Един от основните клонове на математическия анализ е интегрално смятане.Тя обхваща широк областта на обекти, където първият - това е неопределен интеграл.Позиция него като най-важното е, че обратно в гимназията се разкрива все повече перспективи и възможности, които са описани по-високи математиката.
поява на
На пръв поглед това изглежда съвсем неразделна до модерна, достъпна, но на практика се оказва, че той се е появил през 1800 BC.Homeland е официално счита Египет, както не са оцелели по-ранната доказателства за неговото съществуване.Това се дължи на липсата на информация, като през цялото време просто позициониран като явление.Това още веднъж потвърждава нивото на научното развитие на народите от онези времена.Накрая беше доказано писанията на древните гръцки математици, датираща от 4 век преди новата ера.Те описват използвания метод, където неопределен интеграл, същността на която е да се намери обемът или областта на извитата форма (триизмерна и двуизмерна равнина, съответно).Принципът на изчисление на базата на разделението на оригиналните фигура безкрайно компоненти, при условие, че силата на звука (област) на вече известни.С течение на времето, методът е нараснал, Архимед го използва, за да се намери областта на параболата.Подобни изчисления, в същото време, както и да провеждат учения в древен Китай, където те са напълно независими от гръцкия колега наука.
развитие
следващия пробив в XI век преди новата ера се превърна работата на арабския учен "комби" Абу Али ал-Басри, който влезе в границите на вече познатото, са получени от интегралната формулата за изчисляване на сумите на сумите и степени от първия доЧетвърто, използвайки за това, което знаем метода на математическата индукция.
умове на днешния ден се възхищават как древните египтяни създали невероятни паметници без специални инструменти, може би с изключение на ръцете му, но не на силата на ума учени от онова време не по-малко чудо?В сравнение с настоящия момент от живота изглежда почти примитивен, но решението на неопределени интеграли изведени навсякъде и използвани в практиката за по-нататъшно развитие.
следващата стъпка е случило в XVI век, когато италиански математик донесе Cavalieri метод за indivisibles, които качват Пиер дьо Ферма.Тези две личността полага основите на модерната интегрално смятане, което е известно в момента.Вързаха концепциите за диференциация и интеграция, които преди това са били възприемани като самостоятелни единици.Като цяло, математиката на това време е бил разбити, заключенията на частиците съществуват сами по себе си, с ограничен обхват.Начин на сдружаване и търсенето на безспорно е единственият истински в момента, благодарение на него, модерната математическия анализ имаха възможност да растат и се развиват.
С течение на времето променя всичко, и означението на интеграл, както добре.Като цяло, учените са го определили по свой собствен начин, например, Newton използва квадратна икона, която сложи интегрируеми функция, или просто да се съберат.Това несъответствие е продължило до XVII век, когато ориентир за цялата теория на математическия анализ учен Готфрид Лайбниц въведена като символ познат ни.Удължената "S" е действително на базата на това буква от азбуката, като представлява сумата от примитиви.Името на интеграл се дължи на Якоб Бернули, след 15 години.
формално определение за неопределен интеграл зависи от дефиницията на примитива, за да можем да го разгледа на първо място.
примитивните - това е обратната функция на деривата, на практика тя се нарича примитивна.С други думи: примитивна функция на г - е функция D, производната е равен обем & LT; = & GT;V '= об.Търсене примитива е, изчисляване на Неопределен интеграл, а процесът се нарича интеграция.
Пример:
функция и (у) = y3 и примитивни неговите S (Y) = (y4 / 4).
набор от всички примитиви на функцията - това е неопределен интеграл, е посочено, както следва: ∫v (х) DX.
Тъй като V (х) - Това са някои от оригиналния примитивна функция, ние имаме един израз: ∫v (х) DX = V (х) + C, където C - постоянна.Под произволна константа означава всяко постоянно, тъй като неговото производно е нула.
Properties
свойства, които имат неопределен интеграл, на базата на дефинициите и свойствата на деривати.
Помислете ключови точки:
- неразделна производно на примитива себе си е примитивен, плюс произволна константа C & LT; = & GT;∫V "(х) DX = V (х) + C;
- производно на интеграл от функцията е оригиналната функция & LT; = & GT;(∫v (X) DX) '= V (X);
- постоянно се отстранява от неразделна знака & LT; = & GT;∫kv (х) DX = k∫v (х) DX, където к - е произволно;
- неразделна, която е взета от сумата на еднакво равна на сумата на интеграли на LT & = & GT;∫ (о (у) + w (у)) ди = ∫v (у) ди + ∫w (у) ди.
Последните две качества може да се заключи, че неопределен интеграл е линейна.Поради това, ние имаме: ∫ (кв (у) ди + ∫ лв (у)) ди = k∫v (у) ди + l∫w (у) ди.
да консолидира под внимание примери за решения неопределени интеграли.
необходимо да се намери неразделна ∫ (3sinx + 4cosx) DX:
- ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
От примера можем да заключим, че не знаете как да се справят с неопределен интеграл?Просто намери всички примитиви!Но търсенето на принципите, обсъдени по-долу.
методи и примери
, с цел решаване на интеграл, можете да прибегнете до следните методи:
- маса готов за употреба;
- интегриране на части;
- интегрирани чрез замяна на променливата;
- уреждане под знака на диференциала.
маси
-лесният и приятен начин.В момента, в математическия анализ могат да се похвалят доста широки маси, които разписани основните формули на неопределени интеграли.С други думи, има модели, извлечени за вас и можете да се възползвате само от тях.Ето списък на основните позиции на таблици, които могат да показват почти всяка инстанция, като взе решение:
- ∫0dy = C, където C - постоянна;
- ∫dy = у + C, където C - постоянна;
- ∫yndy = (ин + 1) / (п + 1) + С, където С - константа, и п - е различен от броя единици;
- ∫ (1 / г) ди = LN | Y | + C, където C - постоянна;
- ∫eydy = ей + C, където C - постоянна;
- ∫kydy = (Кентъки / Въ к) + C, където C - постоянна;
- ∫cosydy = siny + C, където C - постоянна;
- ∫sinydy = -уютна + C, където C - постоянна;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, където C - постоянна;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, където C - постоянна;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, където C - постоянна;
- ∫chydy = срамежлив + C, където C - постоянна;
- ∫shydy = CHY + C, където C - постоянна.
Ако искате да направите няколко крачки доведе до подинтегрален оглед таблична и се наслаждавайте на победата.Пример: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) г (5x - 2) = 1/5 х грях (5x - 2) + C.
Според него решението е ясно, че за масатаПример подинтегрален липсва множител 5. Ние го добавите в паралел с това се умножава по 1/5 до общ израз не се променя.
интегриране по части
разгледаме две функции - Z (у) и х (Y).Те трябва да бъдат непрекъснато диференцируема по своя домейн.Като един от свойствата на диференциация има: г (XZ) + = XDZ ZDX.Интегриране на двете страни, ще получите: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + ZDX) = & GT;ZX = ∫zdx + ∫xdz.
Пренаписване получената уравнението, получаваме формула, която описва метода на интегриране по части: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Защо е необходимо?Фактът, че няколко примера могат да опростят, относително казано, за да се намали ∫zdx ∫xdz, ако последният не е в близост до таблична форма.Също така, тази формула може да се използва повече от един път, за оптимални резултати.
Как да решим неопределени интеграли по този начин:
- необходимо да се изчисли ∫ (а + 1) e2sds
∫ (х + 1) e2sds = {Z = ите + 1, DZ = ДС, Y = 1 / 2e2s, ди= e2xds} = ((S + 1) E2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((S + 1) E2s) / 2-E2s / + 4 ° С;
- трябва да изчисли ∫lnsds
∫lnsds = {г = LNS, DZ = ДС / сек, Y = ите, Dy = ДС =} slns - ∫s х ДС / S = slns - ∫ds = slns -s+ C = S (LNS-1) + C.
променлива Замяна
Този принцип решение на неопределени интеграли в търсенето не по-малко от предишните две, макар и сложна.Методът е както следва: Нека V (X) - интеграл на някои функция V (X).В случай, че само по себе си неразделна улов slozhnosochinenny например, има вероятност да се объркате и да преминете към грешни решения.За да се избегне това се практикува преход от променливите х до Z, в която общ израз визуално опростени, като се поддържа Z в зависимост от х.
В математически език е както следва: ∫v (х) = DX ∫v (Y (Z)) Y '(Z) DZ = V (Z) = V (у-1 (х)), където х =у (щ) - смяна.И, разбира се, обратна функция на Z = Y-1 (х) напълно описва връзката и връзката между променливите.Важно - диференциална DX задължително се заменя с нов диференциал Dz, тъй като промяната на променливата в неопределен интеграл включва заменяйки я навсякъде, не само в подинтегрален.
Пример:
- трябва да се намери ∫ (а + 1) / (s2 + 2s - 5) DS
прилагат за смяна Z = (а + 1) / (s2 + 2s-5).Тогава 2sds = DZ = 2 + 2 (а + 1) DS & LT; = & GT;(S + 1) DS = DZ / 2.В резултат на следното уравнение, което е много лесно да се изчисли:
∫ (S + 1) / (S2 + 2S-5) DS = ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- трябва да се намери неразделна ∫2sesdx
За да се справи пренапише израз в следния вид:
∫2sesds = ∫ (2Е) SDS.
означават = 2e (подмяна на аргумента, тази стъпка не е, че все още е лидер), даде ни на пръв поглед сложен, неразделна част от основната си форма таблична:
∫ (2е) SDS = ∫asds = като / LNA+ C = (2е) и / LN (2е) + C = 2ses / LN (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Wrap под знака на диференциала
Като цяло, този методнеопределени интеграли - брат близнак на принципа на промяна на променлива, но има различия в процеса на регистрация.Помислете за подробности.
Ако ∫v (х) DX = V (х) + C и у = Z (х), а след това ∫v (у) ди = V (у) + C.
Ние трябва да не забравяме, тривиалните интегрални трансформации, средкъдето:
- DX = г (х + а), и при което - всяка постоянна;
- DX = (1 / а) г (брадва + б), където - постоянна отново, но не е нула;
- xdx = 1 / 2г (x2 + б);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = г (sinx).
Ако разгледаме най-общия случай, когато ние се изчисли неопределен интеграл, примери могат да бъдат поставени под обща формула w "(х) DX = ст (х).
Примери:
- трябва да намерят ∫ (2s + 3) 2ds, ДС = 1 / 2г (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2г (2s+ 3) = (1/2) х ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) х (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (КМБПЗК) / КМБПЗК = -ln | КМБПЗК | + C.
Online помощ
В някои случаи, неизправността която може да бъде или мързел, или неотложна необходимост, можете да използватеОнлайн съвети, или по-скоро, за да използват калкулатор неопределени интеграли.Въпреки очевидната сложност и противоречив характер на интегралите, тяхното решение е предмет на определен алгоритъм, който е изграден на принципа на "ако не ... тогава ...".
разбира се, много сложни примери за този калкулатор няма да се овладеят, тъй като има случаи, в които решение трябва да се намери на изкуствено "принудени" чрез въвеждане на някои елементи на процеса, тъй като резултатът не е очевидно, начини за постигане.Въпреки противоречивия характер на това изявление, че е вярно, тъй като математиката, по принцип, абстрактна наука, и нейната основна цел счита, че необходимостта да се разширят границите на възможностите.Наистина, за плавен навечерието в теориите е много трудно да се движи нагоре и да се развива, така че не се предположи, че примери за решаване на неопределени интеграли, които ни е дал - това е височината на опции.Но да се върнем на техническата страна на нещата.Най-малко, за да проверите изчисленията, можете да използвате услугата, в която то е било изписано за нас.Ако е необходимо, за автоматично изчисляване на сложни изрази, а след това те не трябва да се прибегне до по-сериозен софтуер.Необходимо е да се обърне внимание главно върху околната среда MatLab.Решения
Application
неопределени интеграли на пръв поглед изглежда напълно откъснати от реалността, защото е трудно да се види очевидното използване на самолета.Действително, тяхната употреба навсякъде директно невъзможно, обаче, те се считат за необходими междинен елемент в процеса на отнемане на разтвори, използвани в практиката.Така че, обратно към интеграцията на диференциация, като по този начин участват активно в процеса на решаване на уравнения.
На свой ред, тези уравнения имат пряко въздействие върху решението на механичен проблем, изчисляването на траектории и топлопроводимост - накратко, всичко, което представлява настоящето и оформяне на бъдещето.Неопределен интеграл, примери от които ние сме считани за по-горе, просто тривиално на пръв поглед, като база за извършване на все повече и повече нови открития.
