In der Raumebene kann auf unterschiedliche Weise (durch einen Punkt und ein Vektor und dem Vektor der zwei Punkte, drei Punkte, etc.) definiert werden.Es ist in dieser Gleichung der Ebene kann verschiedene Arten aufweisen.Auch unter bestimmten Bedingungen das Flugzeug kann parallel, senkrecht sich kreuz usw.Auf dieser und Diskussion in diesem Artikel.Wir werden lernen, um die gesamte Gleichung der Ebene und nicht nur.
Normalgleichung
Angenommen, es ist ein Raum R3, der ein rechtwinkliges Koordinatensystem XYZ ist.Wir definieren die Vektor-α, die vom Anfangspunkt A. Durch das Ende des Vektors α erscheinen wird ziehen die Ebene P, die senkrecht auf sie ist.
Sei P auf einen beliebigen Punkt Q = (x, y, z).Der Radiusvektor des Punktes Q unterzeichnen den Buchstaben p.Die Länge des Vektors α gleich p = IαI und Ʋ = (cos & alpha;, cos & beta;, cosγ).
Es ist ein Einheitsvektor, der zu der Seite gerichtet ist, sowie Vektor α.α, β und γ - ist der zwischen dem Vektor Ʋ positiven Richtungen der Achsen des Raum x, y, z jeweils gebildete Winkel.Die Projektion eines Punktes auf dem Vektor Ʋ QεP eine Konstante ist, die gleich p (p, Ʋ) = p (R≥0) ist.
Die obige Gleichung ist sinnvoll, wenn p = 0 ist.Die einzige Ebene P in diesem Fall Punkt D schneiden (α = 0), die die Ursprungs und Einheitsvektor Ʋ, von dem Punkt O freigesetzt wird, wird senkrecht zu P, trotz seiner Richtung, was bedeutet, daß der Vektor Ʋ bestimmtanzumelden.Zurück Gleichung ist unser Ebene II, in Vektorform ausgedrückt.Aber in den Koordinaten seiner Art so zu sein:
P größer als oder gleich 0 haben wir die Gleichung der Ebene im Raum in einer normalen Weise gefunden.
allgemeine Gleichung
Wenn die Gleichung in den Koordinaten multiplizieren beliebige Zahl, die nicht gleich Null ist, so erhalten wir die Gleichung entspricht dies, dass die sehr Ebene definiert.Es wird über einen Blick:
Hier A, B, C - ist die Anzahl gleichzeitig von Null verschieden.Diese Gleichung wird als die Ebenengleichung der allgemeinen Form bezeichnet.
Gleichung der Ebene.Besonderen Fällen
Gleichung in allgemeiner Form kann mit weiteren Bedingungen geändert werden.Betrachten wir einige von ihnen.
davon ausgehen, dass der Koeffizient A gleich 0. Dies bedeutet, dass die Ebene parallel zu einer Achse Ox gegeben ist.In diesem Fall ändern Sie die Form der Gleichung: Vu + Cz + D = 0.
ähnliche Form der Gleichung ändert und unter den folgenden Bedingungen:
- Zuerst wird, wenn B = 0, dann ist die Gleichung ändert sich Ax + Cz + D = 0, die parallel zu der y-Achse hinweisen würde.
- Zweitens, wenn C = 0 ist, wird die Gleichung in Ax + By + D = 0 transformiert wird es Gespräch über parallel zu der vorbestimmten Achse Oz ist.
- Drittens, wenn D = 0, würde die Gleichung wie Ax + By + Cz = 0, was bedeuten würde, dass die Ebene schneidet O (der Ursprung) zu suchen.
- Viertens, wenn A = B = 0, dann ist die Gleichung ändert sich Cz + D = 0 ist, die parallel zu Oxy erweisen wird.
- Fünftens: Wenn B = C = 0, wird die Gleichung Ax + D = 0, was bedeutet, dass die Ebene parallel zur OYZ ist.
- Sechstens, wenn A = C = 0 ist, nimmt die Gleichung die Form Vu + D = 0, dann wird es parallel auf den Bericht Oxz sein.
Typ Gleichungen in Abschnitte
In dem Fall, wo die Zahl der A, B, C, D sind von Null verschieden sind, der Form der Gleichung (0) wie folgt sein:
x / a + y / b + z / a= 1,
wobei a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C
Holen Sie sich ein Ergebnis Gleichung der Ebene in Stücke.Es sollte beachtet werden, dass diese Ebene die Achse Ox an den Koordinaten (a, 0,0), Dy schneiden werden - (0, b, 0) und Oz - (0,0, s).
Im Hinblick auf die Gleichung x / a + y / b + z / c = 1, ist es leicht, die Anordnung der Ebene relativ zu einem Koordinatensystem zu visualisieren.
Koordinaten des Normalvektors
Normalenvektor zu der Ebene P hat die Koordinaten, die die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der Ebene, sind also n (A, B, C).
Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, ist genug, um die allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene zu kennen.
Bei Verwendung von Gleichungen in Segmente, die die Form x / a + y / b + z / c = 1, wie bei Verwendung des allgemeinen Gleichung kann geschrieben Koordinaten jeder Normalenvektor einer gegebenen Ebene werden: (1 / a + 1 / b +1 / s).
erwähnenswert, dass der Normalenvektor trägt, um verschiedene Probleme zu lösen.Die häufigsten sind die Probleme, ist ein Beweis für senkrechten oder parallelen Ebenen, die Aufgabe, die Winkel zwischen den Ebenen oder Winkel zwischen den Ebenen und Linien.
Ansicht Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten des Punktes und dem Normalenvektor
Null verschiedenen Vektor n, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene, genannt normal (normal) zu einer gegebenen Ebene.
annehmen, dass die Koordinatenraum (ein rechtwinkliges Koordinatensystem) Oxyz gestellt:
- Mₒ Punkt mit den Koordinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
- Nullvektor n = A * i + j + B C * * k.
notwendig, die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt senkrecht zur normalen Mₒ n geht zu machen.In dem Raum
wählen Sie eine beliebige Stelle und ließ sie M (x, y, z).Lassen Sie den Radiusvektor von jedem Punkt M (x, y, z) r = x * i + y * j + z * k, und der Radiusvektor des Punktes Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Der Punkt M ist in einer gegebenen Ebene, wenn der Vektor senkrecht zum Vektor MₒM n.Wir schreiben den Orthogonalitätsbedingung mit Hilfe des Skalarproduktes:
[MₒM, n] = 0
Seit MₒM = r-rₒ, werden Vektorgleichung der Ebene wie folgt aussehen:
[r - rₒ, n] = 0.
Diese Gleichung kann eine andere Form haben.Zu diesem Zweck werden die Eigenschaften des Skalarprodukts und transformiert die linke Seite der Gleichung.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Wenn [rₒ, n] als s bezeichnet wird, erhalten wir die folgende Gleichung: [R, n] - c = 0 oder [R, n] = s, die die Konsistenz der Vorsprünge auf den normalen Vektor der Radiusvektoren des vorgegebenen Punkte, die zu der Ebene gehören, exprimiert.
Jetzt können Sie die Art der Aufzeichnung zu koordinieren unser Flugzeug Vektorgleichung [r - rₒ, n] = 0. Da r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kund n = A * i + j + B C * * k, haben wir:
sich herausstellt, ist in unserer Gleichung der Ebene, die durch den Punkt senkrecht zu der Normalen n gebildet:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Art der Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten der zwei Punkte und einen Vektor kollinear Ebene
definieren zwei Punkte M '(x', y ', z') und M '(x ", y", z "), sowie Vektor a(A ', A "und ‴).
Jetzt können wir eine bestimmte Ebene, die durch die vorhandenen Punkte M 'und M "stattfinden wird, sowie jeden beliebigen Punkt M mit den Koordinaten (x, y, z) parallel zu einer gegebenen Vektor gleichzusetzen.
Diese M'M Vektoren {x, x ', y, y', zz '} und M "M = {x" -x', y, y ', z "-z'} sollten koplanar seinVektor a = (a ', a ", a' '') und daß Mittel (M'M, M 'M, a) = 0.
Also unsere Gleichung einer Ebene im Raum würde wie folgt aussehen:
Typ Gleichung schneidenden Ebene die drei Punkte
Angenommen, wir haben drei Punkte (x ', y', z '), (x', y", z"), (x '' 'Have ‴, Z ‴), die sich nicht auf der gleichen Zeile gehören.Ist es notwendig, die Gleichung der Ebene, die durch die angegebenen drei Punkten zu schreiben.Die Theorie der Geometrie argumentiert, dass diese Art der Ebene vorhanden ist, es ist nur eine und einzige.Da diese Ebene schneidet den Punkt (x ', y', z '), ist die Form der Gleichung wie folgt:
hier A, B und C von Null verschieden sind gleichzeitig.Ebenfalls angegeben Ebene schneidet die beiden Punkte (x ', y', z ') und (x' '' Have ‴, Z ‴).
Jetzt können wir ein einheitliches System von Gleichungen (linear) erstellen mit Unbekannten u, v, w:: In sollte diese Verbindung, diese Art von Bedingungen durchgeführt werden
In unserem Fall x, y oder z angezeigt beliebigen Punkt, die erfülltGleichung (1).Unter Berücksichtigung der Gleichung (1) und ein System von Gleichungen (2) und (3), ein System von Gleichungen, in der Figur oben gezeigt, der Vektor erfüllt N (A, B, C), die nicht-triviale ist.Das ist, weil die Determinante des Systems ist gleich Null.
Gleichung (1), das wir haben, ist dies die Gleichung der Ebene.Nach 3-Punkt sie wirklich geht, und es ist leicht zu überprüfen.Dazu zerlegen wir die Determinante der Elemente in der ersten Reihe.Der bestehenden Eigenschaften der Determinante sie impliziert, dass unser Flugzeug gleichzeitig drei Kreuze zunächst gegebene Punkte (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Haben' '', z '' ').Also beschlossen wir, uns vorgelegt.
Diederwinkel zwischen den Ebenen
Flächenwinkel ist eine räumliche geometrische Form von zwei Halbebenen, die aus der gleichen Linie zu kommen gebildet.Mit anderen Worten, dieser Teil des Raumes, der mit dem Halbebene begrenzt ist.
Angenommen, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:
Wir wissen, dass die Vektoren N = (A, B, C) und N¹ = (A¹, H¹, S¹) entsprechend der eingestellten senkrechten Ebenen.In dieser Hinsicht ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleichen Winkel (Dieder), die zwischen diesen Ebenen befindet.Das Skalarprodukt gegeben durch: | N || N¹ |
NN¹ = cos φ,
gerade weil
cos = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
ist genug, um die 0≤φ≤π berücksichtigen.
tatsächlich zwei Ebenen, die beiden Winkel (V-Form) zu bilden, schneiden: φ1 und φ2.Der Betrag ist gleich ihrer π (φ1 + φ2 = π).Was ihre Cosinus, deren Absolutwerte gleich sind, aber unterschiedliche Vorzeichen, das heißt, cos φ1 = cos φ2 sind.Wenn in der Gleichung (0) durch A, B und C von -A, -B und -C jeweils die Gleichung ersetzt, so erhält man die gleiche Ebene, nur den Winkel φ in der Gleichung cos φ bestimmen = NN1 / | N|| N1 | durch π-φ ersetzt.
Gleichung senkrecht zu der Ebene senkrecht zu
genannten Ebene ist, zwischen denen der Winkel 90 Grad.Unter Verwendung des oben dargestellten Material, können wir die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu der anderen zu finden.Angenommen, wir haben zwei Ebenen: Ax + By + Cz + D = 0 und A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Wir können sagen, dass sie senkrecht, wenn cos = 0 sind.Dies bedeutet, dass AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
Gleichung parallelen Ebene
Parallel genannten zwei Ebenen, die gemeinsame Punkte enthalten.
Zustand der parallelen Ebenen (deren Gleichungen sind die gleichen wie im vorigen Absatz) ist, dass die Vektoren N und N¹, die ihnen senkrecht kollinear.Dies bedeutet, dass die folgenden Bedingungen der Verhältnismäßigkeit:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Wenn die Bedingungen der Verhältnismäßigkeit ausgedehnt werden - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
dies an, dass der Datenebene der gleiche.Dies bedeutet, dass die Gleichung Ax + By + Cz + D = 0 und + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beschreibt eine einzige Ebene.
Abstand zu der Ebene von dem Punkt
Angenommen, wir haben eine Ebene P, die durch die Gleichung gegeben ist (0).Es ist notwendig, ihr Abstand von dem Punkt mit den Koordinaten zu finden (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Um dies zu tun, müssen Sie die Gleichung der Ebene P in der Normalform zu bringen:
(ρ, v) = P (R≥0).
Hierbei ρ (x, y, z) der Radiusvektor der Punkt Q auf n entfernt P - ist der senkrechte Abstand P, der von dem Nullpunkt ausgestoßen wurde, v - ist der Einheitsvektor, der in Richtung A liegt,.
Differenz ρ-ρº Radiusvektor eines Punkts Q = (x, y, z), die von P gehört und der Radiusvektor eines gegebenen Punktes Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) so ist, ein Vektor ist, der Absolutwertderen Projektionen von v ist gleich dem Abstand d, der notwendig ist, um von Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) bis P zu finden:
D = | (ρ-ρ0, v) |, aber
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Es stellt sich heraus,
d = | (ρ0, v) p |.
nun zu sehen, um den Abstand d von Q0 zur Ebene P zu berechnen, müssen Sie die normale Form der Gleichung Ebene, die Verschiebung nach links des Flusses, und die letzte Stelle x, y, z Ersatz benutzen (hₒ, uₒ, zₒ).
So finden wir den absoluten Wert der resultierenden Ausdruck, d gesucht wird.
Mit den Spracheinstellungen, erhalten wir die Hand:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Wenn ein gegebener Punkt Q0 ist auf der anderen Seite der Ebene P als Ursprung, zwischen dem Vektor ρ-ρ0 und v ein stumpfer Winkel ist, also:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
In dem Fall, wenn der Punkt Q0 zusammen mit dem Ursprung auf der gleichen Seite des U befindet, akute ist die erzeugte Winkel, das heißt:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Das Ergebnis ist, daß im ersten Fall (ρ0, v) & gt; p, die zweite (ρ0, v) & lt; p.
Tangentialebene und dessen Gleichung
Bezüglich der Ebene zu der Oberfläche an dem Kontaktpunkt Mº - eine Ebene, alle möglichen Tangente an die durch diesen Punkt auf der Oberfläche gezeichneten Kurve enthält.
Bei dieser Art der Gleichung der Fläche F (x, y, z) = 0 Gleichung der Tangentialebene am Tangentenpunkt Mº (hº, uº, zº) würde wie folgt aussehen:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Wenn Sie explizit die Oberfläche z = f (x, y) angeben, wird die Berührungsebene durch folgende Gleichung beschrieben:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
Schnitt zweier Ebenen
im dreidimensionalen Raum ist ein Koordinatensystem (rechteckigen) Oxyz, da zwei Ebenen P 'und P ", die sich überlappen, und sind nicht die gleichen.Da jede Ebene, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird durch die allgemeine Formel definiert ist, angenommen, dass n 'und n "sind durch die Gleichungen A'x + + V'u S'z + D angegeben' x + B" + y = 0 und A "Mit "D + z" = 0.In diesem Fall haben wir normale n '(A', B ', C') der Ebene P 'und der Normalen N' (A ', B', C ') der Ebene P ".Als unser Flugzeug nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, sind diese Vektoren nicht kollinear.In der Sprache der Mathematik, haben wir diese Bedingung kann wie folgt geschrieben werden: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Ließ die gerade Linie, die an dem Schnittpunkt P 'liegt und P ", wird durch den Buchstaben A bezeichnet werden, in diesem Fall a = n' ∩ P".
ein - dies ist eine direkte, bestehend aus einer Menge von Punkten (gesamt) Ebenen P 'und P ".Dies bedeutet, dass die Koordinaten eines Punktes, die zu der Leitung und muss gleichzeitig die Gleichung A'x + + V'u S'z + D '= 0 ist und "x + B" Y + C "z + D" = 0 zu erfüllen.
Das Ergebnis ist, dass die Entscheidung (General) des Gleichungssystems werden die Koordinaten für jeden Punkt auf der Linie, die der Schnittpunkt P 'und P "sein wird, zu bestimmen und zu bestimmen, die direkte und: Danach werden die Koordinaten des Punkts eine bestimmte Lösung der folgenden Gleichungenin einem Koordinatensystem Oxyz (rechteckig) Raum.
