Fourier-Reihe - eine Darstellung eines willkürlich gewählten Funktion auf einen bestimmten Zeitraum in einer Reihe.Im Allgemeinen wird der Beschluss zur Ausweitung Element der orthogonale Basis.Die Erweiterung der Funktionen in Fourier-Reihe ist ein ziemlich leistungsfähiges Werkzeug bei der Lösung verschiedener Probleme aufgrund der Eigenschaften der Transformation in der Integration, Differenzierung und verschieben die Argumentation Ausdrücke und Faltung.
Person, die nicht mit der höheren Mathematik vertraut, als auch mit der Arbeit der Französisch Wissenschaftler Fourier wahrscheinlich nicht das, was die "Reihen" und deren Funktion verstanden werden.Doch diese Transformation ganz fest unser Leben getreten.Es ist nicht nur Mathematik, sondern auch Physiker, Chemiker, Ärzte, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und anderen verwendet.Lassen Sie uns, und wir nehmen einen genaueren Blick auf die Werke des großen Französisch Wissenschaftler, der die Entdeckung gemacht, seiner Zeit voraus.
Mensch und die Fourier-Transformation
Fourier-Reihe ist eine der Methoden (zusammen mit der Analyse und andere) der Fourier-Transformation.Dieser Prozess tritt jedes Mal, wenn eine Person einen Ton hört.Unsere Ohren konvertiert automatisch die Schallwelle.Die Schwingungsbewegung der Elementarteilchen in einem elastischen Medium in Reihe zu den Hörtönen unterschiedlicher Abständen angeordnet (im Spektrum) aufeinanderfolgende Lautstärke.Als nächstes setzt das Gehirn die Daten in Klänge vertraut.All dies kommt zusätzlich zu unseren Wunsch oder das Bewusstsein selbst, sondern um diese Prozesse zu verstehen, wird mehrere Jahre dauern, um höhere Mathematik zu studieren.
Details über die Fourier-Transformation
Fourier-Transformation können Analyse, Ziffern und andere Verfahren durchgeführt werden.Fourier-Reihe sind Ziffer Verfahren zur Zersetzung keine Schwingungsprozesse - von Gezeiten und Wellen des Lichts, um Solar-Zyklen (und andere astronomische Objekte) Aktivität.Unter Verwendung dieser mathematischen Techniken können Funktionen, die beliebige Schwingungsprozessen in einer Reihe von sinusförmigen Komponenten, die vom Minimum zum Maximum und wieder zerlegen.Die Fourier-Transformation ist eine Funktion der Phase und der Amplitude der Sinuskurven, die einer bestimmten Frequenz beschreibt.Dieses Verfahren kann verwendet werden, um die sehr komplexen Gleichungen, die die dynamischen Prozesse unter der Einwirkung von Wärme, Licht oder elektrische Energie auftritt beschreiben anzugehen.Außerdem verwendet die Fourier-Reihe, um Gleichstromkomponenten in komplexen Wellenformen zu unterscheiden, die es ermöglichen, richtig zu deuten die experimentellen Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie.
Hintergrund
Begründer dieser Theorie ist der Französisch Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier.Sein Name wurde in der Folge diese Transformation bezeichnet.Zunächst verwendeten die Forscher eine Technik zu studieren und zu erklären, die Mechanismen der Wärmeleitung - die Wärmeausbreitung in Festkörpern.Fourier angenommen, dass die anfängliche Verteilung von unregelmäßigen Hitzewelle kann in einfachen Sinuskurve, von denen jeder seine Temperatur Minimum und Maximum, wie auch seine Phase haben zerlegt werden.Somit wird jeder solchen Komponente, um vom Minimum zum Maximum und umgekehrt gemessen werden.Die mathematische Funktion, die die oberen und unteren Spitzen der Kurve beschreibt, und die Phase jeder Oberwelle, so genannte Fourier-Transformation des Ausdrucks der Temperaturverteilung.Der Autor der Theorie der reduzierten Gesamtverteilungsfunktion, die schwer zu mathematischen Beschreibung ist, in einer sehr einfach, eine Reihe von periodischen Funktionen Sinus und Kosinus behandeln, was eine Gesamtzahl der Ausgangsverteilung.
Grundsatz der Umwandlung und die Ansichten der Zeitgenossen
Zeitgenossen Wissenschaftler - die führenden Mathematiker des frühen neunzehnten Jahrhundert - hat diese Theorie nicht akzeptieren.Der Haupteinwand war die Genehmigung der Fourier, dass der Bruch-Funktion beschreibt eine gerade Linie oder Kurve gerissen ist, kann es als eine Summe von Sinus Ausdrücke, die kontinuierlich sind vertreten.Als Beispiel betrachten wir die "Stufe" Heaviside: sein Wert Null auf der linken Seite der Lücke und der rechten Einheit.Diese Funktion beschreibt die Abhängigkeit des elektrischen Stroms von der temporären Variablen für die Schließung des Stromkreises.Zeitgenossen Theorie zu diesem Zeitpunkt noch nie begegnet eine ähnliche Situation beim Brechen Ausdruck beschreibt eine Kombination von kontinuierlichen, gemeinsame Funktionen wie Exponential-, Sinus-, linear oder quadratisch.
, die die Französisch Mathematiker in der Theorie der Fourier verwirrt?
Nach allem, wenn ein Mathematiker in seiner Behauptungen richtig war, dann, fasst eine unendliche trigonometrische Fourierreihen, können Sie eine genaue Darstellung der Schritt des Ausdrucks zu erhalten, auch wenn es viele ähnliche Schritte.Im frühen neunzehnten Jahrhundert, schien diese Behauptung absurd.Doch trotz aller Zweifel sind viele Mathematiker den Umfang der Untersuchung dieses Phänomens erweitert, bewegen sie über die Erforschung der Wärmeleitfähigkeit.Jedoch weiterhin die meisten Wissenschaftler, die Frage zu leiden: "Kann die Summe der Sinusreihe konvergiert, um den genauen Wert der diskontinuierlichen Funktion"
Konvergenz der Fourier-Reihe: Das Beispiel
Frage der Konvergenz erhöht bei Bedarf Summierung der unendlichen Reihe von Zahlen.Um dieses Phänomen zu verstehen, betrachten wir das klassische Beispiel.Könntest du jemals die Wand zu erreichen, wenn jeder Schritt wird die Hälfte der vorherigen?Angenommen, Sie aus dem Strafraum zwei Meter, der erste Schritt näher an die Halbzeit-Marke, das nächste - auf das Niveau der drei Viertel, und nach dem fünften man fast 97 Prozent der Art und Weise zu überwinden.Doch egal, wie viele Schritte Sie machen, das beabsichtigte Ziel erreicht man im strengen mathematischen Sinn.Mittels numerischer Berechnungen können wir, dass am Ende nachweisen können auf einem beliebig kleinen bestimmten Abstand nähern.Dies entspricht einem Beweis zeigt, dass der Gesamtwert der einen Hälfte, ein Viertel, und so weiter. E. Wille zur Einheit neigen.
Frage der Konvergenz: das zweite Kommen, oder Geräte Lord Kelvin
wieder stellte sich die Frage in den späten neunzehnten Jahrhunderts, als die Fourier versucht, zu verwenden, um die Intensität der Ebbe und Flut vorherzusagen.Zu dieser Zeit, Lord Kelvin erfunden Gerät ist ein analoges Recheneinrichtung, die Seeleute militärischen und Handelsmarine, dieses Naturphänomen verfolgen können.Dieser Mechanismus definiert eine Reihe von Phasen und Amplituden der Tischhöhe von Ebbe und Flut und den entsprechenden Zeitpunkten, sorgfältig in den Hafen während des Jahres gemessen.Jeder Parameter ist eine sinusförmige Komponente Flut der Ausdruck ist einer der regelmäßigen Komponenten.Die Messergebnisse werden in die Rechenvorrichtung Lord Kelvin Synthetisieren Kurve, die die Höhe des Wassers als Funktion der Zeit für das nächste Jahr voraussagt.Sehr bald wurden diese Kurven für alle Häfen der Welt gemacht.
Und wenn der Prozess unstetige Funktion durchbrochen werden?
Zu der Zeit schien es offensichtlich, dass das Gerät die Vorhersage einer Flutwelle, mit vielen Elementen Konten können eine große Anzahl von Phasen und Amplituden zu berechnen und so eine genauere Vorhersage.Es stellte sich jedoch heraus, dass diese Muster nicht in Fällen beobachtet, wo die Gezeiten Ausdruck, synthetisiert wird, enthielt einen scharfen Sprung, dh diskontinuierlich ist.In diesem Fall, wenn Daten in die Vorrichtung aus einer Tabelle von Zeitpunkten eingegeben wird, berechnet sie wenige Fourier-Koeffizienten.Die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt wird dank der Sinuskomponente (entsprechend den gefundenen Koeffizienten).Die Diskrepanz zwischen der ursprünglichen und rekonstruierten Expression kann an jedem Punkt gemessen werden.Während der wiederholten Berechnung und Vergleich zeigt, dass der Wert der größte Fehler reduziert.Allerdings sind sie in dem Bereich entsprechend zu dem Punkt des Reißens lokalisiert und andere Punkte, gegen Null geht.Im Jahr 1899 wurde dieses Ergebnis bestätigt theoretisch Joshua Willard Gibbs von der Yale University.
Konvergenz der Fourier-Reihe und die Entwicklung der Mathematik allgemein
Fourier Analyse nicht auf Ausdrücke, die eine unendliche Anzahl von Bursts in einem bestimmten Intervall an.Im allgemeinen Fourier-Reihe, wenn die ursprüngliche Funktion der die Ergebnisse der tatsächlichen physikalischen Messung immer konvergiert.Fragen der Konvergenz des Verfahrens für bestimmte Klassen von Funktionen haben, um neue Zweige der Mathematik, wie die Theorie der verallgemeinerten Funktionen geführt.Es ist mit Namen wie L. Schwartz, J .. Mikusiński und George. Temple verbunden.Im Rahmen dieser Theorie war klar und präzise theoretische Grundlage für solche Ausdrücke wie die Dirac-Delta-Funktion (es wird die Region einheitliche Fläche, in einer unendlich kleinen Umgebung des Punktes konzentriert) und "Schritt" Heaviside etabliert.Durch diese Arbeit wurde Fourier-Reihe nützlich zur Lösung von Gleichungen und Probleme, die intuitive Konzepte beinhalten: Punktladung, Punktmasse, magnetischen Dipole und die konzentrierte Last auf dem Balken.
Fourier Verfahren
Fourier-Reihe, in Übereinstimmung mit den Prinzipien der Interferenz, beginnt mit der Zersetzung von komplexen Formen in einfacher.Zum Beispiel kann eine Änderung in der Wärmefluss aufgrund der Passage durch die verschiedenen Hindernissen aus isolierendem Material mit unregelmäßiger Form, oder eine Änderung in der Oberfläche der Erde - ein Erdbeben, eine Änderung in der Umlaufbahn eines Himmelskörpers - dem Einfluss der Planeten.Typischerweise sind diese Gleichungen, einfache klassische Systeme ist elementar gelöst für jede Welle.Fourier zeigte, dass einfache Lösungen als für komplexere Aufgaben zusammengefasst werden.In der Sprache der Mathematik, die Fourier-Reihe - eine Methodik für die Einreichung der Expressionsmenge von Oberschwingungen - Cosinus und Sinuswellen.Daher wird diese Analyse auch bekannt als "harmonische Analyse".
Fourier-Reihe - eine ideale Methode, um die "Computer-Zeitalter»
Vor der Gründung von Computer-Technologie Fourier-Technik ist die beste Waffe im Arsenal der Wissenschaftler, die mit der Wellennatur unserer Welt.Fourier-Reihe in komplexer Form können Sie nicht nur einfache Probleme, die sich dafür eignen, um Anwendung des Newtonschen Gesetze der Mechanik zu lenken, sondern auch die Grundgleichungen zu lösen.Die meisten der Entdeckungen der Newtonschen Wissenschaft des neunzehnten Jahrhunderts wurde nur aufgrund der Fourier-Methode möglich.
Fourier-Reihe heute
Mit der Entwicklung von Computern Fourier auf ein qualitativ neues Niveau gestiegen.Diese Technik ist fest in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technologie verschanzt.Als ein Beispiel eines digitalen Audio- und Videosignals.Ihre Umsetzung hat zu der von Französisch Mathematiker in der frühen neunzehnten Jahrhundert entwickelte Theorie gemacht nur dank.Somit ist die Fourier-Reihe in komplexer Form hat, erlaubt, um einen Durchbruch in der Studie von den Weltraum zu machen.Darüber hinaus beeinflusst es das Studium der Physik von Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowelle Akustik, Ozeanographie, Radar, Seismik.
trigonometrische Fourierreihe
In der Mathematik ist die Fourier-Reihe eine Art der Darstellung willkürlich komplexe Funktionen als Summe einfacher.Gemeinsam Fällen kann die Anzahl von solchen Ausdrücken endlos sein.Je größer die Zahl bei der Berechnung berücksichtigt wird, desto genauer ist das Endergebnis erhalten.Die häufigste Verwendung von einfachen trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus.In diesem Fall wird die Fourier-Reihe genannt trigonometrische und die Entscheidung solcher Ausdrücke - harmonischen Zerlegung.Dieses Verfahren hat eine wichtige Rolle in der Mathematik.Zunächst einmal bietet eine trigonometrische Reihe ein Mittel, um das Bild und studieren Sie die Funktionen, die es der Haupteinheit der Theorie.Darüber hinaus ermöglicht es uns, eine Reihe von Problemen in der mathematischen Physik lösen.Schließlich hat diese Theorie auf die Entwicklung der mathematischen Analyse beigetragen führte zu einer Reihe von sehr wichtigen Zweigen der Mathematik (integralen Theorie, die Theorie der periodischen Funktionen).Darüber hinaus ist die Ausgangspunkt für die Entwicklung der folgenden Theorien: Sets, Funktionen einer reellen Variablen, Funktionsanalyse, und markierte den Beginn der harmonischen Analyse.
