи включват използването на така наречения подход задача.Всъщност, не е необходимо да се влиза в теоретичен курс Геометрия на нови свойства на тази цифра.Те могат да бъдат отворени или в процеса на формулиране на различните задачи (по-добра система).Много е важно, че учителят знае какви задачи трябва да поставите пред студенти в даден момент от образователния процес.Освен това, всеки имот трапец могат да бъдат представени като основна задача в тази задача.
Вторият принцип е така наречената спирала организация на обучение "забележителна" собственост трапец на.Това предполага връщане към процеса на обучение към индивидуалните особености на геометрична фигура.Така, че е по-лесно за учениците, за да ги научат наизуст.Например, четири игрални точки.Това може да се докаже и в изследването на сходство, и след това с помощта на вектори.И на равни триъгълници, съседни страни на фигурата, е възможно да се докаже, като се използва не само свойствата на триъгълници с равни височини, извършени към страните, които лежат на една права линия, но и по формулата S = 1/2 (AB * sinα).Освен това, е възможно да се изработи на синусова теорема, изписани на трапец или правоъгълен триъгълник е описано на трапец, и така нататък D.
използването на "извънкласна" разполага с геометрична фигура в съдържанието на училищното игрище -. Многозадачна е технологията на тяхното преподаване.Постоянна препратка към изучаване на свойствата на преминаването на другата дава възможност на учениците да се научат на трапец-дълбоки и предлага решението на задачите.Така че, ние се пристъпи към изучаването на тази забележителна фигура.
елементи и свойства на равнобедрен трапец
Както вече писахме, в тази геометрична фигура страни са равни.И все пак тя е известна като право трапец.И каква е тя, така забележителна и защо е получил името си?Особеностите на тази цифра се отнася, че тя не само равни страни и ъгли в базите, но също и по диагонал.Освен това, ъглите на равнобедрен трапец, се равнява на 360 градуса.Но това не е всичко!От всички равнобедрен трапеци само около един кръг може да се опише.Това се дължи на факта, че сумата на противоположните ъгли на фигурата е 180 градуса, но само когато това условие може да се опише от кръг около QUAD.Следните свойства на геометрични фигури, се счита, че разстоянието от върха на база, която е противоположна на проекцията на върха на една права линия, която ще съдържа тази база ще бъде равна на средната линия.
Сега нека да разгледаме как да се намерят ъглите на равнобедрен трапец.Да разгледаме случая на решения на този проблем при условие че известните размери на стените на фигурата.Решение
обикновено правоъгълник е обозначена с буквите А, B, C, D, където BC и AD - фондация.Равнобедреният трапецовидни страни са равни.Предполагаме, че X е равна на техния размер, както и размерът на основата е Y, и Z (по-малки и по-големи, съответно).За да се извърши изчислението на ъгъла необходимо да се проведе във височина H. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB - хипотенузата, а BN и AN - краката са.Ние се изчисли размера на крака: С базова отнема по-малко и резултатът се разделя на 2. Пишем като формула: (ZY) / 2 = F. Сега, за изчисляването на остър ъгъл на триъгълника, които използваме COS функцията.Качваме се следният текст: COS (β) = X / F.Сега ние се изчисли ъгъла: β = Arcos (X / F).Освен това, знаейки единия ъгъл, можем да определим второто, защото е елементарна операция аритметика: 180 - β.Всички ъгли са определени.
Има втора решение на този проблем.В началото ние пропуснете от корнер да се изчисли стойността на височина H. крак на BN.Ние знаем, че квадрата на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни.Ние получаваме: BN = √ (X2 F2).На следващо място, ние използваме тригонометрични функции Тг.Резултатът е: β = arctg (BN / F).Малък ъгъл намери.След това, ние определяме тъп ъгъл, подобен на първия метод.
собственост диагоналите на равнобедрен трапец
пишат първите четири правила.Ако диагонала на равнобедрен трапец, перпендикулярна, тогава:
- височината на фигурата е сумата на базите, разделени на две;
- неговата височина и средна линия, са равни;
- площ на трапец е равна на квадрата на височината (средната линия, половината от сумата на базите);
- диагонал квадрат е половината от сумата от квадрата на бази или два пъти на квадрата на средната линия (височина).
Сега помислете формулата за определяне на диагонала на равностранен трапец.Тази информация може да бъде разделен на четири части:
дължина 1. Формула диагонално нея.
приема, че A - по-ниска база, B - горна C - равни страни, D - диагонал.В този случай, продължителността може да се определи, както следва:
D = √ (2 + A * B С).
2. Формула за дължината на диагонала на косинусова теорема.
приема, че - по-ниска база, Б - горната C - равни страни, D - диагонал, α (в долната основа) и β (горната основа) - ъглите на трапец.Качваме се по следната формула, с която можете да се изчисли дължината на диагонала:
- D = √ (A2 + S2-2A * На * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. Формула дължини на диагоналите на равнобедрен трапец.
приема, че A - по-ниска база, B - горна, D - диагонал, M - средна линия, H - височина, P - областта на трапец, α и β - ъгълът между диагоналите.Определяне на дължината на следните формули:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2М + H / sinα).
AdHoc равенство: sinα = sinβ.
4. Формула диагонално по дължина и височина на детайла.
приема, че A - по-ниска база, B - горна C - страни, D - диагонал, H - височина, α - ъгъл на долната основа.
определи продължителността на следните формули:
- D = √ (Н2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
елементи и свойства на правоъгълен трапец
Нека да видим какво е това интересни геометрични форми.Както казахме, имаме правоъгълен трапец два прави ъгъла.
Освен класическото определение, има и други.Например, един правоъгълен трапец - трапец, едната страна на който е перпендикулярна на субстрати.Или форми с отстрани ъгли.В този тип на височина трапецовидна е страната, която е перпендикулярна на основата.В средната линия - сегмент, свързваща средите на двете страни.Свойството на споменатия елемент е, че е успоредна на основата, и е равна на половината от тяхната сума.
Сега нека да разгледаме основните формули, които определят геометричните фигури.За да направите това, ние приемаме, че A и B - база;C (перпендикулярна на основата) и D - страна на правоъгълен трапец, М - средната линия, α - малък ъгъл, P - квадрат.
1. страна, перпендикулярна на основата, на фигура равна на височината (C = N), и е равна на дължината на втората странична А и синуса на α ъгъл на по-високо основа (С = A * sinα).Освен това е равна на произведението от тангенса на малък ъгъл α и разликата в бази: С = (А-В) * tgα.
2. Страната на D (не е перпендикулярна на основата), равна на частното от разликата от А и Б и косинус (α) малък ъгъл или частна височина фигура H и синусите малък ъгъл: A = (A-B) / COS α = C / sinα.
3. Страната, която е перпендикулярна на основата равен на корен квадратен от разликата между площад D - втора страна - и на квадрата на разликата между базите:
C = √ (Q2 (AB 2)).
4. Party Правоъгълна трапец е равна на корен квадратен от сумата на квадрат със страна C, а разликата между квадратни основи на геометрични форми: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. страна на C е равна на частното от сбора на двойно площта на неговите основания: C = P / M = 2n / (A + B).
6. зоната, определена от продукт M (средната линия на правоъгълен трапец) на височината или страната, перпендикулярна на основата: P = M * N = M * C.
7. Party C е равна на частното на два пъти площта на фигурата в работата на синусовия остър ъгъл и сумата от неговите основи: = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα) C.
8. Формула страна на правоъгълен трапец цялата му диагонала и ъгъла между тях:
- sinα = sinβ;
- С = (D1 * D2 / (А + В)) * sinα = (D1 * D2 / (А + В)) * sinβ,
където D1 и D2 - диагонал трапец;α и β - ъгълът между тях.
9. Формула страна чрез ъгъла на долната основа, а другите страни: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Тъй трапец с прав ъгъл е специален случай на трапеца, другите формули, които определят тези цифри ще се срещнат и правоъгълни.
Properties вписана окръжност
Ако условието се казва, че в правоъгълен трапец вписан кръг, можете да използвате следните свойства:
- сумата е сумата от страните основи;
- разстоянието от върха на правоъгълна форма за точките на контакт на вписан винаги е равен;
- равна на височината на страната на трапец, перпендикулярна на основата, и е равна на диаметъра на кръга;
- центъра на кръга е точката, в която се пресичат ъглополовящи на ъглите;
- ако страната е разделена на сегменти от точката на контакт H и M, а след това на радиуса на кръга е равен на корен квадратен от произведението на тези сегменти;
- четириъгълник, която се образува, допирните точки, на върха на трапеца и центъра на вписан кръг - квадрат на чия страна е равна на радиуса;
- площ от цифрата е равна на произведението на база половината сума и основание за нейната височина.
Подобна трапец
Тази тема е много полезно за изучаване на свойствата на геометрични фигури.Например, диагонално трапец разделя на четири триъгълници, и в близост до основи са подобни, и да се отстрани - от равни.Тази декларация може да се нарече собственост на триъгълници, които са счупени трапец диагоналите му.В първата част на това твърдение се доказва с посочване на сходство в двата ъгъла.За да докаже на втората част е по-добре да се използва метода по-долу.
Доказателството
приема, че фигура ABSD (AD и BC - основа на трапеца) е счупен диагонали на HP и AC.Пресечната точка - О. Ние получаваме четири триъгълници: AOC - на по-ниската база, BOS - на горната основа, ABO и копка на страните.Триъгълниците SOD и биофидбек имат обща височина в този случай, ако сегментите CD и OD са техните бази.Ние намираме, че разликата в техните райони (Р) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Следователно PSOD PBOS = / K.По същия начин, AOB триъгълници и биофидбек имат обща височина.Ние приемаме техните базови сегменти SB и ОА.Качваме се на PBOS / PAOB = CO / OA = K и PAOB PBOS = / К.От това следва, че PSOD = PAOB.
да консолидира материал се препоръчва на студентите да намерят връзка между областите на триъгълници, получени, която е счупена трапец диагоналите му, да вземе решение следващата задача.Известно е, че триъгълници BOS и ADP райони са равни, трябва да намерите областта на трапец.Тъй PSOD = PAOB, тогава PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD.От сходството на триъгълници BOS и ADP показва, че BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Следователно PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Качваме се на PSOD = √ (* PBOS PAOD).Тогава PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properties сходство
продължава да развива тази тема, можете да докажете на интересни характеристики на трапеци.По този начин, с помощта на приликата може да докаже, раздел собственост, която минава през точката, образуван от пресичането на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредни на основата.За да направите това ще реши следния проблем: трябва да се намери дължината на отсечката на RK, която минава през точката О. От сходството на триъгълници ADP и биофидбек следва, че AO / OS = BP / BS.От сходството на триъгълници ADP и ASB следва, че AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Това предполага, че PO = BS * BP / (BS + BP).По същия начин, от сходството на триъгълници MLC и DBS следва, че OK = BS * BP / (BS + BP).Това предполага, че PO = OK и RK = 2 * BS * BP / (BS + BP).Сегментът, минаваща през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основата и свързването на двете страни на разделения точката на пресичане на две.Нейната дължина - е средна хармонична от основите на фигурата.
разгледаме следния качеството трапец, който се нарича собственост на четирите точки.Точките на пресичане на диагоналите (D), пресечките продължават страни (Е) и средната основа (T и G) винаги лежат на една и съща линия.Това е лесно да доказва с сходство.Тези триъгълници BES и AED са подобни, и във всяка от тях, а медианата ET ТАРАЛЕЖ разделят ъгълът E в равни части.Следователно, буква Е, T и F лежат на една права.По същия начин, на същата линия са разположени по отношение на T, O, и G. Това следва от приликата на триъгълници BOS и ADP.Следователно, ние заключаваме, че всичките четири точки - E, T, O и F - ще лежат на една права линия.
Използвайки подобни трапеци, може да се предлага на учениците да се намери дължината на отсечката (LF), която разделя на две подобна фигура.Този сегмент трябва да бъде успоредна на базите.От получената трапец ALFD и LBSF подобно, базовата станция / LF = LF / AD.Това предполага, че LF = √ (BS * BP).Ние считаме, че сегментът се счупи като трапец на две, има дължина, равна на дължината на средната геометрична фигура база.
разгледаме следния собственост на сходство.Тя се основава на сегмента, която разделя на две равни трапец парчета с размер.Ние приемаме, че Keystone ABSD сегмент е разделен на две, като EN.От върха на В намали височината на този сегмент е разделен на две части BG - В1 и В2.Ние получи PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + EN) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Следваща съставяне на системата, първото уравнение е (BS EN +) * = В1 (AD + EN) * В2 и втората (BS EN +) * В1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.От това следва, че В2 / В1 = (BS EH +) / (AD + EH) и BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / В1).Ние намираме, че дължината на отсечката, разделяне на трапеца на две равни размер, равен на средния квадратното дължината на основата: √ ((BS2 + w2) / 2).Заключения
сходство
Така сме доказали, че:
1. отсечката, свързваща в средата на страните трапецовидни, успоредна на AD и BC и е равен на средния BC и AD (дължината на основата на трапеца).
2. Линията, преминаваща през точката на пресичане на паралелни диагонали AD и BC ще бъде равна на средна хармонична номерата на BP и BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Cut, чупене на трапец харесват, е с дължина от средна геометрична на бази BC и AD.
4. елемент, който разделя фигурата на две еднакви размери, е с дължина от средните квадратни номера на AD и BC.
за консолидиране на материала и разбирането на връзките между сегментите на студента е необходимо да им се изгради за определена трапец.Какво означава това?
.
