-Line - es un caso especial de un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos es.El término "Keystone" se deriva de la palabra griega τράπεζα, que significa "tabla", "tabla".En este artículo se consideran los tipos de trapecio y sus propiedades.Además, nos fijamos en la forma de calcular los elementos individuales de la figura geométrica.Por ejemplo, la diagonal de un trapecio equilátero, la línea media, área, entre otros. El material se presenta en el estilo de la geometría elemental popular, t. E. En una forma fácilmente accesible.
general
En primer lugar, vamos a entender lo que el cuadrilátero.Esta cifra es un caso especial de un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices.Dos vértices del cuadrilátero que no son adyacentes son llamados opuesto.Lo mismo puede decirse de los dos lados no adyacentes.Los principales tipos de cuadriláteros - un paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapecio y deltoides.
Así que de vuelta al trapecio.Como hemos dicho, esta cifra los dos lados son paralelos.Son llamados bases.Los otros dos (no paralelos) - lados.Los materiales de los diversos exámenes y exámenes muy a menudo usted puede encontrar las tareas asociadas con trapecios cuya solución requiere a menudo el conocimiento del estudiante, no está previsto por el programa.El curso de la geometría de la escuela introduce a los estudiantes a las propiedades de los ángulos y diagonales, y la línea central de un trapecio isósceles.Pero aparte de eso a que se refiere una figura geométrica tiene otras características.Pero sobre ellos más adelante ... Tipos
trapecio
Hay muchos tipos de esta figura.Sin embargo, la mayoría acordó examinar dos de ellos - isósceles y rectangular.
1. rectangular Trapecio - una cifra que tiene uno de los lados perpendiculares a la base.Ella tiene dos ángulos son siempre igual a noventa grados.
2. isósceles trapecio - una figura geométrica cuyos lados son iguales.Y eso significa, y los ángulos en los pares de bases también son iguales.
principales principios de la metodología para el estudio de las propiedades del trapecio
a los principios básicos incluyen el uso del llamado enfoque tarea.De hecho, no hay necesidad de entrar en una geometría curso teórico de nuevas propiedades de esta figura.Ellos pueden ser abiertas o en el proceso de formulación de las distintas tareas (mejor sistema).Es muy importante que el profesor sabe qué tareas hay que poner delante de los estudiantes en un momento dado del proceso educativo.Además, cada trapecio propiedad puede ser representado como una tarea fundamental en la tarea.
El segundo principio es la llamada organización espiral del estudio "notable" trapecio propiedad.Esto implica un retorno al proceso de aprender a las características individuales de la figura geométrica.Por lo tanto, es más fácil para que los estudiantes memoricen ellos.Por ejemplo, los cuatro puntos característicos.Se puede demostrar como en el estudio de similitud, y, posteriormente, utilizando los vectores.Y de la igualdad de triángulos adyacentes a los lados de la figura, es posible demostrar, utilizando no sólo las propiedades de los triángulos con la misma altura, realizadas a los lados, que se encuentran en una línea recta, sino también por la fórmula S = 1/2 (ab * sinα).Además, es posible calcular la ley de los senos inscritos en un trapecio o un triángulo rectángulo descrito en el trapecio, y así sucesivamente utilización D.
de "extracurricular" ofrece una figura geométrica en el contenido del curso -. Multitarea es la tecnología de su enseñanza.Referencia constante a estudiar las propiedades de la aprobación de la otra permite a los estudiantes profundamente aprenden trapecio y asegura el éxito de la tarea.Así, se procede al estudio de esta cifra notable.Elementos y propiedades de un trapecio isósceles
Como hemos señalado
, en esta figura geométrica de los lados son iguales.Sin embargo, es conocido como un trapezoide derecha.¿Y qué es ella tan notable y por qué su nombre?Las características especiales de esta figura es que no sólo los lados y ángulos iguales en las bases, sino también en diagonal.Además, los ángulos de un trapecio isósceles es igual a 360 grados.Pero eso no es todo!De todos los trapecios isósceles solamente alrededor de un círculo se puede describir.Esto es debido al hecho de que la suma de los ángulos opuestos en la figura es de 180 grados, pero sólo bajo una condición tal que puede ser descrito por un círculo alrededor de la quad.Las siguientes propiedades de las figuras geométricas se considera que la distancia desde la parte superior de la base opuesta a la proyección del vértice en una línea recta que contiene esta base será igual a la línea media.
Ahora echemos un vistazo a cómo encontrar los vértices de un trapecio isósceles.Considere el caso de soluciones a este problema, siempre que las dimensiones conocidas de los lados de la figura.Decisión
generalmente rectángulo se representa por las letras A, B, C, D, donde BC y AD - una fundación.Los lados trapecio isósceles son iguales.Suponemos que X es igual a su tamaño, y el tamaño de la base es Y, y Z (más pequeño y más grande, respectivamente).Para el cálculo del ángulo de la necesidad de gastar en la altura H. El resultado es un triángulo en ángulo recto ABN, donde AB - la hipotenusa, y el BN y AN - piernas son.Calculamos el tamaño de la AN de la pierna: Con menos razón para llevar y dividir el resultado por 2. Escribimos como una fórmula: (ZY) / 2 = F. Ahora, para el cálculo del ángulo del triángulo utilizamos el cos de función.Recibimos la siguiente entrada: cos (β) = X / F.Ahora calculamos el ángulo: β = arcos (X / F).Además, conociendo una esquina, se puede determinar el segundo, para la fabricación de la operación aritmética básica: 180 - β.Todos los ángulos se definen.
Hay una segunda solución a este problema.A principios omitimos, de esquina a calcular el valor de la altura H. pierna BN.Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las piernas.Get: BN = √ (F2 X2).A continuación, utilizamos la función tg trigonométrica.El resultado es: β = arctg (BN / F).Ángulo agudo encontró.A continuación, se define un ángulo obtuso similar al primer método.
diagonales de propiedad de un trapecio isósceles
escribir las primeras cuatro reglas.Si la diagonal en un trapezoide isósceles perpendicular, a continuación:
- la altura de la figura es la suma de las bases, dividido por dos;
- su altura y la línea media son iguales;
- área de un trapecio es igual al cuadrado de la altura (la línea media, la mitad de la suma de las bases);
- cuadrado diagonal es la mitad de la suma de los cuadrados de las bases o dos veces el cuadrado de la línea central (altura).
Ahora considere la fórmula de determinación de la diagonal de un trapecio equilátero.Este dato puede ser dividido en cuatro partes:
longitud 1. Fórmula diagonalmente a través de ella.
aceptado que A - base inferior, B - ALTA C - lados iguales, D - diagonal.En este caso, la longitud se puede determinar como sigue:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Fórmula longitud diagonal del coseno.
aceptado que A - base inferior, B - ALTA C - lados iguales, D - diagonal, α (en la base inferior) y β (la base superior) - las esquinas de un trapecio.Recibimos la siguiente fórmula, con la cual se puede calcular la longitud de la diagonal:
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. longitudes Fórmula de las diagonales de un trapecio isósceles.
aceptado que A - base inferior, B - superior, D - diagonal, M - línea media, H - Altura, P - el área de un trapecio, α y β - el ángulo entre las diagonales.Determinar la longitud de las fórmulas siguientes:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc igualdad: sinα = sinβ.
4. Fórmula diagonalmente a través de la longitud y la altura de la pieza.
aceptado que A - base inferior, B - ALTA C - lados, D - diagonal, H - Altura, α - ángulo de la base inferior.
determinar la longitud de las fórmulas siguientes:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).Elementos y propiedades de trapecio rectangular
Vamos a ver de qué se trata formas geométricas interesantes.Como hemos dicho, tenemos un trapecio rectangular dos ángulos rectos.
Además de la definición clásica, hay otros.Por ejemplo, un trapecio rectangular - un trapecio, uno de cuyos lados es perpendicular a los sustratos.O formas que tiene al ángulos laterales.En este tipo de altura trapezoides es el lado que es perpendicular a las bases.La línea media - un segmento que une los puntos medios de las dos partes.La propiedad de dicho elemento es que es paralela a las bases, y es igual a la mitad de su suma.
Ahora vamos a considerar las fórmulas básicas que definen las formas geométricas.Para ello suponemos que el A y B - base;C (perpendicular a la base) y D - la parte del trapecio rectangular, M - línea media, α - un ángulo agudo, P - zona.
1. El lateral, perpendicular a la base, una cifra igual a la altura (C = N), y es igual a la longitud del segundo lado A y el seno de los α ángulo en una base superior (C = A * sinα).Además, es igual al producto de la tangente de las α ángulo agudo y la diferencia en bases: C = (A-B) * tgα.
2. El lado de la D (no perpendicular a la base) es igual a la diferencia entre lo privado y B y el coseno (α) un ángulo agudo o una figura altura privada H y el ángulo agudo sinusal: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. La parte que es perpendicular a la base igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre la plaza D - segundo lado - y el cuadrado de la diferencia entre las bases:
C = √ (q2 (AB) 2).
4. Parte A trapecio rectangular es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de lado C, y la diferencia entre las bases cuadrados formas geométricas: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. El lado de C es igual al cociente de la suma de doble la zona de los motivos: C = P / M = 2n / (A + B).
6. área definida por la M producto (línea media de un trapecio rectangular) a la altura o el lateral, perpendicular a la base: P = M = M * N * C.
7. Parte C es igual al cociente de dos veces el área de la figura en la obra del ángulo del seno y la suma de sus bases: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
lado 8. Fórmula del trapecio rectangular a través de su diagonal y el ángulo entre ellos:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
donde D1 y D2 - trapezoide diagonal;α y β - el ángulo entre ellos.
lado 9. Fórmula través de una esquina en la base inferior y los demás partidos: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Desde el trapezoide con un ángulo recto es un caso especial del trapecio, las otras fórmulas que determinan estas cifras se reunirá y rectangular.Propiedades
inscrito círculo
Si se dice que la condición de que en un círculo trapecio rectangular inscrito, puede utilizar las siguientes propiedades:
- la suma de las bases es la suma de las partes;
- la distancia desde la parte superior de una forma rectangular con los puntos de contacto del círculo inscrito es siempre igual;
- igual a la altura del lado trapezoide, perpendicular a la base, y es igual al diámetro del círculo;
- centro del círculo es el punto en que se cortan las bisectrices de los ángulos;
- si el lado se divide en segmentos de la punto de contacto H y M, entonces el radio del círculo es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;
- cuadrángulo, que formó los puntos de contacto, el vértice del trapecio y el centro del círculo inscrito - un cuadrado cuyo lado es igual al radio;
- área de la figura es igual al producto de base media de suma y jardines en su altura.
trapecio similares
Este tema es de gran utilidad para el estudio de las propiedades de las figuras geométricas.Por ejemplo, en diagonal dividir trapecio en cuatro triángulos, y adyacente a las bases son similares, y a los lados - por igual.Esta declaración puede ser llamado una propiedad de triángulos, que son trapecio roto sus diagonales.La primera parte de esta afirmación se demuestra por una indicación de similitud en las dos esquinas.Para probar la segunda parte es mejor utilizar el método siguiente.
La prueba
aceptado que la figura ABSD (AD y BC - la base del trapezoide) es diagonales rotas HP y AC.El punto de intersección - O. Recibimos cuatro triángulos: AOC - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados.Triángulos SOD y biofeedback tienen una altura común en ese caso, si los segmentos CD y DO son sus bases.Nos parece que la diferencia en sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: OBP / pSOD = BO / ML = K. Por lo tanto pSOD OBP = / K.Del mismo modo, la AOB triángulos y el biofeedback tienen una altura común.Aceptamos sus segmentos de bases SB y OA.Obtener las OBP / PAOB = CO / OA = K y PAOB OBP = / K.De ello se desprende que pSOD = PAOB.
Consolidar se recomienda el material para los estudiantes para encontrar una conexión entre las áreas de los triángulos obtenidos, que es trapecio roto sus diagonales, decidiendo la siguiente tarea.Se sabe que las áreas triángulos Bos y ADP son iguales, es necesario para encontrar el área de un trapecio.Desde pSOD = PAOB, entonces PABSD OBP + = PAOD 2 * pSOD.A partir de la semejanza de triángulos BOS y ADP se desprende que CP / OD = √ (OBP / AOP).En consecuencia, las OBP / pSOD = BO / OD = √ (OBP / AOP).Obtener pSOD = √ (* OBP PAOD).Entonces PABSD OBP + = PAOD 2 * √ (PAOD OBP *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.Propiedades
similitud
continuar desarrollando este tema, usted puede probar las otras características interesantes de los trapecios.Por lo tanto, usando la similitud puede resultar sección de propiedad que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralela a la base.Para ello va a resolver el siguiente problema: es necesario encontrar la longitud del segmento de la RK, que pasa por el punto O. De la semejanza de triángulos ADP y el biofeedback deduce que AO / OS = BP / BS.A partir de la semejanza de triángulos ADP y ASB deduce que AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Esto implica que PO = BS * BP / (BS + BP).Del mismo modo, a partir de la semejanza de triángulos MLC y DBS deduce que OK = BS * BP / (BS + BP).Esto implica que PO = Aceptar y RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).El segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a la base y que conecta los dos lados del punto de cruce de dos dividido.Su longitud - es la media armónica de las bases de la figura.
Considere el siguiente trapecio calidad, que se llama la propiedad de los cuatro puntos.Los puntos de intersección de las diagonales (D), las intersecciones continúan lados (E) y la base central (T y G) siempre se encuentran en la misma línea.Esto es fácilmente demostrado por similitud.Estos triángulos BES y AED son similares, y en cada uno de ellos, y la mediana ET erizo dividen el ángulo en el vértice E en partes iguales.Por lo tanto, el punto E, T y F son colineales.Del mismo modo, en la misma línea se disponen en términos de T, D y G. Esto se deduce de la semejanza de triángulos BOS y ADP.Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que los cuatro puntos - E, T, G y H - se encuentran en una línea recta.
Usando trapezoides similares, se puede ofrecer a los estudiantes a encontrar la longitud del segmento (LF), que se divide en dos cifras similares.Este segmento debe ser paralela a las bases.Desde obtenido trapecio ALFD y LBSF son similares, la BS / LF = LF / AD.Esto implica que la LF = √ (BS * BP).Encontramos que el segmento de romper como un trapezoide en dos, tiene una longitud igual a la longitud media geométrica de la figura base.
Considere la siguiente propiedad de similitud.Se basa en el segmento, que divide el trapezoide en dos piezas de igual tamaño.Aceptamos que Keystone ABSD ES segmento se divide en dos partes similares.Desde la parte superior de la B rebajado la altura de ese segmento se divide en dos partes ES - B1 y B2.Obtenemos PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 y PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Siguiente componemos el sistema, que es la primera ecuación (BS EN +) * B1 = (Ag + ES) * B2 y el segundo (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.De ello se desprende que B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) y BS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Encontramos que la longitud del segmento, dividiendo el trapezoide en dos tamaño igual, igual a la longitud media cuadrática de la base: √ ((BS2 + w2) / 2).Conclusiones
similitud
Por lo tanto, hemos demostrado que:
1. El segmento que conecta el centro del trapezoide a los lados, paralela a AD y BC y es igual a la BC media y AD (la longitud de la base del trapezoide).
2. La línea que pasa por el punto de intersección de las diagonales paralelas AD y BC será igual a las cifras de PA media armónica y BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Corte, rompiendo en el trapecio como, tiene una longitud de la media geométrica de la bases de BC y AD.
4. El elemento que divide la figura en dos tamaño igual, tiene una longitud de números cuadrados promedio de AD y BC.
Consolidar el material y la comprensión de los vínculos entre los segmentos de la estudiante es necesaria la construcción de ellos por un trapecio en particular.¿Qué significa esto?
