einfache Iterationsverfahren, auch genannt die Methode der sukzessiven Approximation - eines mathematischen Algorithmus zum Auffinden der Werte der Unbekannten durch die schrittweise Klärung es.Das Wesen dieser Methode ist, dass, wie der Name schon sagt, werden nach und nach zum Ausdruck bringen eine erste Angleichung der nachfolgenden diejenigen, werden immer mehr verfeinert Ergebnisse.Diese Methode wird verwendet, um den Wert einer Variablen in einem gegebene Funktion zu finden, und Lösen von Gleichungssystemen, sowohl linear als auch nichtlinear.
prüfen, wie dieses Verfahren in der Lösung linearer Gleichungssysteme implementiert.Methode der einfachen Iterationsalgorithmus ist wie folgt:
1. Überprüfen Sie den Zustand der Konvergenz in der ursprünglichen Matrix.Konvergenten - der Satz von Konvergenz, wenn die anfängliche Matrixsystem hat eine Diagonale Dominanz der Methode der einfache Iteration (dh jede Reihe der Elemente der Hauptdiagonalen muß betragsmäßig größer als die Summe der Diagonalelemente der Modulseite ist).
2. Die Matrix des ursprünglichen Systems ist nicht immer der Diagonaldominanz.In solchen Fällen kann das System umzuwandeln.Die Gleichungen, die die Konvergenzbedingung erfüllen intakt bleibt, aber mit unbefriedigenden machen Linearkombinationen, dhmultiplizieren, subtrahieren, addieren Sie die Gleichungen zusammen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.
Wenn die sich ergebende System in der Hauptdiagonale Koeffizienten sind unbequem, dann auf beiden Seiten dieser Gleichung hinzugefügt wird Bezug auf Form ci * xi, Zeichen, die mit den Zeichen der Diagonalelemente zusammenfallen müssen.
3. Konvertieren Sie die resultierende System zur normalen Ansicht:
x- = β- + α * x-
Dies kann auf viele Arten durchgeführt werden, zum Beispiel: aus der ersten Gleichung ausdrücken x1 bis x2 aus vtorogo- von anderen unbekannttretego- x3 usw.Zur gleichen Zeit die Formel verwenden wir:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
sollte wieder dafür sorgen, dass das System der Normaltyp entspricht dem Konvergenzbedingung:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,während i = 1,2, ... n
4. Starten Sie zu bedienen, in der Tat, die Methode der sukzessiven Approximation.
x (0) - erster Näherung, drücken wir durch x (1), gefolgt von x (1) Express x (2).Die allgemeine Formel einer Matrixform wie folgt aussieht:
x (n) = β- + α * x (n-1)
berechnen, bis wir die gewünschte Genauigkeit zu erreichen:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Also, schauen wir uns an der Praxis der Methode der einfachen Iteration.Beispiel:
lösen lineare Systeme:
4,5x1-1.7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 mit einer Genauigkeit ε = 10-3
Mal sehen, ob durch die Diagonalelemente des Moduls dominiert.
Wir sehen, dass die Konvergenzbedingung erfüllt nur die dritte Gleichung.Die erste und zweite konvertieren, um die erste Gleichung wir die zweite hinzu:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
subtrahieren die erste von der dritten:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Wir verwandelt das OriginalSystem äquivalent:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 jetzt = 4
geben dem System in den Normalform:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Überprüfen Sie die Konvergenz der Iteration:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dhdie Bedingung erfüllt ist.
0,3947
erster Näherung x (0) = 0,4762 0,8511
Ersetzen Sie diese Werte in die Gleichung der Normalform, haben wir die folgenden Werte erhalten:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
ersetzen neue Werte, erhalten wir:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
weiterhin berechnet, bis der Moment noch nicht nahe kommen, um die Werte, die festgelegten Bedingungen erfüllen.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
überprüfen Sie die Richtigkeit der Ergebnisse:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0544 = 3,9977
Ergebnisse erzielt, indem man die Werte in der ursprünglichen Gleichung, die Gleichung vollständig erfüllen.
Wie wir sehen können, die Methode der einfache Iteration ergibt eine ziemlich genaue Ergebnisse, sondern auch für die Lösung dieser Gleichung hatten wir viel Zeit verbringen und umständliche Berechnungen.
