Cramers regel - er en af de præcise metoder til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger (Slough).Dens nøjagtighed på grund af anvendelsen af determinanter for matricer, såvel som nogle af begrænsningerne i beviset for sætningen.
-system af lineære algebraiske ligninger med koefficienter, der tilhører, for eksempel en flerhed af R - reelle tal, fra ukendt x1, x2, ..., xn kaldes sæt af udtryk for formen
AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi for i =1, 2, ..., m, (1)
hvor aij, bi - er reelle tal.Hver af disse udtryk kaldes en lineær ligning, aij - koefficienter af de ubekendte, bi - gratis koefficienter af ligningerne.
opløsning af (1) kaldes n-dimensional vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), som når den er substitueret i for ubekendte x1, x2, ..., xn hver af rækkerne i systemet bliverreel ligestilling.
system kaldes konsekvent, hvis det har mindst én løsning, og usammenhængende, hvis dens sæt af løsninger falder sammen med den tomme mængde.
Man må huske, at for at finde en løsning på systemer af lineære algebraiske ligninger ved hjælp af Cramers regel matricer, systemerne skal være firkantet, som dybest set betyder det samme antal ubekendte og ligninger i systemet.
Så for at anvende metoden med Cramer, bør du i det mindste ved, hvad Matrix er et system af lineære algebraiske ligninger, og hvordan det er udstedt.Og for det andet, at forstå, hvad der kaldes determinanten af matricen, og mestre de færdigheder af sin beregning.
antager, at denne viden du besidder.Vidunderligt!Så er du nødt til bare huske formler der bestemmer metoden til Cramer.For at forenkle udenad bruge følgende notation:
-
Det - den vigtigste faktor for systemet;
-
Børn - er den afgørende faktor for den opnåede fra de vigtigste matrix af systemet ved at erstatte den i'te søjle i matricen til en kolonne vektor, hvis elementer er de rigtige sider af systemer af lineære ligninger matrix;
-
n - antallet af ubekendte og ligninger i systemet.
Så Cramers regel beregne det i'te komponent xi (i = 1, .. n) n-dimensional vektor x kan skrives som
xi = Børn / Det, (2).
Således Det strengt nul.
unik løsning, når det er fastsat i fællesskab af tilstanden af nul primære faktor for systemet.Ellers hvis summen af (xi), kvadreret, er strengt positiv, så SLAE en kvadratisk matrix er inkonsekvent.Dette kan forekomme i særdeleshed, når mindst en af Børn forskellig fra nul.
Eksempel 1 .For at løse det tredimensionale system Lau, ved hjælp Cramer formel.
x1 + x2 2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29
3 x1 - x2 + x3 = 10.
beslutning.Vi skriver matricen af rækken, hvor Ai - er den i'te række i matricen.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
kolonne gratis koefficienter b = (31 oktober 29).
vigtigste determinant Det system er
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 ud 12-12 2-10 = -27.
For at beregne DET1 brug substitution a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3.Så
DET1 = b1 A22 A33 + A12 A23 B3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.
Ligeledes at beregne en permutation hjælp det2 = b1 A12, A22 = b2, b3 = A32 og henholdsvis at beregne det3 - A13 = B1, B2 = A23, A33 = b3.
Så du kan kontrollere, at det2 = -108, og det3 = - 135.
Ifølge Cramers regel finder vi x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Svar: x ° = (3,4,5).
Baseret på betingelserne for anvendelsen af denne regel, kan Cramers regel for at løse systemer af lineære ligninger bruges indirekte, for eksempel til at undersøge systemet på mulige antal løsninger afhængig af værdien af en parameter k.
Eksempel 2. Bestem for hvilke værdier af parameteren k uligheden | kx - y - 4 | + | x + ky +4 | & lt; = 0 har netop én løsning.
beslutning.
Denne forskel i definitionen af modulet funktionen kan kun udføres, hvis begge udtryk er nul samtidigt.Derfor er dette problem reduceres til at finde en løsning på et lineært system af algebraiske ligninger
kx - y = 4,
x + ky = -4.
løsning af dette system, hvis det er den vigtigste faktor for
Det = k ^ {2} + 1 er nul.Naturligvis, denne betingelse gælder for alle gyldige værdier af parameteren k.
Svar: for alle reelle værdier af parameteren k.
Målene for denne type kan også reduceres, mange praktiske problemer med matematik, fysik eller kemi.
