Cramer - es uno de los métodos exactos de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Slough) resolver.Su precisión debido a la utilización de determinantes de matrices, así como algunas de las restricciones impuestas en la prueba del teorema.Sistema
de ecuaciones algebraicas lineales con coeficientes que pertenecen a, por ejemplo, una pluralidad de R - números reales, desde x1 desconocido, x2, ..., xn se denomina el conjunto de expresiones de la forma
ai2x1 + x2 AI2 + ... ain xn = bi para i =1, 2, ..., m, (1)
donde aij, bi - son números reales.Cada una de estas expresiones se llama una ecuación lineal, aij - coeficientes de las incógnitas, bi - coeficientes libres de las ecuaciones.Solución
de (1) es llamado el vector de dimensión n x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), que cuando está sustituido en para el x1 incógnitas, x2, ..., xn cada una de las filas en el sistema se vuelvela verdadera igualdad.Sistema
se llama consistente si tiene al menos una solución, e inconsistente, si su conjunto de soluciones coincide con el conjunto vacío.
Hay que recordar que, a fin de encontrar la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales usando la regla de Cramer, matrices, sistemas deben ser cuadrados, lo que básicamente significa que el mismo número de incógnitas y ecuaciones en el sistema.
lo tanto, utilizar el método de Cramer, al menos debe saber lo que el Matrix es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y cómo se emite.Y en segundo lugar, para entender lo que se llama el determinante de la matriz, y dominar las habilidades de su cálculo.
asume que este conocimiento que poseen.Maravilloso!Entonces usted tiene que simplemente memorizar las fórmulas que determinan el método de Cramer.Para simplificar la memorización utilizar la siguiente notación:
-
Det - el principal determinante del sistema;
-
deti - es el determinante de la matriz obtenida a partir de la matriz principal del sistema mediante la sustitución de la columna de la i-ésima de la matriz a un vector columna cuyos elementos son los lados derechos de los sistemas de ecuaciones lineales;
-
n - el número de incógnitas y ecuaciones en el sistema.
Entonces la regla de Cramer calcular el xi componente de orden i (i = 1, .. n) n-dimensional vector x se pueden escribir como
xi = deti / Det, (2).
Así Det estrictamente distinto de cero.
solución única cuando se proporciona en forma conjunta por la condición de principal determinante distinto de cero del sistema.De lo contrario, si la suma de (xi), al cuadrado, es estrictamente positivo, entonces SLAE una matriz cuadrada es inconsistente.Esto puede ocurrir en particular cuando al menos uno de deti distinto de cero.
Ejemplo 1 .Para resolver el sistema tridimensional de Lau, según la fórmula de Cramer.X1
+ 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.Decisión
.Escribimos la matriz de la fila donde Ai - es la fila i de la matriz.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).Columna
coeficientes gratuito B = 29 (31 de octubre).
principal determinante del sistema Det es
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1-20 12-12 2-10 = -27.
Para calcular det1 utilización sustitución a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3.Entonces
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 a31 + b3 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 b2 = ... = -81.
mismo modo, para calcular una permutación usando det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = a32 y, respectivamente, para calcular det3 - a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
Entonces usted puede comprobar que det2 = -108 y det3 = - 135.
De acuerdo con la regla de Cramer encontramos x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Respuesta: x ° = (3,4,5).
Basado en las condiciones de aplicabilidad de esta regla, la regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales puede utilizarse indirectamente, por ejemplo, para investigar el sistema sobre el posible número de soluciones en función del valor de un parámetro k.
Ejemplo 2. Determinar para qué valores del parámetro k la desigualdad | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 tiene exactamente una solución.Decisión
.
Esta disparidad en la definición de la función de módulo se puede sólo se realiza si ambas expresiones son cero simultáneamente.Por lo tanto, este problema se reduce a encontrar la solución de un sistema lineal de ecuaciones algebraicas
kx - y = 4,
x + ky = -4.Solución
de este sistema sólo si es el principal determinante de
Det = k ^ {2} + 1 es distinto de cero.Obviamente, esta condición se cumple para todos los valores válidos del parámetro k.
Respuesta: para todos los valores reales del parámetro k.
Los objetivos de este tipo también se puede reducir, muchos problemas prácticos de las matemáticas, la física o la química.
