Triangle е многоъгълник с три страни (трите ъгъла).Най-честите нежелани представляват малки букви, съответната главна буква, която обозначава отсрещните върхове.В тази статия ще разгледаме в тези видове геометрични фигури, теоремата, която определя което е равно на сумата от ъглите на триъгълник.
Видове големите ъгли
следните видове многоъгълник с три върхове:
- остроъгълен, при което всички остри ъгли;
- правоъгълна като един прав ъгъл със страната на неговия образ, наречени крака, а страната, която е поставена срещу десния ъгъл се нарича хипотенузата;
- тъп, когато един ъгъл е тъп;
- равнобедрен, които двете страни са равни, и те се наричат странично, а третият - в основата на триъгълника;
- равностранен с три равни страни.
Properties
Има основни свойства, които са характерни за всеки вид на триъгълник:
- срещу голямата страна винаги има голям ъгъл, и обратно;
- противоположните страни на равна величина са равни ъгли, и обратно;
- някакви триъгълник има два остри ъгли;
- екстериора ъгъл е по-голям от всеки вътрешен ъгъл не е свързано с него;
- сума от всякакви два ъгъла винаги е по-малко от 180 градуса;
- екстериора ъгъл е равен на сбора на другите две ъгъла, които не са го mezhuyut.
теорема на сумата от ъглите на триъгълник
теорема гласи, че ако добавите до всички краища на геометрична фигура, която се намира в евклидовата равнина, тяхната сума ще бъде 180 градуса.Нека се опитаме да докажем това теорема.
Нека имаме произволен триъгълник с върхове KMN.Чрез топ M направи линия, успоредна на линията KN (дори и тази линия се нарича линия на Евклид).Трябва да се отбележи точка А по такъв начин, че точката К и са разположени на различни страни права MN.Качваме се на същия ъгъл и AMS MUF, които, подобно на вътрешния лъжата кръст да образуват пресичаща MN в сътрудничество с КН и магистърски линии, които са успоредни.От това следва, че сумата от ъглите на триъгълник намира във върховете на М и N е равен на размера на ъгъла на CMA.Всички три ъгъла състоят от сума, равна на сумата от ъглите CMA и MCS.Тъй като тези ъгли са вътрешни по отношение на едностранни паралелни линии CN и MA на рязане км, тяхната сума е 180 градуса.QED.
разследване
От над тази теорема предполага следния извод: всеки триъгълник има два остри ъгли.За да докаже това, нека приемем, че тази геометрична фигура има само един малък ъгъл.Също така, може да се приеме, че не е остър ъгъл не.В този случай, той трябва да е най-малко два ъгъла, величината на които е равна или по-голяма от 90 градуса.Но след това сумата от ъглите е по-голям от 180 градуса.И това не може да бъде, тъй като Теорема сума от ъглите на триъгълника е 180 ° - нито повече, нито по-малко.Това е, което трябваше да се докаже.
имоти извън ъгли
Каква е сумата на ъглите на триъгълника, които са външни?Отговорът на този въпрос може да се получи с помощта на един от двата метода.Първият е необходимостта от намиране на сумата от ъглите, които се вземат по едно на всеки връх, който е три ъгъла.Второто означава, че трябва да се намери сумата от шест ъглите във върховете.Да започнем с това споразумение Нека с първия.По този начин, на триъгълника има шест външни ъгли - на всеки връх от двете.Всяка двойка има равни ъгъл една към друга, защото те са вертикално:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Освен това е известно, че външния ъгъл на триъгълника е равно на сумата от двата вътрешни, не са mezhuyutsya с него.Затова
∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.
Оказва се, че сумата от външните ъгли са взети един по един в горната част на всеки от тях, ще бъде равен на:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 х (+ ∟A ∟V + ∟S).
Предвид факта, че сумата от ъглите е равен на 180 градуса, може да се твърди, че ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 ° = 360 °.Ако се използва втората възможност, след това сумата от шест ъгли ще бъде съответно по-голям удвоява.Това е сумата на външните ъгли на триъгълник ще бъде:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.
правоъгълен триъгълник
Какво е равен на сбора на ъгли на правоъгълен триъгълник е на острова?Отговорът, отново, от Теорема, който гласи, че ъглите на триъгълника добавят до 180 градуса.И нашите звуци твърдение (собственост), както следва: в триъгълника правоъгълен остри ъгли добавят до 90 градуса.Ние доказваме нейната истинност.Да бъде даден триъгълник KMN, което ∟N = 90 °.Ние трябва да докаже, че ∟K ∟M + = 90 °.
Така, според теоремата на сумата от ъглите ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.В това състояние се казва, че ∟N = 90 °.Оказва се, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Това е ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Това е, което трябва да имаме, за да се докаже.
В допълнение към горните свойства на правоъгълен триъгълник, можете да добавите тези:
- ъгли, които се намират срещу краката са остри;
- триъгълна хипотенуза е по-голяма от всяка част на краката;
- повече от сбора на хипотенузата на краката;
- катет на триъгълника, който се намира точно срещу ъгловите 30 градуса, а половината от хипотенузата, тоест тя се равнява на половината.
Като друг имот на геометричната форма може да бъде идентифициран Питагоровата теорема.Тя твърди, че в триъгълник с ъгъл от 90 градуса (правоъгълни) е равна на сбора от квадратите на краката на квадрата на хипотенузата.
сума от ъглите на равнобедрен триъгълник
По-рано казахме, че равнобедрен триъгълник се нарича многоъгълник с три върхове, съдържащи две равни страни.Този имот е известно геометрична фигура: ъглите в основата му са равни.Нека да докажем това.
Вземете триъгълник KMN, която е равнобедрен, SC - основата му.От нас се изисква да докаже, че ∟K = ∟N.Така че, нека приемем, че MA - ъглополовяща е нашият триъгълник KMN.Triangle MCA с първите признаци на триъгълник е равен MNA.А именно условието има предвид, че CM = HM, MA е обща страна, ∟1 = ∟2, защото AI - ъглополовяща.Използването на равнопоставеността на двата триъгълника, може да се твърди, че ∟K = ∟N.Следователно, теоремата е доказана.
Но ние се интересуваме, каква е сумата на ъглите на триъгълника (равнобедрен).Тъй като в това отношение все още няма, което предлага, ще започнем от теоремата обсъдено по-горе.Това означава, че можем да кажем, че ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, или 2 х ∟K ∟M + = 180 ° (както ∟K = ∟N).Този имот вече не се докаже като тя теорема сума от ъглите на един триъгълник се оказаха по-рано.
Също така това, свойствата на ъглите на триъгълника, има и такива важни отчети:
- в равностранен височина триъгълник, която е била намалена до основата, също е медианата, ъглополовящата на ъгъла, който е между равни страни, както и на оста на симетрия на основаването си;
- медианата (височина ъглополовяща), които се държат по стените на една геометрична фигура са равни.
равностранен триъгълник
Тя се нарича също така и правото, е триъгълника, които са равни на всички страни.А следователно и равни ъгли.Всеки от тях е 60 градуса.Ние доказваме този имот.
Нека приемем, че имаме един триъгълник KMN.Ние знаем, че КМ = NM = CL.Това означава, че в зависимост от ъгъла на собственост, разположена в основата на равностранен триъгълник, ∟K = = ∟M ∟N.Тъй като съгласно сумата от ъглите на триъгълник теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 х ∟K = 180 ° или ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Така dokazano.Kak на изявление вижда от по-горе въз основа на доказателството на теоремата, сумата от ъглите на равностранен триъгълник, като сумата от ъглите на всеки друг триъгълник е 180 градуса.Отново доказването на това теоремата не е необходимо.
все още има някои свойства, характерни за равностранен триъгълник:
- медиана, ъглополовяща, височина в такава геометрична фигура, са същите, както и тяхната дължина се изчислява като (а × √3): 2;
- ако опише многоъгълник около този кръг, а след неговия радиус е равен на (а х √3): 3;
- ако равностранен триъгълник вписан в окръжност, то радиусът ще бъде (и х √3): 6;
- площ от тази геометрична фигура се изчислява, както следва: (А2 х √3): 4.
тъп триъгълник
По дефиниция, тъпоъгълен триъгълник, един от ъглите му е между 90 до 180 градуса.Въпреки това, предвид това, че ъгълът на другите две геометрични фигури са остри, може да се заключи, че те не надвишават 90 градуса.Следователно, теоремата на сумата от ъглите на триъгълник работа при изчисляване на сумата от ъглите в тъп триъгълник.Така, можем спокойно да кажем, въз основа на по-горе теорема, че сумата от ъглите тъп триъгълника е 180 градуса.Отново, това теоремата не е необходимо да се възстанови доказателство.
