Disse geometriske former er alle omkring os.Konvekse polygoner er naturlige, såsom en honeycomb eller kunstige (menneskeskabte).Disse tal benyttes i produktionen af forskellige typer af belægninger, maling, arkitektur, udsmykning, etc.Konvekse polygoner har den egenskab, at alle deres punkter er på samme side af den linje, der passerer gennem et par hosliggende knudepunkter af den geometriske figur.Der er andre definitioner.En konveks polygon kaldes en, som er beliggende i en enkelt halvplan med hensyn til enhver linie indeholdende en af dens sider.
konvekse polygoner
Forløbet af elementære geometri behandles altid ekstremt simple polygoner.Hvis du vil se alle de egenskaber geometriske figurer er nødvendigt at forstå deres natur.Til at begynde at forstå, at lukket er en linje, hvis ender er de samme.Og tallet dannet af det, kan have en række forskellige konfigurationer.Polygon kaldes en simpel lukket polylinje hvis tilstødende enheder er ikke placeret på samme linje.Hendes links og knudepunkter er henholdsvis sider og hjørner af den geometriske figur.Simpel polylinje må ikke skærer sig selv.
nærliggende knudepunkter for polygonen kaldes, i tilfælde af at de er enderne af en af dens sider.En geometrisk figur, som har en n-th antal vertices, og dermed det n'te antal parter kaldes n-kant.Samu brudt linje kaldes grænsen eller konturen af geometrisk figur.Polygonal fly eller flade polygon kaldes den sidste del af enhver plan, de begrænset.Hosliggende sider i geometrisk figur kaldes de brudte linjesegmenter stammer fra en vinkelspids.De vil ikke være naboer, hvis de er baseret på forskellige knudepunkter for polygonen.
Andre definitioner konvekse polygoner
I elementær geometri, er der flere tilsvarende i betydning definitioner, angivelse af, hvad der kaldes en konveks polygon.Desuden er alle disse udsagn er lige sande.En konveks polygon er den, der har:
• hvert segment, der forbinder de to punkter inden for det, ligger helt i det;
• deri ligger alle sine diagonaler;
• interne vinkel er mindre end 180 °.
Polygon altid deler flyet i to dele.En af dem - begrænset (det kan være anbragt i en cirkel), og det andet - ubegrænset.Den første kaldes det indre område, og den anden - det ydre område af den geometriske figur.Dette er skæringspunktet mellem polygonen (med andre ord - den fælles del) af flere halve planer.Derudover hvert segment har ender på de punkter, der hører til polygonen, ejes fuldt ud af ham.
Arter konvekse polygoner
definition af en konveks polygon angiver ikke, at der er mange former for dem.Og hver af dem har visse kriterier.For konvekse polygoner, der har en indre vinkel på 180 °, kaldet buler lidt.Konveks geometrisk figur, der har tre toppe, kaldes en trekant, fire - quadrangle, fem - pentagon, og så videre D. Hver af de konvekse n-kant opfylder følgende vigtige krav:. N skal være lig med eller større end 3. Hver af trekanterne er konveks.Den geometriske figur af denne type, hvor alle de knudepunkter er på den samme cirkel, kaldet den indskrevne cirkel.Beskrevet konveks polygon kaldes, hvis alle dets sider rører cirklen omkring hende.To polygoner kaldes lig kun i tilfælde ved brug af overlejring kan kombineres.Flad polygon kaldes en polygonal plan (af planet), som er begrænset til denne geometrisk figur.
regelmæssige konvekse polygoner
regulære polygoner kaldes geometriske former med lige vinkler og sider.Inde i dem er der et punkt 0, som ligger lige langt fra hver af sine knudepunkter.Det kaldes centrum af denne geometrisk figur.Segment forbinder centrum med knudepunkter af den geometriske figur kaldet apothem, og dem, der tilslutter punkt 0 med parterne - radier.
korrekt firkant - en firkant.Den højre trekant kaldes ligesidet.For disse tal er der følgende regel: hvert hjørne af en konveks polygon er 180 ° * (n-2) / n,
hvor n - antallet af knudepunkter af den konvekse geometri.
område enhver regulær polygon bestemmes af formlen:
S = p * h,
hvor p er lig med halvdelen af summen af alle sider af polygon, og h er længden af apothem.
Properties konvekse polygoner
konvekse polygoner har visse egenskaber.Således, et segment, der forbinder de to punkter i en geometrisk figur, nødvendigvis placeret deri.Bevis:
antage, at P - den konvekse polygon.Tag to vilkårlige punkter, såsom A, B, som hører til P. Ved den nuværende definition af en konveks polygon, disse punkter er placeret ved den ene side af den rette linje, der indeholder hvilken som helst retning R. Følgelig AB har også denne egenskab og er indeholdt i R. En konveks polygon altidkan opdeles i flere trekanter absolut alle diagonaler, der holdt en af sine toppe.
konvekse vinkler geometriske figurer
vinkler på en konveks polygon - de vinkler, der er dannet af parterne.Den indvendige hjørner er i det indre område af den geometriske figur.Vinklen, der er dannet af de partier, som mødes ved et hjørne, kaldes vinklen på en konveks polygon.Hjørnerne støder op til de indvendige hjørner af den geometriske figur, kaldet ydre.Hvert hjørne af en konveks polygon, placeret inde i det er:
180 ° - x,
hvor x - værdien af det udvendige hjørne.Denne enkle formel er gyldig for enhver form for geometriske figurer sådanne.
Generelt for de yderste hjørner er der følgende regel: hvert hjørne af en konveks polygon er lig med forskellen mellem 180 ° og værdien af den inderste hjørne.Det kan have værdier fra -180 ° til 180 °.Følgelig, når den indvendige vinkel er 120 °, vil udseendet have en værdi på 60 °.
summen af vinklerne af konvekse polygoner
summen af de indvendige vinkler af en konveks polygon indstilles ved formlen:
180 ° * (n-2),
hvor n - antallet af knudepunkter i n-kant.
summen af vinklerne i en konveks polygon beregnes ganske enkelt.Overvej sådanne geometriske former.At bestemme summen af vinklerne i en konveks polygon skal tilsluttes en af sine knudepunkter til andre knudepunkter.Som resultat af denne handling fik (n-2) af trekanten.Det er kendt, at summen af vinklerne i enhver trekant er altid 180 °.Da antallet i enhver polygon er lig (n-2), summen af de indvendige vinkler af figuren er lig med 180 ° x (n-2).
summen af vinklerne i en konveks polygon, nemlig to indre og tilstødende udvendige kanter og på dette konveks geometrisk figur vil altid være lig med 180 °.På dette grundlag kan vi definere summen af alle sine vinkler:
180 x n.
summen af de indvendige vinkler på 180 ° * (n-2).Følgelig er summen af alle de yderste hjørner af figuren angivet ved formlen:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
sum af eksterne vinkler af enhver konveks polygon vil altid være lig med 360 ° (uanset antallet af sider).Uden hjørne
konvekse polygon er generelt repræsenteret ved forskellen mellem 180 ° og værdien af interne vinkel.
Andre egenskaber af en konveks polygon
Ud over disse grundlæggende egenskaber geometriske figurer, de har også andre, der opstår, når du håndterer dem.Således kan enhver af de polygoner opdeles i flere konveks n-kant.Du skal fortsætte med hver af sine sider og skære den geometriske form efter disse rette linjer.Opdele enhver polygon i flere konvekse dele og kan være således, at spidsen af hver af stykkerne matches med alle dets knudepunkter.Fra en geometrisk figur kan være meget simpelt at gøre trekanter gennem alle diagonaler fra en vinkelspids.En hvilken som helst polygon, i sidste ende, kan opdeles i en række trekanter, som er meget nyttig i at løse forskellige problemer forbundet med disse geometriske former.
omkreds en konveks polygon
polylinje segmenter, kaldet sider af polygon, ofte angivet ved følgende bogstaver: ab, bc, cd, de, ea.Denne side af de geometriske former med toppunkter a, b, c, d, e.Summen af længderne af siderne i en konveks polygon kaldes dens omkreds.
omkreds polygon
konvekse polygoner kan indskrives og beskrives.Omkreds om alle sider af geometrisk figur kaldet indskrevet i den.Dette kaldes en polygon beskrevet.Midtercirklen, der er indskrevet i en polygon er skæringspunktet af bisectors af vinklerne i en given geometrisk figur.Arealet af polygonen lig med:
S = p * r,
hvor r - radius af den indskrevne cirkel, og p - semiperimeter givet polygon.
cirkel, som indeholder de knudepunkter for polygonen beskrevet af ham hedder.Desuden er denne konvekse geometrisk figur kaldet den indskrevne.Midtercirklen beskrevet om denne polygon er skæringspunktet for de såkaldte midperpendiculars alle sider.
diagonaler konvekse geometriske figurer
diagonaler en konveks polygon - et segment, der forbinder tilstødende toppunkter ikke.Hver af dem er inden for geometrisk form.Antallet af diagonaler n-kant er indstillet i overensstemmelse med formlen:
N = n (n - 3) / 2.
diagonal konveks polygon nummer er vigtig i elementær geometri.Antallet af trekanter (R), som kan bryde enhver konveks polygon beregnes som følger:
K = n - 2.
antal diagonaler i en konveks polygon er altid afhængig af antallet af knuder.
Opdeling konveks polygon
I nogle tilfælde til at løse geometri opgaver bør opdeles i flere konveks polygon trekanter med disjunkte diagonaler.Dette problem kan løses ved at fjerne visse formel.
visse opgaver: ring den rigtige form for deling af en konveks n-gon flere trekanter diagonaler skærer kun på knudepunkter af en geometrisk figur.
Løsning: Antag, at P1, P2, P3, ..., Pn - toppen af denne n-gon.Nummer Xn - antallet af partitioner.Se nøje på den resulterende diagonal geometrisk figur Pi Pn.I nogen af de korrekte partitioner P1 Pn tilhører en bestemt trekant P1 Pi Pn, hvor 1 & lt; i & lt; n.På dette grundlag og under forudsætning af, at i = 2,3,4 ..., n-1 fås (n-2) af disse skillevægge, der omfatter alle mulige særlige tilfælde.
Lad i = 2 er en gruppe af regelmæssige skillevægge, altid indeholder en diagonal P2 Pn.Antallet af partitioner, der er en del af det, falder sammen med antallet af partitioner (n-1) Gon P2 P3 P4 ... Pn.Med andre ord, det er lig med Xn-1.
Hvis i = 3, så de andre gruppemedlemmer partitioner vil altid indeholde en diagonal P3 P1 og P3 Pn.Antallet af korrekte partitioner, der er indeholdt i gruppen, vil falde sammen med antallet af partitioner (n-2) Gon P3, P4 ... Pn.Med andre ord vil det være Xn-2.
Lad i = 4 og derefter blandt trekanter sikkert rigtigt partition vil indeholde en trekant P4 P1 Pn, som vil støde op til den firsidede P1 P2, P3, P4, (n-3) Gon P5 P4 ... Pn.Antallet af korrekte partitioner sådan firsidede lig X4, og partition nummer (n-3) Gon lig Xn-3.På baggrund af ovenstående, kan vi sige, at det samlede antal af regelmæssige partitioner, der er indeholdt i denne gruppe er lig med Xn-3 X4.Andre grupper, i = 4, 5, 6, 7 ... vil indeholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... regelmæssige partitioner.
Lad i = n-2, antallet af skillevægge i den højre gruppe er den samme som antallet af partitioner i den gruppe, hvor i = 2 (med andre ord, er lig Xn-1).
Da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2, ..., så antallet af partitioner af konvekse polygoner lig:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 + Xn-X4 X5 + 4 ...5 + X 4 + Xn-Xn-3 X4 + Xn-2 + Xn-1.
Eksempel:
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42
X8 X7 =+ X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132
korrekte antal partitioner inde én diagonalt kryds
Ved test særlige tilfælde kan det antages, at antallet af diagonaler konveks n-gon er lig med produktet af alle de partitionerfigur til (n-3).
bevis for denne hypotese: forestille sig, at P1n = Xn * (n-3), så vil enhver n-kant kan opdeles i (n-2) en trekant.Desuden kan fra dem stables (n-3) -chetyrehugolnik.Desuden hver firkant er diagonal.Da denne konvekse geometrisk figur kan udføres to diagonaler, hvilket betyder, at i alle (n-3) kan besidde yderligere -chetyrehugolnikah diagonal (n-3).På dette grundlag kan vi konkludere, at i enhver ret, er det muligt at udføre partition (n-3) -diagonali der opfylder betingelserne i dette problem.
Area konvekse polygoner
ofte løse forskellige problemer grundskole geometri bliver nødvendigt at bestemme arealet af en konveks polygon.Antag at (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n repræsenterer en sekvens af koordinater på alle de omkringliggende knudepunkter af en polygon uden selv-kryds.I dette tilfælde, er dens område beregnes ved følgende formel:
S = ½ (Σ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)),
hvor (X1, Y1) = (Xn +1, Yn + 1).
