Reelle tal og deres egenskaber

Pythagoras hævdede, at antallet er verdens grundlæggelse på lige fod med de grundlæggende elementer.Platon mente, at antallet af links fænomenet og noumenon, hjælpe med at vide, der skal vejes, og drage konklusioner.Aritmetiske kommer fra ordet "arifmos" - nummeret, begyndelsen startede i matematik.Det er muligt at beskrive ethvert objekt - fra elementære til æble abstrakte rum.

behov som en faktor

I de indledende faser af samfundet har brug for folk begrænset af behovet for at holde score -. En pose korn, to sække med korn, og så videre D. For at gøre dette, var det naturlige tal, det sæt af som er en uendelig sekvens af positive heltalN.

Senere, med udviklingen af matematik som en videnskab, var det nødvendigt at adskille det område af heltal Z - det omfatter negative værdier og nul.Hans udseende på husstandsniveau blev udløst af, at den første regnskabsmæssige skulle en eller anden måde løse gæld og tab.På det videnskabelige niveau, gjort negative tal det muligt at løse simple lineære ligninger.Blandt andet er det nu muligt at billedet trivielle koordinatsystem, dvs.. A. Der var et referencepunkt.

Det næste skridt var behovet for at indtaste fraktioneret tal, fordi videnskaben ikke stå stille, flere og flere nye opdagelser krævede et teoretisk grundlag for en ny push-vækst.Så der var et felt af rationale tal Q.

Endelig ikke længere opfylder de krav, rationalitet, fordi alle nye fund kræver begrundelse.Der inden for fast tal R, værker af Euclid inkommensurabilitet af visse mængder på grund af deres irrationalitet.Det vil sige, at antallet af græsk matematik placeret ikke kun som en konstant, men som en abstrakt værdi, som er karakteriseret ved forholdet mellem usammenlignelige størrelser.På grund af det faktum, at der er reelle tal, "så lyset" mængder som "pi" og "e", uden hvilken moderne matematik ikke ville have fundet sted.

Den sidste nyskabelse var et komplekst tal C. Det besvaret en række spørgsmål og gendrevet tidligere indtastede postulater.På grund af den hurtige udvikling af algebra Resultatet var forudsigeligt - med reelle tal, beslutning om mange problemer ikke var muligt.For eksempel med komplekse tal stod ud strengteori og kaos udvidede ligninger hydrodynamik.

Set Theory.Cantor

begrebet uendelighed har altid forårsaget kontroverser, da det var umuligt at bevise eller modbevise.I forbindelse med matematik, som drives strengt kontrollerede postulater, det viser sig mest tydeligt, især da de teologiske aspekter stadig vejes i videnskaben.

Men gennem arbejdet i matematiker Georg Cantor hele tiden faldt på plads.Han beviste, at der er et uendeligt sæt af uendelig sæt, og at feltet er større end feltet R N, og lad dem begge have nogen ende.I midten af det XIX århundrede, hans ideer højlydt kaldt nonsens og en forbrydelse mod klassiske uforanderlige kanoner, men tiden vil sætte alt på sin plads.

grundlæggende egenskaber af feltet R

faktiske tal ikke kun har de samme egenskaber som den podmozhestva, de omfatter, men er suppleret med andre effekt masshabnosti dens elementer:

Zero findes og hører under feltet R. c + 0 =c for enhver c R.
Zero eksisterer og hører under feltet R. c x 0 = 0 for enhver c R.
forholdet c: d hvis d ≠ 0 eksisterer og er gyldig for enhver c, d R.
Golf R er bestilt, det vil sige, hvis c ≤ d, d ≤ c, c = d for alle c, d R.
Addition i R er kommutativ, dvs. c + d = d + c for enhver c,d af R.
formering i R er kommutativ, dvs. c x d = d x c for enhver c, d af R.
Tilsætning i R er en associativ, dvs. (c + d) + f = c+ (d + f) for ethvert c, d, f R.
formering i R er associativ dvs. (c x D) x f = c x (d x f) for ethvert c, d, f af R.
For hvert af områderne R er det modsatte, således at c + (-c) = 0, hvor c, -C fra R.
For hver række feltet er der en omvendt R, således at x c c-1 = 1, hvor c eksisterer c-1 R.
Unit og tilhører R, således at x c 1 = c, c for hele R.
Gyldig distributiv lov, således at c x (d + f) = c x d + c x f, for enhver c, d, f R.
i R ikke er lig med nul til enhed.
Golf R er transitiv: Hvis c ≤ d, d ≤ f, så c ≤ f for enhver c, d, f R.
I rækkefølgen af R og tilsætning af indbyrdes forbundne: Hvis c ≤ d, så c + f ≤d + f for alle c, d, f R.
R feltet multiplikation procedure og forbundet: hvis 0 ≤ c, 0 ≤ d, så 0 ≤ c x d for enhver c, d R.
Som negativog positive reelle tal er kontinuerte, dvs. for enhver c, d af R eksisterer der f i R, således at c ≤ f ≤ d.

modul i R

Reelle tal omfatter sådan noget som et modul.Det betegner både | f | f for alle R. | f | = f, hvis 0 ≤ f og | f | = -f, hvis 0 & gt;f.Hvis vi ser på modulet som en geometrisk værdi, repræsenterer den tilbagelagte afstand - om "bestået" dig som nul i negativlisten til positivlisten eller fremad.

Komplekse og reelle tal.Hvilke ligheder og forskelle?

By og store, komplekse og reelle tal - er den samme, bortset fra at den første har sluttet den imaginære enhed i, hvis kvadrat er -1.Elementer felter R og C kan repræsenteres ved følgende formel:

c = d + f x i, hvor d, f hører til feltet R, og jeg - imaginære enhed.

at få c fra Rf, i dette tilfælde blot anset for at være nul, dvs der er kun den reelle del af nummeret.Fordi det komplekse felt har samme funktion indstillet som inden for fast, f x i = 0, hvis f = 0.

angår praktiske forskelle, for eksempel i R andengradsligning kan ikke løses, hvis diskriminant negativehenviser området C ikke pålægger en sådan begrænsning på grund af indførelsen af den imaginære enhed i.

Resultater

"mursten" af aksiomer og postulater, hvorpå matematikken ikke ændre.På nogle af dem på grund af stigningen af informationer og indførelsen af nye teorier lagt følgende "mursten", der potentielt kunne danne grundlag for det næste trin.For eksempel naturlige tal, til trods for at de er en delmængde af den virkelige felt R, ikke mister deres relevans.Det er på baggrund af dem alle elementær aritmetik, som begynder den kendskab til en fredens mand.

Fra et praktisk synspunkt, de reelle tal ligner en lige linje.Det er muligt at vælge retning, definere oprindelse og banen.Direkte består af et uendeligt antal punkter, som hver især svarer til en enkelt reelt tal, uanset om det er rationelt eller ej.Ud fra beskrivelsen er det klart, at vi taler om konceptet, som er baseret matematik i almindelighed og matematisk analyse i særdeleshed.